2020年高考数学(文)重难点专练04 解析几何(解析版)

重难点04 解析几何
【命题趋势】
解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用. 【满分技巧】
定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.
定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.
关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算. 【考查题型】选择，填空，解答题
【限时检测】（建议用时：45分钟） 一、单选题
1．（2020·四川高三期末（文））已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，点
(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为
A ．22
14x y -= B ．221205
x y -=
C ．221123
y x -=
D ．2
218
x y -=
【答案】C 【分析】
根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得. 【详解】
，所以c a =
①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b
-=①； 因为222c a b =+①；联立①①①可得2
2
12,3a b ==，故选C. 【点睛】
本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.
2．（2019·天津南开中学高考模拟（文））过抛物线24y x =焦点F 的直线与双曲线
2
2
1(0)y x m m
-=>的一条渐近线平行，并交抛物线于,A B 两点，若|||AF BF >且
||3AF =，则m 的值为（ ）
A ．8
B ．C
D ．4
【答案】A 【分析】
设A （x 0，y 0），根据抛物线的定义可得x 0，y 0，代入直线AB 的方程，求出m 的值即可. 【详解】
抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为x 1=-，
双曲线x 22y
m
-=1的一条渐近线方程为y ，
不妨设直线AB 为y （x 1-），设A （x 0，y 0），则|AF |＝x 013+=，
①x 0＝2，又①2
004y x =且|AF |＞|BF |，①y 0>0，①y 0＝=，
代入y x 1-）， 解得m ＝8， 故选A ． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线的定义和双曲线的性质，属于中档题．
3．（2020·宁夏高三月考（文））已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于
A 、
B 两点，F 为
C 的焦点，若2FA FB =,则k=( )
A ．
13
B ．
3
C ．
23
D ．
3
【答案】D 【解析】
将y=k(x+2)代入y 2=8x,得 k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0. 设交点的横坐标分别为x A ,x B , 则x A +x B =2
8
k -4,① x A ·x B =4.
又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ①2x B +4=x A +2. ①x A =2x B +2.① ①将①代入①得x B =2
83k
-2, x A =
283k -4+2=2
83k
-2. 故x A ·x B =2
28162233k k ⎛⎫⎛⎫
--
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
=4. 解之得k 2=
89
.
而k>0,①k=
3
,满足Δ>0.故选D. 4．（2019·山东高考模拟（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直
线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-u u u v u u u v
，则||AB =（ ） A ．
2
3
B ．
43
C ．
323
D ．
163
【答案】C 【解析】 【分析】
由题设||,|FA |3a,FB a ==解三角形求出a 的值，再求|AB|的值得解. 【详解】
由题设||,|FA |3a,|AB|4a FB a ==∴=
过点B 作BC①l,垂足为C,则|BC|=a, 1
cos 44
a CBF a ∠==， 设准线l 交x 轴与D, 则128cos cos ,,433
DFA CBA a a ∠=∠==∴= 所以832||4433
AB a ==⋅=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5 （2019·天津实验中学高考模拟（文））（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22
22x y 1a b
-=
（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足①1F P 2F =60°，
,则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．
B
C ．
=0 D
±y=0
【答案】D 【解析】
不妨设12(,0),(,0)F c F c -，则11221
222
OF F P OF F P F P F P
OP ++++==u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r
u u u r 因为1260F PF ∠=o
，所以121212
cos602
F P F P F P F P F P F P ⋅⋅=⋅=o u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，
222
12121212
||||1cos 2
2PF PF F F F PF PF PF +-∠=
=
⋅ 所以2
2
2
1212||4PF PF PF PF c +=⋅+
因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=
则2
2
2
2
2
12121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅= 所以2
2
1244PF PF c a ⋅=-，故122212
222
F P F P
F P F P c a ⋅⋅=
=-u u u r u u u u r
u u u r u u u u r
222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-
因为OP =
，所以12
2
F P F P
OP +=
=u u u r u u u u r u u u r 故
22121212||274
F P F P F P F P
a ++⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，即222
327c a a -=
故22237b a a +=
，解得b =
所以双曲线的渐近线方程为0x a =
0y ±=，故选D 二、填空题
6．（2020·福建省龙岩第一中学高三期中（文））过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点
且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】(
)
⋃+∞
【解析】
分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c ，代入双曲线的方程，解得A ，B 的坐标，讨论①DAB 为钝角，可得DA AB ⋅u u u v u u u v ＜0，或①ADB 为钝角，可得DA AB ⋅u u u v u u u v
＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．
详解：设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点F 1（﹣c ，0），
令x=﹣c ，可得
=±2
b a ， 可得A （﹣
c ，2b a ），B （﹣c ，﹣2
b a
），
又设D （0，b ），可得AD u u u r =（c ，b ﹣2
b a
），
AB u u u r =（0，﹣22b a ），DB uuu r =（﹣c ，﹣b ﹣2
b a
）， 由①ABD 为钝角三角形，可能①DAB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v
＜0，
即为0﹣22b a •（b ﹣2b a
）＜0， 化为a ＞b ，即有a 2＞b 2=c 2﹣a 2，
可得c 2＜2a 2，即e=
c
a
，
又e ＞1，可得1＜e ，
可能①ADB 中，①ADB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v
＜0，
即为c 2
﹣（2b a +b ）（2
b a
﹣b ）＜0， 化为c 4﹣4a 2c 2+2a 4＞0， 由e=
c
a
，可得e 4﹣4e 2+2＞0，
又e ＞1，可得e ．
综上可得，e 的范围为（1①+∞）．
故答案为()
⋃
+∞
【点睛】：(1) 本题考查双曲线的离心率的范围及向量数量积的坐标表示. 意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理运算能力.（2）本题的关键是转化ABD ∆为钝角三角形，这里是利用数量积AD AB ⋅u u u v u u u v
＜0转化的，比较简洁高效.
7．（2019·辽宁高三开学考试（文））已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过双曲线C
的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且
4FM PM =，则双曲线C 的离心率为__________．
【解析】
双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =，右焦点()0F c ，
过F 与渐近线垂直的直线为()a
y x c b
=-
- 由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
可解得：2
M a x c =，M ab y c =
在()a y x c b =-
-中，令0x =，可得：p
ac
y b
= 4FM PM =Q ，4FM MP ∴=u u u u r u u u r
2240a a c c c ⎛⎫
∴-=- ⎪⎝
⎭ 整理得：225a c =，则25e =
e ∴=即双曲线C
三、解答题
8．（2020·广东高三期末（文））已知动圆C 过定点()F 1,0，且与定直线x 1=-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
（2）过点()M 2,0-的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点P,Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N （异于点M ），使得QNM PNM π∠∠+=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) 2
4y x =，（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）假设存在点()0,0N x 满足题设条件，由题意可得直线PN 与QN 的斜率互为相反数，
即0PN QN k k +=，设()()1122,,,P x y Q x y ，12
1020
PN QN y y k k x x x x +=
+--，设
:2PQ x my =-,再由直线与抛物线联立，利用韦达定理代入求解即可.
【详解】
（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以()1,0F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， 其中2p =．
∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =．
解法2：设动圆圆心C (),x y 1x =+.
化简得：2
4y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程 （2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．
由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数， 即0PN QN k k += ①
直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-,
由242
y x x my ⎧=⎨=-⎩得2
480y my -+=．
由()2
4480m ∆=--⨯>,得m >
或m <
设()()1122,,,P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． 由①式得12
1020PN QN y y k k x x x x +=
+--
()()()()
12021010200y x x y x x x x x x -+-==--, ()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．
消去12,x x ，得()22122101211044
y y y y x y y +-+=,
()()12120121
04
y y y y x y y +-+=, 120,y y +≠Q 0121
24
x y y ∴==,
∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=．
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
9．（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()2
20x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .
（①）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；
（①）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.
【答案】（①）抛物线的标准方程为2
4x y =，准线l 的方程为1y =-；（①）详见解析.
【解析】
【分析】（①）将(),1P p 代入()2
20x py p =>，得出2p =，即可得出抛物线的标准
方程和准线方程.
（①）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程与椭圆方程，得出2440x kx --=，利用韦达定理可得出124x x k +=，124x x =-，对抛物线方程2
14
y x =
求导，进而求出过A ，B 的抛物线的切线方程，再联立两方程求出两条切线的交点()2,1k -，得出两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上. 【详解】
（①）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为2
4x y =，准线l 的方程为
1y =-.
（①）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为
1y kx =+，联立
241
x y
y kx ⎧=⎨
=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.
①()2
2221212122168x x x x x x k +=+-=+.
由214y x =
得，1
'2
y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()111222
12
12y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨
⎪-=-⎪⎩， 即21122211
24
1124
y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，两式相加，得
()()22121211
48
y x x x x x =
+-+，化简，得()
221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上. 【点睛】
本题考查了求抛物线方程和直线与圆锥曲线方程的交点，用导数求切线方程的斜率. 10．（2019·广东高考模拟（文））过点()2,0M 的直线l 与抛物线()2
:20C y px p =>交
于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥． （1）求p 的值；
（2）若l 与坐标轴不平行，且A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点． 【答案】(1) 1p = (2)见证明 【解析】 【分析】
(1)由题意分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定p 的值；
(2)设出点的坐标，结合(1)中的结论利用点斜式得到直线BD 的方程，由直线方程即可证得直线BD 恒过定点. 【详解】
（1）当直线l x ⊥
轴时，可得(2,A
，(2,B -， 由OA OB ⊥得440p -=，1p ∴=，
当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为()2y k x =-代入2
2y px =得
2240ky py pk --=，()0k ≠
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y p =-，()
2
12122
44y y x x p
=
=
由OA OB ⊥得12120x x y y +=，即440p -=，1p ∴=，， 综上所述1p =.
（2）由（1）知抛物线方程为2
2y x =，
由于A ，D 关于x 轴对称，故D 的坐标为()11,x y -，所以直线BD 的方程为
()211121y y y y x x x x ++=-- 221
12221222
y y y x y y ⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭-
，
即()121220x y y y y y +--=，又1244y y p =-=-，所以()12240x y y y +-+=，
∴直线BD 恒过点()2,0-.
【点睛】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
11．（2020·四川高三期末（文））已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别
为1F 、2F ，椭圆的离心率为
1
2
，过椭圆1C 的左焦点1F ，且斜率为1的直线l ，与以右焦点2F
的圆2C 相切. （1）求椭圆1C 的标准方程；
（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦，且22MF F N λ=u u u u r u u u u r
，求1MF N ∆的面积的最大
值以及取最大值时实数λ的值.
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）3，1.
【解析】 【分析】
（1）由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出1c =，根据椭圆离心率
1
2
c e a =
=，求出a ，进而求出b ，得到椭圆得方程. （2）分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN 与x 轴垂直时1MF N ∆的面积最大. 【详解】
（1）设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >， 则直线l 的方程为：y x c =+，即0x y c -+=.
①直线l 与圆
2C 相切，①圆心2F 到直线l 的距离为d ==，解之得1c =. ①椭圆1C 的离心率为
12，即11
2
a =，所以2a =，所以222413
b a
c =-=-=， ①椭圆1C 的方程为22
143
x y +=.
（2）由（1）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，
由题意得直线MN 的斜率不为0，故设直线MN 的方程为：1()x ty t =+∈R ，
代入椭圆方程22143
x y +=化简可得()22
43690t y ty ++-=，
()223636430t t ∆=++>恒成立，
设()11,M x y ，()22,N x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个不等根，
①122
643t y y t
-+=
+，1229
43y y t -=+. ①1MF N V 的面积1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅-=12121
22
y y y y ⨯⨯-=-
=
=243t =+
m =，则1m ≥，221t m =-，则223431t m +=+，121231
MF N m
S m =⨯
+V .
令2
()(1)31m f m m m =≥+，则()
22213()031m f m m '-=<+恒成立， 则函数()f m 在[1,)+∞上为减函数，故()f m 的最大值为1
(1)4
f =， 所以1MF N V 的面积的最大值为1
1234
⨯
=，当且仅当1m =，即0t =时取最大值， 此时直线MN 的方程为1x =，即直线MN 垂直于x 轴，此时22MF F N =u u u u r u u u u r
，即1λ=.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想.圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断.
12．（2019·贵州高考模拟（文））已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，上
顶点为M ，直线FM 的斜率为2-，且原点到直线FM . （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若不经过点F 的直线l ：(0,0)y kx m k m =+与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆
221x y +=相切.试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理
由.
【答案】（1）2
213
x y +=；（2）【解析】 【分析】
（1）由题可知，求得直线FM 的方程0bx cy bc +-=，再由点到直线的距离公式，联立求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）由直线与圆相切，求得221m k =+，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数 的关系和弦长公式，分别求得,,AB AF BF ，即计算求得三角形的周长. 【详解】
（1）由题可知，(),0F c ，()0,M b
，则b c -
=， 直线FM 的方程为1x y
c b +=，即0bx cy bc +-=
3=， 解得1b =
，c =
又2
2
2
3a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为2
213
x y +=.
（2）因为直线()
:0,0l y kx m k m =+与圆22
1x y +=相切，
1=，即221m k =+.
设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立22
13x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()()
222
316310k x kmx m +++-=，
所以(
)(
)
22
2
2
3612311k m k m ∆=-+-= (
)
22
2
1231240k m k -+=>，
122631km x x k -+=+，()
212231
31
m x x k -=+，
所以12AB x =-=
又221m k =+
，所以AB =. 因为
AF =
=
1x =，
同理23
BF x =.
所以)12AF BF x x +=+， 所以
ABF ∆
的周长是
)12x x +-=
则ABF ∆
的周长为定值 【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
13．（2019·河南高考模拟（文））已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：
22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB u u u r u u u r
⋅=-．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为
1S ，2S ，证明：
22
1211S S +为定值. 【答案】（1）2
4y x =；（2）详见解析.
【解析】 【分析】
（1）设直线l 的方程为x ＝my +1，与抛物线C 的方程联立消去x 得关于y 的方程，利用
根与系数的关系表示3OA OB ⋅=-u u u r u u u r
，从而求得p 的值；（2）由题意求出弦长|AB |以及原
点到直线l 的距离，计算①OAB 的面积S 1，同理求出①OPQ 的面积S 2，再求22
1211S S +的值． 【详解】
（1）设直线l ：1x my =+，与2
2y px =联立消x 得，2
220y pmy p --=.
设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =-.
因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++u u u r u u u r
()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+-++=-+=-，
解得2p =.
所以抛物线C 的方程为2
4y x =.
（2）由（1）知()1,0M 是抛物线C 的焦点，所以
21212244AB x x p my my p m =++=+++=+.
原点到直线l
的距离d =
，所以(
)21412OAB
S m ∆=+= 因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥
，所以OPQ
S ∆== 所以()()22222121111
4
4141m S S m m +=+=++. 即
221211S S +为定值14
. 【点睛】
本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题．。