安徽省淮北市第一中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题

安徽省淮北市第一中学2017-2018学年高一下学期期中考试
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合}2,1,0{=A ，}023|{2≤+-=x x x B ，则=B A （ ）
A ．}1{
B ．}2{
C ．}1,0{
D ．}2,1{
2．=-)6
23sin(π（ ） A ．23- B ．21- C ．2
1 D ．23 3．函数)2(log 12-=
x y 的定义域是（ ） A ．)2,(-∞ B ．),2(+∞ C ．),3()3,2(+∞ D ．),4()4,2(+∞
4．函数x x y 2cos 2sin 3+=
的最小正周期是（ ） A ．2
π B ．32π C ．π D ．π2 5．已知互相垂直的平面βα,交于直线l ，若直线n m ,满足βα⊥n m ,//，则（ ）
A ．l m //
B ．n m //
C ．l n ⊥
D ．n m ⊥
6．0
0020215cos 75cos 15cos 75cos ++的值等于（ ） A ．45 B ．2
3 C ．26 D ．431+ 7．若非零向量,满足||322||b a =，且)23()(+⊥-，则a 与的夹角为（ ） A ．4π B ．2
π C ．43π D ．π 8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A. 32π
B. 34π
C. 38π-
D. 3
28π- 9．已知直线l ：)(01R a ay x ∈=-+是圆0124:22=+--+y x y x C 的对称轴.过点
),4(a A -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=||AB （ ）
A ．2
B ．24
C ．6
D ．102
10．设M 是ABC ∆边BC 上的任意一点，NM AN 31=
，若AC AB AN μλ+=，则=+μλ（ ）
A ．41
B ．31
C ．2
1 D ．1 11．函数c bx x x f +-=2)(满足)1()1(x f x f -=+，且3)0(=f ，则)(x b f 与)(x c f 的大
小关系是（ ）
A ．≤)(x b f )(x c f
B ．≥)(x b f )(x c f
C ．>)(x
b f )(x
c f D ．与x 有关，不确定
12．若)0)(3sin(2)(>+
=ωπωx x f 的图象在]1,0[上恰有两个最大值，则ω的取值范围为（ ）
A ．]4,2[ππ
B ．]29,
2[ππ C ．)625,613[ππ D ．]4,2[ππ
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．=-000010sin 160sin 10cos 20cos .
14．设向量21,e e 是两个不共线的向量，若212e e a -=与21e e b λ+=共线，则=λ .
15．已知2tan =α，则=+⋅+)2
cos()cos(απ
απ . 16．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是 .
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）化简θ
θθθ2cos cos 12sin sin +++； （2）求证：ααπ
απ2tan 2)4tan()4tan(=--+. 18．已知向量)sin ,(cos x x =，)3,3(=.
（1）若b a //，求x 的值；
（2）记b a x f ⋅=)(，求)(x f 的单调递增区间.
19．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，⊥PD 平面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点.
（1）求证：//PA 平面BDE ；
（2）证明：平面⊥BDE 平面PBC .
20．已知41)3cos()6cos(-=-⋅+απ
απ，)2
,3(ππα∈. （1）求α2sin 的值；
（2）求α
αtan 1tan -的值. 21．已知函数)2||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示.
（1）求)(x f 的解析式；
（2）设函数]2,
0[,sin 4)()(2π∈+=x x x f x g ，求)(x g 的值域. 22．已知函数54)(2-++=a x x x f ，74)(1+-⋅=-m m x g x .
（1）若函数)(x f 在区间]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围；
（2）当0=a 时，若对任意的]2,1[1∈x ，总存在]2,1[2∈x 使)()(21x g x f =成立，求实数m 的取值范围；
（3）若]2,[),(t x x f y ∈=的值域为区间D ，是否存在常数t ，使区间D 的长度为t 46-？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.（柱：区间],[q p 的长度为p q -）
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1～5 DBCCC 6～10 AABCA 11～12 AC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．23 14．21- 15．52 16．2
3- 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（1）θtan
（2）证明：左边==-=+---+=αα
ααααα2tan 2tan 1tan 4tan 1tan 1tan 1tan 12右边. 18. 18．（1）解：由//得，x x sin 3cos 3=，即33tan =
x 所以，Z k k x ∈+=,6ππ.
x x x f cos 3sin 3)(+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=3sin 32πx 由Z k k x k ∈+
≤+≤-,22322πππ
π
π得62652ππππ+≤≤-k x k 即()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-62,652ππππ. 19．（1）证明：连结,AC BD 交于点0，连结OE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又∵E 为PC 中点，∴OE 为PAC 的中位线
∴//PA OE ，又∵,,OE BDE PA BDE ⊂⊄面 //PA 面BDE .
（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴ BC CD ⊥， PD BC ⊥，∴BC ⊥面PCD ∴DE ⊥ BC ，又∵PD DC =， E 为PC 中点
∴DE ⊥ PC ，∴ DE ⊥面PBC ，又∵DE ⊂面BDE ，∴面BDE ⊥面PBC .
20．（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπαπ6sin 6cos 3cos 6cos 4132sin 21-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=πα 即2132sin -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πα ,34,32,2,3⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππαππα 2332cos -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+∴πα 213sin 32cos 3cos 32sin 332sin 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=∴ππαππαππαα （2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππαππα,322,2,3 由2
32cos ,212sin -=∴=αα 322sin 2cos 2cos sin cos sin sin cos cos sin tan 1tan 22=-=-=-=-∴α
ααααααααααα
21．(1) ()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭ (2) 1,2⎡-+⎣ （2）由图象得2,A =周期74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝
⎭，所以2ω=； 又由232π
π
φ⋅+=，得6π
φ=-；所以()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
()()()
24sin cos221cos23cos22g x f x x x x x x x =+=-+-=-+
223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
sin 232x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，所以()g x 的值域为1,2⎡-+⎣．
22. (1)根据题意得：)(x f 的对称轴是2-=x ，故)(x f 在区间]1,1[-递增， 因为函数在区间]1,1[-上存在零点，故有⎩⎨⎧≥≤-0
)1(0)1(f f ，即80≤≤a ，故所求实数a 的范围是
]8,0[；
（2）若对任意的]2,1[1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =成立， 只需函数)(x f y =的值域是函数)(x g y =的值域的子集，
0=a 时，]2,1[,54)(2∈-++=x a x x x f 的值域是]7,0[，
下面求)(x g ，]2,1[∈x 的值域，
令14-=x t ，则]4,1[∈t ， 72+-=m mt y ，
①0=m 时，7)(=x g 是常数，不合题意，舍去；
②0>m 时，)(x g 的值域是]72,7[+-m m ，
要使]72,7[]7,0[+-⊆m m ，只需⎩⎨⎧≥+
≤-7720
7m m ，计算得出7≥m ；
③0<m 时，)(x g 的值域是]7,72[m m -+，
要使⊆]7,0[]7,72[m m -+只需⎩⎨⎧≤+≥-0727
7m m ，计算得出27
-≤m ；
综上，m 的范围是),7[]27
,(+∞--∞ .
（3）根据题意得⎩⎨⎧>-<0462
t t ，计算得出
23
<t ，
①6-≤t 时，在区间]2,[t 上，)(t f 最大，)2(-f 最小，
t t t f t f 4644)2()(2-=++=--， 计算得出：234--=t 或234+-=t （舍去）；
②26-≤<-t 时，在区间]2,[t 上，)2(f 最大，)2(-f 最小，
t f f 4616)2()2(-==--，计算得出：25
-=t ；
③2
32<<-t 时，在区间]2,[t 上，)2(f 最大，)(t f 最小， t t t t f f 46124)()2(2-=+--=-， 计算得出：6=t 或6-=t ，故此时不存在常数t 满足题意， 综上，存在常数t 满足题意，234--=t 或25-=t .。