20-21版：§3.2 一元二次不等式及其解法(二)（创新设计）

解 (1)原不等式可化为（ 3x＋2x－ 1≠1） 0. （3x＋1）≥0， 解得xx≠≤－－1313.或x≥12，
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∴x＜－13或 x≥12，
∴原不等式的解集为xx＜－13或x≥12.
(2)法一 原不等式可化为x2＋－3x＞ ＞0x＋，3或x2＋－3x＜ ＜0x＋，3. 解得xx＞ ＜－ －123，或xx＜＞－－312， . ∴－3＜x＜－12， ∴原不等式的解集为x－3＜x＜－12.
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法二 原不等式可化为（2－x）x＋－3（x＋3）＞0，化简得－x2＋x－3 1＞0，即2xx＋＋31＜0， ∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－12. ∴原不等式的解集为x－3＜x＜－12.
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题型二 不等式的恒成立问题 【例2】 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(2) 分 离 参 数 ， 将 恒 成 立 问 题 转 化 为 求 最 值 问 题 ， 即 ： k≥f(x) 恒 成 立 ⇔____k__≥__f_(_x_)_m_a_x___；k≤f(x)恒成立⇔__k__≤__f_(_x_)_m_i_n__.
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【预习评价】 x－1＞0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2，3]与不等式x－1＞0的解 集有什么关系？ 提示 x－1＞0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2，3]上的 图象恒在x轴上方.区间[2，3]内的元素一定是不等式x－1＞0的解，反之不一定成立， 故区间[2，3]是不等式x－1＞0的解集的子集.
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又m(x2－x＋1)－6＜0， ∴m＜x2－6x＋1.
∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67，
∴只需 m＜67即可.
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规律方法 (1)不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a ＝0 时，b＝0，c＞0； 当 a≠0 时，aΔ＞＜00，. (2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a＝0 时，b＝0， c＜0； 当 a≠0 时，aΔ＜＜00，. (3)f(x)≤a 恒成立⇔a≥[f(x)]max， f(x)≥a 恒成立⇔a≤[f(x)]min.
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题型一 分式不等式的解法 【例1】 解不等式：
(1)2xx＋－11＜0； (2)31x－＋x5≥0； (3)xx－ ＋12＞1.
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解 (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，∴－1＜x＜12，
故原不等式的解集为x－1＜x＜12. (2)原不等式可化为3xx－＋15≤0，
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规律方法 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型gf（（xx））＞0(＜0)或 gf（（xx））≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也 可.
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【训练1】 解下列不等式. (1)23xx－ ＋11≥0； (2)2x＋－3x＞1.
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2， 即x的取值范围为(0，2].
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规律方法 解不等式应用题的步骤
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【训练3】 在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况 不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车 的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有 如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任. 解 由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x2>12， S乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解，得x<－40或x>30.x<－50或x>40. 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
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§3.2 一元二次不等式及其解法(二)
学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式；2.能够从实际 生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决(难点)；3.掌握与一元 二次不等式有关的恒成立问题的解法(重、难点).
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知识点1 分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式
法 2：fg（（xx））·≠g（0x）≥0（≤0），
先移项转化为上述两种形式
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【预习评价】
1.不等式2xx－＋11≤0 的解集为(
)
A.－12，1
B.－12，1
C.－∞，－12∪[1，＋∞)
D.－∞，－12∪[1，＋∞)
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(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围. 解 (1)若m＝0，则原不等式为－1＜0，∴恒成立；
若 m≠0，则mΔ＝＜m0，2＋4m＜0，∴－4＜m＜0.
∴m的取值范围为(－4，0].
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3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键 作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
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本节内容结束
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【训练2】 对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值 范围为________.
解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立， 只需Δ＜0即可， 即(a－4)2－4(5－2a)＜0， 解得－2＜a＜2. 答案 (－2，2)
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题型三 一元二次不等式的实际应用 【例3】 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征
税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品， 决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
类型 gf（（xx））＞0(＜0)
同解不等式 法 1：fg（（xx））＞＞00（＜0），或
f（x）＜0（＞0）， g（x）＜0 法 2：f(x)·g(x)＞0(＜0)
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gf（（xx））≥0(≤0) gf（（xx））＞a＜ ≥ ≤aaa
法 1：fg（（xx））≥＞00（≤0），或 f（x）≤0（≥0）， g（x）＜0
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当m＝0时，－6＜0恒成立.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数.
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，解得m＜6， ∴m＜0. 综上所述，m 的取值范围为－∞，67. 法二 f(x)＜－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立， ∵x2－x＋1＝x－122＋34＞0，
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总 金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝510a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).
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(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元). 依题意得510a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
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1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式 (组)求解.若不等式含有等号时，分母不为零.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离 后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离 作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max； (2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
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(2)法一 要使 f(x)＜－m＋5 恒成立，就要使 mx－122＋34m－6＜0，x∈[1，3]. 令 g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]. 当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数， ∴g(x)max＝g(3)＝7m－6. ∴7m－6＜0，解得 m＜67. ∴0＜m＜67.
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知识点2 一元二次不等式恒成立问题
对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
_a_＞___0__，
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔__Δ_＜__0__.
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
__a_＜__0__， __Δ_＜__0__.
解析 原不等式等价于（ 2x＋x－11≠）0（ ，2x＋1）≤0， 即－ x≠12－≤12x，≤1，即－12＜x≤1.
故原不等式的解集为－12，1. 答案 A
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2.不等式2x－x 1＜0 的解集为________. 解析 不等式等价于 x(2x－1)＜0，对应方程的两个根为 x1＝0，x2＝12.根据对应的二 次函数的图象，可得原不等式的解集为0，12. 答案 0，12
∴（ 3x＋x－51≠）0（ ，3x＋5）≤0， ∴－ x≠53－≤53x， ≤1，
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即－53＜x≤1.
故原不等式的解集为x－53＜x≤1. (3)原不等式可化为xx－ ＋12－1＞0， ∴x－1－x＋（2x＋2）＞0， ∴x－＋32＞0，则 x＜－2.
故原不等式的解集为{x|x＜－2}.