和平区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

和平区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列函数中，为偶函数的是（ ）
A ．y=x+1
B ．
y=
C ．y=x 4
D ．y=x 5
2． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120
3． 已知lga+lgb=0，函数f （x ）=a x 与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（ ）
A
． B
． C
． D
．
4． 函数
y=+的定义域是（ ）
A ．{x|x ≥﹣1}
B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3}
C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3}
D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
5． 设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥cB ．若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β
C ．若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α
D ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β
6． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.7
7． 已知角α的终边上有一点P （1，3
），则
的值为（ ）
A
．﹣ B
．﹣ C
．﹣ D ．﹣4
8． 如果点P 在平面区域220,210,20x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩
上，点Q 在曲线22
(2)1x y ++=上，那么||PQ 的最小值为（ ）
A
1 B
1-
C. 1 D
1
9． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．98
10．若方程C ：x 2+
=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆
B ．∀a ∈R ﹣，方程
C 表示双曲线
C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆
D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线
11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=，c=2，cosA=，则b=（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
12．已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435 二、填空题
13．在△ABC 中，已知
=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．
14．若“x ＜a ”是“x 2﹣2x ﹣3≥0”的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ．
15．定积分
sintcostdt= ．
16．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若
28
108
10=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.
17．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．
18．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=log a （x 2+2），若f （5）=3；
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
20．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
22．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=，求证：()00f x '>．
23．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按log 5（2A+1）进行奖励．记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）．
（1）写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；
（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
和平区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：对于A ，既不是奇函数，也不是偶函数， 对于B ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），是奇函数，
对于C ，定义域为R ，满足f （x ）=f （﹣x ），则是偶函数， 对于D ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），是奇函数，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．
3． 【答案】B
【解析】解：∵lga+lgb=0
∴ab=1则b=
从而g （x ）=﹣log b x=log a x ，f （x ）=a x
与
∴函数f （x ）与函数g （x ）的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选B ， 故答案为B
4． 【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x ≥﹣1或x ≠3， 故选：D ．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
5． 【答案】D
【解析】解：对于A，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c是平面β内一条直线
因为α∥β，c⊂β，可得c∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b不一定与直线c平行
故b⊂α，c∥α，不能推出b∥c．得A项不正确；
对于B，因为α⊥β，设α∩β=b，若直线c∥b，则满足c∥α，α⊥β，
但此时直线c⊂β或c∥β，推不出c⊥β，故B项不正确；
对于C，当b⊂α，c⊄α且b∥c时，可推出c∥α．
但是条件中缺少“c⊄α”这一条，故C项不正确；
对于D，因为c∥α，设经过c的平面γ交平面α于b，则有c∥b
结合c⊥β得b⊥β，由b⊂α可得α⊥β，故D项是真命题
故选：D
【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
6．【答案】C
【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的
摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，
故选C．
【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．
7．【答案】A
【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上，
∴tanα=3，
∴====﹣．
故选：A．
8．【答案】A
【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域||PQ Z =表示圆上的点到可行域的距离,当在点A 处时,求出圆心到可 行域的距离内的点的最小距离5,∴当在点A 处最小, ||PQ 最小值为15-,因此，本题正确答案是15-.
考点：线性规划求最值. 9． 【答案】A
【解析】解：因为f （x+4）=f （x ），故函数的周期是4 所以f （7）=f （3）=f （﹣1）， 又f （x ）在R 上是奇函数，
所以f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2×12
=﹣2，
故选A ．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．
10．【答案】 B
【解析】解：∵当a=1时，方程C ：
即x 2+y 2
=1，表示单位圆
∴∃a ∈R +
，使方程C 不表示椭圆．故A 项不正确；
∵当a ＜0时，方程C ：
表示焦点在x 轴上的双曲线
∴∀a ∈R ﹣，方程C 表示双曲线，得B 项正确；∀a ∈R ﹣，方程C 不表示椭圆，得C 项不正确
∵不论a 取何值，方程C ：
中没有一次项
∴∀a ∈R ，方程C 不能表示抛物线，故D 项不正确 综上所述，可得B 为正确答案
故选：B
11．【答案】D
【解析】解：∵a=
，c=2，cosA=，
∴由余弦定理可得：cosA===
，整理可得：3b 2
﹣8b ﹣3=0，
∴解得：b=3或﹣（舍去）． 故选：D ．
12．【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22
n n n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922
n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵ =2，由正弦定理可得：
，即c=2a ．
b=2a ，
∴
=
=．
∴cosB=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【答案】 a ≤﹣1 ．
【解析】解：由x2﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，
若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，
则a≤﹣1，
故答案为：a≤﹣1．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．
15．【答案】．
【解析】解：0sintcostdt=0sin2td（2t）=（﹣cos2t）|=×（1+1）=．
故答案为：
16．【答案】2016
17．【答案】6．
【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；
第二次循环：S=+=，i=2+1=3；
第三次循环：S=+=，i=3+1=4；
第四次循环：S=+=，i=4+1=5；
第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；
∴判断框中的条件为i＜6？
故答案为：6．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题
18．【答案】．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个，
∴4个点构成平行四边形的概率P==．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f（5）=3，
∴，
即log a27=3
解锝：a=3…
（2）由（1）得函数，
则=…
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即为
化简不等式得…
∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且的定义域为R．
∴x2+2＜x2+4x+6…
即4x＞﹣4，
解得x＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
20．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2
+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），
∴它的最小正周期为=π．
（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为1+×（﹣）
=0，
当2x+=时，f（x）取得最大值为1+×1=1+．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1
故椭圆的方程为x2+=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
线段AB的中点为M（x0，y0）．
联立直线y=x+m与椭圆的方程得，
即3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，
x1+x2=﹣，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，
解得m=±3与m2＜3矛盾．
故实数m不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．
22．【答案】（1）()26ln
f x x x x
=--；（2）3
n=；（3）证明见解析.
【解析】
试题解析：（1）()2a
f'x x b
x
=+-，所以
(1)251
(1)106
f'b a b
f b a
=+-=-=-
⎧⎧
⇒
⎨⎨
=+==
⎩⎩
，
∴函数()f x 的解析式为2()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-=
=⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001
'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+--+
212121221221122112211
1
21ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢
⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设21
1x
t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，
∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t +--=-==>+++，
所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，
∴()0h t >，又21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 23．【答案】
【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按log 5（2A+1）进行奖励， ∴0＜x ≤8时，y=0.15x ；x ＞8时，y=1.2+log 5（2x ﹣15） ∴奖金y 关于销售利润x 的关系式y=
（2）由题意知1.2+log 5（2x ﹣15）=3.2，解得x=20． 所以，小江的销售利润是20万元．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)x m m ≤+>解集为(][),22,-∞-+∞．
由|2|21x m ≤+，得11
22
m x m --
≤≤+，……………………2分 所以，由122m +=，解得3
2
m =．……………………4分
（2）不等式()2|23|2y y a f x x ≤+++等价于|21||23|22
y
y a x x --+≤+，
由题意知max (|21||23|)22y
y
a
x x --+≤+
．……………………6分。