河北省承德第一中学2021-2022高一数学9月月考试题(含解析).doc

河北承德第一中学2021-2022第一学期第一次月考
高一数学试题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= （ ） A. ｛-2，-1，0,1｝ B. ｛-3，-2，-1，0｝
C. {-2，-1，0}
D. {-3，
-2，-1 } 【答案】C 【解析】 因为集合M=
，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C. 【考点定位】本小题主要考查集合的运算（交集），属容易题，掌握一元二次不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键. 【此处有视频，请去附件查看】
2.设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )=（ ） A. {1,2,3,5}
B. {1,2,3,5}
C. {}1,2,5
D.
{1,2,3,4,5}
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出A ∪B 以及A ∩B ，再根据补集的定义求出∁U (A ∩B ) 【详解】解：
A ＝{1,2,3,4}，
B ＝{3,4,5}， {}{}=12345=34A B A B ⋃⋂∴，
，，，，， (){}=125U
A B ∴
⋂，
，，故选：C 。

【点睛】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，是一道基础题。

3.
函数()f x =
）
A. [1,2]
B. (1,2]
C. (1,2)
D.
(,1)(2,)-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平方根的定义可知负数没有平方根，又其在分式的分母位置，得到被开方数大于0，列出关于x 的不等式，解二次不等式，即为函数的定义域．
【详解】解：由已知得2320x x -+>，解得1x <或2x >，故选：D 。

【点睛】此题属于以函数的定义域为平台，考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中的基本题型．
4.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x 2
－
1
2
x ，则f(1)＝( ) A. －
32
B. －
12
C.
32
D.
12
【答案】A 【解析】
因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－3
2
,故选A.
5.若集合A ＝{0,1,2，x}，B ＝{1，x 2}，A∪B＝A ，则满足条件的实数x 有( ) A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B 【解析】
∵A＝{0,1,2，x}，B ＝{1，x 2}，A∪B＝A ，
∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2
＝x ，解得x ＝0
或1.经检验当x
时满足题意，故选B.
6.下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A. 2
1
y x =
B. 1y x
=
C. y ＝x 2
D.
y =
【答案】A 【解析】 【分析】
其中偶函数可排除B ，D ，再判断选项A ，C 中函数的
单调性即可。

【详解】由函数是偶函数可排除选项B ，D ，又函数在(0，＋∞)上单调递减，所以排除C ，故选A.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，是基础题．
7.设函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x
⎧+≤⎪
⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )
A.
15
B. 3
C.
2
3
D.
139
【答案】D 【解析】
详解】
()231,33
f >∴=
, 22213
((3))()()1339
f f f ==+=,故选D.
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8.下列各组函数相等的是( )
A. y ＝x －1和21
1
x y x -=+
B. y ＝x 0和y ＝1(x ∈R )
C. y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2
D. (
)
2
f x x
=和
()()
2
x
g x =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据定义域不同，可排除A ，B ，再判断C ，D 中函数的对应关系是否相同即可。

【详解】A ，B 选项中，两个函数的定义域不相同，故A ，B 错误；
C 选项的对应关系不同，故C 错误；
D 选项的两个函数定义域、对应关系都相同， 故选D 项．
【点睛】本题考查函数的定义域和对应法则，是基础题。

9.函数f （x ）=ax 2+2（a -1）x +2在区间（-∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A. 1
05
a <≤ B. 105
a ≤≤
C. 105
a <<
D. 15
a >
【答案】B 【解析】 【分析】
对a 分成0,0a a =≠两类，结合函数在(]
,4-∞上为减函数，来求a 的取值范围. 【详解】当0a =时，()22f x x =-+为减函数，符合题意.当0a ≠时，由于函数在(]
,4
-∞上为减函数，故二次函数的开口向上，且对称轴在4x =的右侧，即()02142a a a >⎧⎪
-⎨-
≥⎪⎩
，解得
105a <≤
.综上所述，10,5a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
故选B. 【点睛】本小题主要考查一次函数和二次函数的单调性.一次函数y kx b =+的单调性由斜率k 来决定，当0k >时，函数单调递增，当0k <时，函数单调递减.二次函数
()20y ax bx c a =++≠的单调性由开口方向和对称轴共同来决定，并且在对称轴的两侧单
调性相反.属于中档题.
10.若偶函数()f x 在(,1]-∞-上是增函数，则（ ） A. 3()(1)(2)2
f f f -<-< B. 3(1)()(2)2f f f -<-<
C. 3(2)(1)()2
f f f <-<- D. 3
(2)()(1)2
f f f <-<-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据偶函数性质确定[1,)+∞上单调性，再根据单调性确定大小. 【详解】由偶函数()f x 在(]
,1-∞-上
是
增函数，得()f x 在[1,)+∞上是减函数，
33 22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11f f -=，又因为3212>>，得()()3212f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
，即
()()3212f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
，故选项为D.
【点睛】本题考查偶函数性质与函数单调性应用，考查基本分析求解能力.
11.若定义运算a ⊙b ＝,,b a b
a a b
≥⎧⎨<⎩，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为（ ）
A. (0,1]
B. (,1]-∞
C. (0,1)
D.
[1,)+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
本题的实质是实数,a b ，哪个数小就取那个数，只需比较x 与2x -的大小即可，就可研究出函数的值域． 【详解】解：(1)
(),2(1)x x f x x x ≤⎧=⎨
->⎩
()f x ∴在(,1]-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
()1f x ≤，故选：B 。

【点睛】本题考查了分段函数的值域问题，“分段函数”是指自变量在不同的取值范围内，
其对应法则也不同的函数，它是一个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，解决分段函数的基本策略是：分段解决．
12.函数()2g x x = ） A. 178
-
B. 2-
C. 198
-
D. 94
-
【答案】A 【解析】 【分析】
设0)t t =
≥，将原函数式转化为关于t 的二次函数的形式，再利用二次函数的值域
求出原函数的值域即可
【详解】解：设0)t t =
≥，则22()()2(1)22,f x g t t t t t ==--=--则
函数2
()22g t t t =--在1(0,)4上单调递减，在1(,)4
+∞上单调递增，
min 117
()()48
f x
g ∴==-，故选：A 。

【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题
二、填空题。

13.若{}2,2,3,4A =-，{}
2
|,B x x t t A ==∈，用列举法表示B = .
【答案】{}4,9,16 【解析】 【分析】
解决该试题的关键是对于t 令值，分别得到x 的值，然后列举法表示.
【详解】因为集合{}2,2,3,4A =-，而集合B 中的元素是将集合A 中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即{
}
2
|,B x x t t A ==∈，
2,4t x ∴=±=；3,9t x ==；4,16t x ==,
{}4,9,16B ∴=，
那么用列举法表示B ={}4,9,16.
本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题.
14.已知(21)65f x x +=+，则()f x =__________ 【答案】32x + 【解析】 【分析】
直接利用配凑法，求解函数的解析式即可．
【详解】解：函数(21)653(21)2f x x x +=+=++，()32f x x ∴=+，故答案为：32x + 【点睛】本题考查函数的解析式的求法，配凑法的应用，考查计算能力．
15.函数f (x )＝())22
,,021,0,x x x x x ⎧-∈-∞⎪⎨⎪⎡+-∈+∞⎣⎩
，则()f x 的增区间为_________ 【答案】(,0)-∞和(0,)+∞ 【解析】 【分析】
本题分别研究()2
,,0y x x
=-∈-∞，)221,0,y x x x ⎡=+-∈+∞⎣的单调性，分开写出即可。

【详解】()2
,,0y x x
=-
∈-∞的单调增区间为(),0-∞，)221,0,y x x x ⎡=+-∈+∞⎣的单调增区间为()0,+∞，则()f x 的增区间为(),0-∞和()0,+∞，故答案为(),0-∞和()0,+∞ 【点睛】本题研究分段函数的单调区间，主要分段来求，注意最后单调区间不能求并集，只能用和来连接。

16.已知偶函数()f x 在[
)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 【答案】(1,3)- 【解析】
因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1)(2)f x f x f ->⇔-，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以12x -<，解得13x -<<.
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.
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三、解答题。

17.设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；
(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；
【答案】（1）a ＝－5，A ＝122⎧⎫
⎨⎬⎩⎭，，B ＝{－5,2}．（2）1-52⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，
【解析】 【分析】
（1）根据题意，A ∩B ＝{2}；有2A ∈，即2是2x 2＋ax ＋2＝0的根，代入可得a ＝－5，进而分别代入并解2x 2＋ax ＋2＝0与x 2＋3x ＋2a ＝0可得,A B ；
（2）根据题意，U ＝A ∪B ，由（1）可得,A B ；可得全集U ，进而可得∁U A ，∁U B ，由并集的定义可得∁U A )∪(∁U B )。

【详解】(1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0与x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，
则a ＝－5，此时A ＝122⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，
，B ＝{－5,2}． (2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝1-522⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，，. 由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝12⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，
所以(∁U A )∪(∁U B )＝1-52⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，.
【点睛】本题考查交并补的混合运算，是一道基础题。

18.已知关于x 的不等式2
3
208
kx kx +-
<． （1）若不等式的解集为()3
,12
-
，求实数k 的值； （2）若不等式的解集为R ，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1
8
k =（2）(]3,0- 【解析】 【分析】
（1）不等式的解集为()3,12-
说明3
2-和1是23208
kx kx +-=的两个实数根，运用韦达定
理，可以求出实数k 的值；
（2）不等式的解集为R ，只需0k =，或2
20
30k k k <⎧⎨∆=+<⎩
即可，解不等式组求出实数k 的取值范围．
【详解】（1）若关于x 的不等式2
3
208kx kx +-
<的解集为()3,12
-， 则32-和1是2
3208
kx kx +-=的两个实数根，由韦达定理可得3
38122k
--⨯=，
求得1
8
k =
． （2）若关于x 的不等式2
3208kx kx +-<解集为R ，则0k =，或2
2030k k k <⎧⎨∆=+<⎩
， 求得0k =或30k -<<， 故实数k 的取值范围为(]3,0-．
【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参问题，考查了数学运算能力
19.全集U ＝R ，若集合A ＝{x |3≤x <8}，B ＝{x |2<x ≤6}
(1)求A ∩B ，A ∪B ，(∁U A )∩(∁U B )；
(2)若集合{|32}C x a x a =+≥≥，且A ⊆C ，求a 的取值范围．
【答案】（1）A ∩B ＝[3,6]，A ∪B ＝(2,8)，(∁U A )∩(∁U B )＝(－∞，2]∪[8，＋∞)．（2）23a ≤≤ 【解析】 【分析】
（1）根据集合的基本运算即可求A ∩B ，A ∪B ，(∁U A )∩(∁U B )； （2）根据A ⊆C ，建立条件关系即可求实数a 的取值范围． 【详解】(1)∵A ＝{x |3≤x <8}，B ＝{x |2<x ≤6}， ∴A ∩B ＝[3,6]，A ∪B ＝(2,8)， (∁U A )∩(∁U B )＝(－∞，2]∪[8，＋∞)． (2) A C ⊆，
所以328
3a a +≥⎧⎨
≤⎩
，解得23a ≤≤。

【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及含参的集合之间的包含关系问题，注意所列不等式要取到等号．
20.已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f (f (x ))＝4x －1. (1)求f (x )；
(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值． 【答案】(1) f (x )＝－2x ＋1. (2) 最大值为5，最小值为－5
4
. 【解析】
试题分析：()1由题意可设()()0f x ax b a =+<，由()41f f x x ⎡⎤=-⎣⎦可得
24
1
a a
b b ⎧=⎨
+=-⎩，解出,a b ，即可得到函数解析式； ()2由()1知，函数231y x x =-+，可得函数图象的开口方向与对称轴，进而得到函数在
312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上为减函数，在322⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上为增函数，可得出函数()2y f x x x =+-在[]12x ∈-，上的最值。

解析:(1)由题意可设()()0f x ax b a ＝＋，＜，由于()()41f
f x x ＝－，则a 2
x ＋ab ＋b ＝4x －1， 故241
a a
b b ⎧=⎨+=-⎩解得2 1.a b ＝－，＝故()21f x x +＝－.
(2)由(1)知，函数()222
2131y f x x x x x x x x =+-=-++-=-+ 故函数y ＝x 2－3x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝，则函数()2
y f x x x =+-在上为减函数，在
上为增函数． 又由f ＝－()()1521f f ，－
＝，＝－， 则函数()2y f x x x =+-在x ∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－.
点睛：运用待定系数法求得函数表达式，注意题目中有限制条件：单调递减，在求最值时利用函数的单调性，注意抛物线对称轴和已知区间的位置关系。

21.已知函数f (x )＝－x 2＋2x －3.
(1)求f (x )在区间[,1]a a +上的最大值g (a )；
(2) 已知()3g a =- ，求a 的值
【答案】（1）222,0()2,0123,1a a g a a a a a ⎧--≤⎪=-<<⎨⎪-+-≥⎩
；（2）12a =-或
【解析】
【分析】
（1）因为()2
23f x x x ＝－＋－的对称轴1x =与区间[,1]a a +的位置关系不确定，故分1a ≥，01a <<，0a ≤三类来讨论，确定单调性，即可求出最值。

（2）由（1）所得的()g a 是分3段的分段函数，每一段都代入计算，符合每一段a 的取值范围即可保留，不符合就舍去。

【详解】解：（1）()22 3.f x x x ＝－＋－
∴1）当1a ≥时，()()223f a a a g a ==-＋－；
2）当01a <<时，()()2
13212g f a =-=-=＋－； 3）当0a ≤时，()()22
1)2(1)31(2g a f a a a a =+=---++=＋－ 综上所述：222,0()2,0123,1a a g a a a a a ⎧--≤⎪=-<<⎨⎪-+-≥⎩
（2）()3g a =-，
当2()23g a a =--=-时，1a =-，另一根不符合0a ≤，故舍去，
当2()233g a a a =-+-=-时，2a =，另一跟不符合1a ≥，故舍去，
综上12a =-或。

【点睛】本题考查确定的二次函数在不确定的区间的上的最大值问题，将对称轴和区间的位置关系分三类进行讨论求最大值即可，是一道中档题。

22.已知函数f (x )＝
21x b x ++ 为奇函数． (1)求b 的值；
(2)证明：函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数；
(3)解关于x 的不等式f (1＋x 2)＋f (－x 2＋2x －4)＞0.
【答案】(1) b ＝0(2)见解析(3) (1，
32
) 【解析】
试题分析:()1根据()00f =，求得b 的值； ()2由()1可得()2
1x f x x =
+，再利用函数的单调性的定义证明函数()f x 在区间()1+∞， 上是减函数； ()3由题意可得()()22124f x f x x +>-+，再根据函数()f x 在区间()1+∞，
上是减函数，可得221224x x x +<-+，且1x >，由此求得x 的范围。

解析：(1)∵函数()2f x ?
1x b x ＝++为定义在R 上的奇函数，()00.f b ∴＝＝ (2)由(1)可得()21x x x
=+，下面证明函数()f x 在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明设211x x >>，
则有()()()()()()()()
22121212112221122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++， 再根据211x x >>，可得 2110x +>，2210x +>，120x x -<，1210x x -<
()()()()12122
2121011x x x x x x --∴>++
即()()12
f x f x > ∴函数()f x 在区间(1，＋∞)上是减函数．
(3)由不等式()()
221240f x
f x x ++-+> 可得 f (1＋x 2)＞－f (－x 2＋2x －4)＝f (x 2－2x ＋4)，
再根据函数()f x 在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x 2＜x 2－2x ＋4，且1x ＞，
求得31x 2
<<，故不等式的解集为(1，)． 点睛：根据函数的奇偶性求得参数的值，在解答函数中的不等式的问题中，需要用到函数的单调性和奇偶性，如果条件中没有给出单调性或者奇偶性就先证得，然后利用单调性求得结果。