2018-2019高二数学人教A版选修4-5课件：2.3反证法与放缩法

32x
x－2a 3
≤0，这与
x>23a
相矛盾．
32
若 x，y，z 中有两个或三个大于 2a，这与 x＋y＋z＝a 相矛 3
盾． 综上所述，x，y，z 都不能大于 23a. 由(1)、(2)知，原命题成立．
33
误区警示 结论的否定有三种情况，对每种情况都要推出 矛盾，否则其证明就没有完成．
34
【变式训练 2】 证明：若函数 f(x)在区间[a，b]上是增函 数，那么方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
35
证明 假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实根， 设α，β为其中的两个实根．
∵α≠β，不妨设α>β. ∵函数 f(x)在区间[a，b]上是增函数， ∴f(α)>f(β)．这与 f(α)＝f(β)＝0 矛盾． 所以方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实数根．
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【例 3】 求证：2( n＋1－1)<1＋ 1 ＋ 1 …＋ 1 <2 n(n
22
22
22
22
以上四个式子相加，得 2>2，矛盾．
∴原命题结论成立．
28
【例 2】 设 x，y，z 满足 x＋y＋z＝a(a>0)，x2＋y2＋z2＝1a2. 2
求证：x，y，z 都不能是负数或大于 23a 的数． 【分析】 本题结论中含有都不是，从语言上来判断可以
用反证法．
29
【证明】 (1)假设 x，y，z 中有负数，
4
4
4
4
∴ a1－b>12， b1－c>12， c1－d>12， d1－a>12.
27
又 ∵ a1－b ≤ a＋1－b ， b1－c ≤ b＋1－c ，
2
2
c1－d≤c＋1－d， d1－a≤d＋1－a，
2
2
∴a＋1－b>1，b＋1－c>1，c＋1－d>1，d＋1－a>1.
23
n
2( n－ n－1)＝2 n.
综上分析可知，原不等式成立．
39
规律技巧 放缩法证明不等式主要是依据不等式的传递性 进行变换，即欲证 a>b，可变换证 a>c 且 c>b，欲证 a<b，可变 换证 a<c 且 c<b.一般放缩要恰当，不能放缩过头，同时要使放 缩后便于求和．
40
【变式训练 3】设 n∈N＋，求证：12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1.
若 x，y，z 中有一个负数，不妨设 x<0，
则 y2＋z2≥1(y＋z)2＝1(a－x)2，
2
2
又∵y2＋z2＝1a2－x2， 2
∴1a2－x2≥1(a－x)2.
2
2
即 3x2－ax≤0，这与 a>0，x<0 矛盾． 2
若 x，y，z 中有两个是负数，不妨设 x<0，y<0，
30
则 z>a. ∴z2>a2.这与 x2＋y2＋z2＝1a2 相矛盾．
4
前置学习
3．要证明 3＋ 7＜2 5，下列证明方法中，最为合理的是( )
A．综合法
B．放缩法
C．分析法
D.反证法
【解析】 由分析法的证明过程可知选 C.
【答案】 C
5
前置学习
3．要证明 3＋ 7＜2 5，下列证明方法中，最为合理的是( )
A．综合法
B．放缩法
C．分析法
D.反证法
【解析】 由分析法的证明过程可知选 C.
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3．放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本 不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当 的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目 标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握． 常见放缩有以下几种类型：
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第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩．
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答 1.相矛盾的结论 假设不正确 反证法 案 2.证明的目的 放缩法
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探究 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多 种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是 不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根 据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结 论的反面出发进行论证，就不是反证法．
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>32(x＋y＋z)．
44
【变式训练 4】 设 x>0，y>0，x>0，求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2>x＋y＋z.
45
证明 ∵x>0，y>0，z>0，
∴ x2＋xy＋y2＝ x＋y2＋3y2> x＋y2＝|x＋y|＝x＋y.
【答案】 C
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前置学习
4．A＝1＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 与
23
n
n(n∈N＋)的大小关系是________.
【解析】 A＝ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ≥
123
n
【答案】 A≥ n
＝ n ＝ n. n
7
前置学习
5．若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2. 求证：1＋y x<2 和1＋x y<2 中至少有一个成立．
8
前置学习
1＋x 1＋y 【证明】 假设 y <2 和 x <2 都不成立，
1＋x 1＋y 则有 y ≥2 和 x ≥2 同时成立，因为 x>0 且 y>0， 所以 1＋x≥2y，且 1＋y≥2x， 两式相加，得 2＋x＋y≥2x＋2y， 所以 x＋y≤2，
1＋x 1＋y 这与已知条件 x＋y>2 矛盾，因此 y <2 和 x <2 中至少有一个成立．
2 若 x，y，z 全为负数，则与 x＋y＋z＝a>0 矛盾． 综上所述，x，y，z 都不为负数．
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(2)假设 x，y，z 有大于 2a 的数． 3
若 x，y，z 中有一个大于 23a，不妨设 x>23a.
由 1a2－x2＝y2＋z2≥1(y＋z)2＝1(a－x)2 得
2
2
2
3x2－ax≤0，即 2
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【变式训练 1】 若假设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数， 求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能 都大于 1.
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证明 假设 4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大
于 1，则 a(1－b)>1，b(1－c)>1，c(1－d)>1，d(1－a)>1.
23
∴ab≤1. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab ＝(a2－ab＋b2)＋3ab<4. ∴a＋b<2，这与假设相矛盾，故 a＋b≤2.
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规律技巧 这两种方法都采用的反证法，在证法一中推至 与已知事实(b－1)2≥0 相矛盾，证法二中推至与假设相矛盾， 在推理过程中要把假设作为条件使用，这样在题设中又增加了 一个条件．所以，在题设条件少时，可考虑用反证法．
23
n
∈N＋)． 【分析】 观察所证不等式，中间有 n 项需裂项相消．当
k∈N＋时，∵
k＋
k＋1>2
k，∴ 2 > 2k
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)．
即 1k>2( k＋1－ k)．同理可推得： 1k<2( k－ k－1)，应
用此变换不等式可获证．
37
【证明】 对 k∈N＋，1≤k≤n，有
1> k
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(2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后 得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设 不成立，故原命题成立．
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2．用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐 一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件 进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证， 就不是反证法．
9
1.反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题条件(或 已证明过的定理、性质、明显成立的事实等)__________，以说 明____________________，从而证明原命题成立，我们把它称 为________．
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2．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩 小 ，简 化 不等 式 ，从 而 达到 ________ ， 我们 把 这种 方 法称 为 ________.
【分析】 待证不等式中，左边是三个根式的和，且根式 内的式子不是完全平方式．用前面的几种方法难以奏效，故考 虑对根式内的式子进行放缩．
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【证明】 x2＋xy＋y2＝ x＋2y2＋34y2≥ x＋2y2＝|x＋2y|≥x＋2y. 同理 y2＋yz＋z2≥y＋2z， z2＋zx＋x2≥z＋2x. 由于 x，y，z 不全为零，故上面三个式子中至少有一个式子等号不成立， 所以三式相加，得
3
前置学习
2．已知 a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证 a＞0，b＞0，
c＞0 时的假设为( )
A．a＜0，b＜0，c＜0
B．a≤0，b＞0，c＞0
C．a，b，c 不全是正数
D.abc＜0
【解析】 a＞0，b＞0，c＞0 的反面是 a，b，c 不全是正数，故选 C.
【答案】 C
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例
如
：
1 n2
<
1 nn－1
＝
1 n－1
－
1 n
，
1 n2
>
1 nn＋1
＝
1 n
－
1 n＋1
；
1> n
2 n＋
n＋1＝2(
n＋1－
n)，
1n<
2 n＋n－1ຫໍສະໝຸດ 2(n－n－1)．
以上 n∈N，且 n>1.
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【例 1】 若 a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. 【分析】 本题若直接证明，难度较大．而本题结论的反 面更简单，所以宜用反证法．
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)．
∴1 ＋ 1 ＋ 1 ＋… ＋ 1 >2( 2 －1) ＋ 2( 3－ 2 ) ＋… ＋
23
n
2( n＋1－ n)＝2( n＋1－1)．
又∵ 1 < k
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(2≤k≤n)，
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∴1＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <1＋2( 2－1)＋2( 3－ 2)＋…＋
证法一 假设 a＋b>2，则 a>2－b， ∴2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，即 2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0， 这是不可能的． ∴a＋b≤2.
22
证法二 假设 a＋b>2，而 a2－ab＋b2＝(a－1b)2＋3b2≥0， 24
但取等号的条件是 a＝b＝0，显然不可能． ∴a2－ab＋b2>0. 则 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)． 又∵a3＋b3＝2， ∴a2－ab＋b2<1. ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab.
2.3 反证法与放缩法
必修4-5
1
本节目标
1.理解反证法在证明不等式中的应用． 2．掌握反证法证明不等式的方法． 3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.
2
前置学习
1．实数 a，b，c 不全为 0 的等价条件为( ) A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0 【解析】 实数 a，b，c 不全为 0 的含义即 a，b，c 中至少有一个不为 0， 其否定则是 a，b，c 全为 0，故选 D. 【答案】 D
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证明 ∵n∈N＋， ∴n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n≥21n＋21n…＋21n＝2nn＝12. 又∵n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1n＋1n＋…＋1n ＝n＝1，
n ∴12≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<1.
42
【例 4】 已知实数 x，y，z 不全为零，求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>3(x＋y＋z)． 2
13
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与 已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、 公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导 出的矛盾必须是明显的．
14
探究 2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小) 要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们 把分母放大时相应分式的值就会缩小；
反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放 大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不 等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判 断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技 巧，也是放缩法中的主要形式．
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1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法 证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立， 用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立．