合情推理及其在教学数学中的应用

合情推理及其在教学数学中的应用
1、合情推理的含义
合情推理就是人们根据已有的知识经验，在情感的影响下，运用观察、实验、归纳、类比、联想、直觉等非演绎的（或非完全演绎的）思维形式，构作出关于合乎情理的认知过程．
2、合情推理走进数学课堂的含义
素质教育的重点是创新精神与实践能力的培养，这正是合情推理所具备的重要功能．合情推理能帮助人们比较迅速地发现事物的规律，提供研究的线索和方法，是培养学生创造能力的主要途径．合情推理能促进学生以一个创造者、发明者的身份去探究知识，无疑在心理上将会产生一种极大的满足和喜悦，从而激发兴趣，促进学习的主动性．
合情推理使学生熟悉了掌握知识的过程和方法，提高了观察与分析问题的能力，使得教学过程变成了学生积极参与的智力活动的过程，锻炼和培养了他们深刻的思维能力，从而促进创造能力的提高，难怪世界上许多著名数学家、教育家对合情推理都给予了积极的评价．如“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现（牛顿）”．“要成为一个好的数学家，……你必须是一个好的猜想家（波利亚）”等等．
3、合情推理与演绎推理
在数学中，从推理的结果来区分，有演绎推理和合情推理．前者通常叫证明，所得结论是可靠的，后者所得的结论是不能最终肯定的，只能叫猜想或假说．
自从希腊的哲学之父泰勒斯把演绎方法引入数学以后，演绎证明就构成了数学的灵魂．浅于深入的演绎的演绎推理能够挖掘出前提中蕴藏得很深的结论，它使数学的理论形成了严密的体系为数学及至科学的发展起了至关重要的作用．但演绎推理从本质上讲，不能为我们提供新的知识，彭加勒说：“逻辑学与发现、发明没有关系．”这句话虽然说得有些过份，但却突出地指出了演绎作用的局限性．至于合情推理，它的特点是使人富于联想、创造．但由于合情推理得出的结论往往超出前提控制范围，前提就无力保证结论为真，因此，合情推理只能是或然性的推理，它的正确性需用演绎方法加以证明．一般地说，严格的数学理论是建立在演绎推理之上的，但数学的结论及相应的证明方法则又是靠合情推理去发现的．因此，演绎推理与合情推理是相辅相成的关系，两者既对立，又统一，是辩证的统一体．
4、合情推理在数学教学中的应用
现代认知心理学研究表明，知识的同化过程类似于假设检验的过程．这就是说，学生是在选择性知觉的基础上先对有关事物的意义进行猜测，然后根据各方面的感性和理性认识来检验猜测的正确性，如认为不可靠，猜想被推翻，则要重新建立猜想，进行反省，……直至完成．所以合情推理能促进知识的同化，加速知识的发生和迁移．传统的教材，教学过分强调演绎推理，不利于思维的创新，因此，它必须改革，那么，如何着眼于学生创新精神的培养，加强合理推理的渗透？
4．1 引导学生运用合情推理发现问题的结论
明确目标，是研究问题的起点．用合情推理去发现问题的结论，等于明确了方向，从而使思维更具体，变形或推理越具有目的性和针对性．
例如，《平面解析几何》“圆的一般方程”一节的教学中，我运用合情推理设计了如下教学过程．
（1）提出问题
将圆的标准方程展开得到一般方程
2
x+2y+Dx+Ey+F=0 ①
那么反过来，形如①的方程表示的曲线是不是圆？
（2）试验、猜想
当同学们对教师得出的问题跃跃欲试的时候，教师趁热打铁，引导学生对方程①中的系数D 、E 、F 取特殊值进行试验，得出猜想：
方程①表示的曲线是圆或点，也可能不表示任何图形．
（3）证明
有了猜想的结论，猜想正确性的证明也就变成了学生自发的需要．于是学生对方程①进行配方变形得到： (x +2D
)2+(y +2E
)2=4422F E
D -+
当2D +2E –4F >0时，方程①表示以（–2
D ，–2
E ）为圆心，2422
F E D -+为半径的圆；当2D +2E –4F =0时，方程①表示一个点（–2D ，–2E
）；当2D +2E –4F <0时，方程①不表示任
何图形．
以上的教学过程，由于学生亲自参与探究，经过自证的思维活动而获得了知识．因此印象也特别深刻，同时也有助于理解数学知识的实质．
4．2 引导学生运用合情推理发现解题途径和解题方法
教师可以经常地引导学生“从最简单的开始！”——以此作为座右铭，为归纳、猜想提供一个适当的出发点和立足点，让学生主动、积极地去猜想．
经常地引导学生寻找可以类比的合适对象，然后，可借鉴类比对象的一些结果，鼓励学生作大胆的猜测，培养学生不妨猜一猜的意识．
引导学生在没有答案（或结论）时，可先猜测一下答案（或结论）；猜测答题的形式，答题的范围；猜测中间结论；猜测解题的方向，以形式思路；对某思路的能解性作出估计；在演绎试推中提倡推中有猜，猜中有推，培养学生“不妨猜一猜”的良好习惯．
例如，∆ABC 的重心G 在坐标原点，P 为∆ABC 所在平面上任一点，那么，使2PA
+2PB +2PC 取最小值的P 点是
猜想1 根据题意，P 点可能是∆ABC 的的特殊点，如内心、重心、外心及的三个顶点等．但外心可排除，它可能落到形外．
猜想 2 类比猜测，考虑特殊情况，即对于线段AB ，使2PA +2PB 取最小值的P 点应
为AB 的中点，据此，可排除∆ABC 的三个顶点．考虑一 般情形的∆ABC （如图1），当A 点向BC 边趋近时，其 内心并非一定趋近于BC 边的中点，据此可排除内心． 于是猜想，这样的P 点可能是重心，事实上，可以根据题意“重心G 在坐标
原点”的条件也可以猜想P 与G 重合，因为∆ABC 的重心G 对三顶点的相对位置上是最匀称的． 猜想 3 如图2，2PA +2PB +2PC =2PA
+2DB +2DC +22DP （中线性质） =2PA
+22DB +22DP 而2PA =2GA +2GP –2GA •GP PGA ∠cos
C
图1
22DP =22GD +22GP –4GD •GP DGP ∠cos ，
因为2GD =GA ，DGP ∠cos =–PGA ∠cos
所以2PA +2PB +2PC =32GP +2GA +22DB +22GD ． 至此，可按上述方法进行推导，或者利用对称性也可猜测 到中间结论： （∑2PA ）=（∑2GA
）+32GP ． 从而，仅当P ≡G 时，2PA +2PB +2PC 的值最小．
4．3 引导学生运用合情推理将问题推广
数学研究的很多问题都是某种形式的推广．运用合情推理将问题进行推广，既符合数学知识本身发展的规律，也符合学生个体心理发展的规律．
例如，一元n 次函数奇偶性的判断．
首先让学生判断下列函数的奇偶性
①)(x f =5x +3 ②)(x f =5x ③)(x f =2x +1 ④)(x f =2x +2x +1
然后请学生猜想：
（1）一次函数)(x f =ax +b 在什么情况下是奇函数？
（2）二次函数)(x f =2ax +bx +c 在什么情况下是偶函数？
接着让学生对猜想的结论进行证明．
证明后再让学生第二次猜想：
一元n 次函数)(x f =0a +x a 1+22x a +…+n
n x a 在什么条件下是偶函数？在什么件下是奇函数？
当学生通过对一元三次函数，一元四函数进行试验，可得到和证明下面的结论：
一元n 次函数)(x f =0a +x a 1+22x a +…+n n x a
当1a =3a =5a =…=0（无奇次项）是偶函数；
当2a =4a =6a =…=0（无偶次项）是奇函数．
此时，学生心里充满着无限的快乐，这是因为他们也经历了一次象“数学家”一样去探索，发现规律和方法的发明创造的过程，从而激发了他们学习数学的兴趣．
5、结束语
合情推理是一种高层次的思维活动，是数学发明过程中的创造思维活动．“只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置．”
（鲍德法）
C 图2
参考文献
1、过伯祥．猜想与合情推理．郑州，大象出版社，1999
2、波利亚．数学与猜想．北京，科学出版社，1984。