人教A版数学必修一13-2-2同步检测

高中数学学习材料
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1-3-2-2同步检测
一、选择题
1．若函数f (x )＝x (x ∈R )，则函数y ＝－f (x )在其定义域内是( ) A ．单调递增的偶函数 B ．单调递增的奇函数 C ．单调递减的偶函数
D ．单调递减的奇函数
2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( ) A ．f (x )＝x ＋1x B ．f (x )＝x 2
－1
x
C ．f (x )＝1－x 2
D ．f (x )＝x 3
3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )上的表达式为( )
A ．y ＝x (x －2)
B ．y ＝x (|x |＋2)
C ．y ＝|x |(x －2)
D ．y ＝x (|x |－2)
4．(2012·泉州高一检测)f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (3)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )
A ．f (0)<f (6)
B ．f (3)>f (2)
C ．f (－1)<f (3)
D ．f (2)>f (0)
5．已知奇函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f (2x －1)<f (1
3)的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，2
3) B ．[13，23) C ．(12，23)
D ．[2
3，＋∞)
6．已知函数f (x )和g (x )均为奇函数，h (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h (x )在(－∞，0)上的最小值为( )
A ．－5
B ．－1
C ．－3
D ．5
7．(曲师大附中2011～2012高一上期末)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (3)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，3)∪(3，＋∞)
B ．(－∞，3)
C ．(3，＋∞)
D ．(－3,3)
8．(胶州三中2011～2012高一模块测试)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x
<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
二、填空题
9.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．
10．(2012·大连高一检测)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m ＝________.
11．(上海大学附中2011～2012高一期末考试)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )
x
为奇函数，则a ＝________. 12．偶函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，若x 1<0，x 2>0，且|x 1|>|x 2|，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是______．
三、解答题
13．设函数f (x )＝ax 2＋1
bx ＋c
是奇函数(a 、b 、c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，
求a 、b 、c 的值．
14．已知函数f (x )＝x 2
＋a
x (x ≠0，常数a ∈R )．
(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． [分析] (1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．
15．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式； (2)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域和单调区间．
16．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．
(1)求f (1)；
(2)证明f (x )在定义域上是增函数；
(3)如果f (13)＝－1，求满足不等式f (x )－f (1
x －2)≥2的x 的取值范
围．
[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f (x ·y )＝f (x )＋f (y )的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f (x ·y )＝f (x )＋f (y )进行适当配凑，将所给不等式化为f [g (x )]≥f (a )的形式，再利用f (x )的单调性来求解．
详解答案 1[答案] D 2[答案] D
[解析] ∵对于A ，f (－x )＝(－x )＋1(－x )＝－(x ＋1x )＝－f (x )；对
于D ，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，
∴A 、D 选项都是奇函数．易知f (x )＝x 3在(0,1)上递增． 3[答案] D
[解析] 当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋2x .又f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x ≥0，
－x 2－2x ，x <0.
∴f (x )＝x (|x |－2)．故选D. 4[答案] C 5[答案] A
[解析] 由图象得2x －1<13，∴x <2
3，选A.
6[答案] B
[解析] 解法一：令F (x )＝h (x )－2＝af (x )＋bg (x )， 则F (x )为奇函数．
∵x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤5， ∴x ∈(0，＋∞)时，F (x )＝h (x )－2≤3. 又x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴F (－x )≤3⇔－F (x )≤3 ⇔F (x )≥－3.
∴h (x )≥－3＋2＝－1，选B. 7[答案] D
[解析] ∵f (x )为偶函数，f (3)＝0，∴f (－3)＝0，
又f (x )在(－∞，0]上是减函数，故－3<x ≤0时，f (x )<0.x <－3时，f (x )>0，故0<x <3时，f (x )<0，x >3时，f (x )>0，故使f (x )<0成立的x ∈(－3,3)．
[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决． 8[答案] D
[解析] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，
f (x )－f (－x )x
＝2f (x )
x <0. 由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)． 9[答案] (－∞，1)、(1，＋∞) 10[答案] －8 11[答案] －1
[解析] f (x )＝1
x (x ＋1)(x ＋a )为奇函数 ⇔g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数， 故g (－1)＝g (1)，∴a ＝－1. 12[答案] f (x 1)>f (x 2) [解析] ∵x 1<0，∴－x 1>0， 又|x 1|>|x 2|，x 2>0，∴－x 1>x 2>0，
∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (－x 1)>f (x 2)， 又∵f (x )为偶函数，∴f (x 1)>f (x 2)．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然． 13[解析] 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx
＝0， ∴c ＝0又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b ， ∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1
a ＋1<3，
解得：－1<a <2，∴a ＝0或1，
∴b ＝1
2或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1、b ＝1、c ＝0. 14[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，
对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．
∴f (x )为偶函数．
当a ≠0时，f (x )＝x 2
＋a
x (a ≠0，x ≠0)，
取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， 即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，
∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x 1<x 2，则有
f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 2
2－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2
·[x 1x 2(x 1
＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，则需f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．
∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4，
∴只需使a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵x 1＋x 2>4， ∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，
故a 的取值范围是(－∞，16]．
15[解析] (1)当x >2时，设f (x )＝a (x －3)2＋4. ∵f (x )的图象过点A (2,2)，
∴f (2)＝a (2－3)2＋4＝2，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －3)2＋4. 设x ∈(－∞，－2)，则－x >2， ∴f (－x )＝－2(－x －3)2＋4.
又因为f (x )在R 上为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝－2(－x －3)2＋4，
即f (x )＝－2(x ＋3)2＋4，x ∈(－∞，－2)． (2)图象如图所示．
(3)由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}． 单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]． 单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
16[解析] (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.
(2)证明：令y ＝1x ，得f (1)＝f (x )＋f (1x )＝0，故f (1
x )＝－f (x )．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1
)＝f (x 2
x 1
)．
由于x 2x 1>1，故f (x 2
x 1)>0，从而f (x 2)>f (x 1)．
∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f (13)＝－1，而f (1
3)＝－f (3)，故f (3)＝1. 在f (x ·y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝3，得 f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.
又－f (1x －2
)＝f (x －2)，故所给不等式可化为
f (x )＋f (x －2)≥f (9)，即f [x (x －2)]≥f (9)． ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x －2>0，x (x －2)≥9.
解得x ≥1＋10.
∴x 的取值范围是[1＋10，＋∞)．
[总结评述] 本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f (x ·y )＝f (x )＋f (y )进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f (1
x )＝－f (x )实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据．。