高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算(1)学案苏教版选修12

3.2 复数的四则运算
[学习目标] 1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算．
[知识链接]
1．复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．
2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
答不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
3．复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1. 4．z·z与|z|2和|z|2有什么关系？
答z·z＝|z|2＝|z|2.
[预习导引]
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数的乘法法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
3．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
4.共轭复数：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋b i的共轭复数记作z，即z＝a－b i.
5．复数的除法法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，
则z 1z 2＝
a ＋
b i
c ＋
d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2
i.
要点一 复数加减法的运算 例1 计算：
(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1＋(i ＋i 2
)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)． 解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i.
规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项． 跟踪演练1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)； (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)． 解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i. 要点二 复数乘除法的运算
例2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2
.
解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32
－(4i)2＝9－(－16)＝25. (3)(1＋i)2
＝1＋2i ＋i 2＝2i.
规律方法 复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 跟踪演练2 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2
. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2
＝4－(－1)＝5. (2)(1＋2i)2
＝1＋4i ＋(2i)2
＝1＋4i ＋4i 2
＝－3＋4i. 例3 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)； (2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i .
解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝
1＋2i 3－4i ＝(1＋2i)(3＋4i)
(3－4i)(3＋4i)
＝
－5＋10i 25＝－15＋2
5
i. (2)原式＝[(1＋i)2
2]6＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2
＝i 6
＋
6＋2i ＋3i －6
5
＝－1＋i.
规律方法 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)． 跟踪演练3 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i)(2＋i)
－i .
解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝25－25i
25＝1－i.
(2)(－1＋i)(2＋i)－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i)·i
－i·i ＝－1－3i.
要点三 共轭复数及其应用
例4 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2
＋b 2
＝1，即a 2
＋b 2
＝1.①
因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4
5
，b ＝3
5，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4
5，b ＝－3
5.
所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋3
5
i.
规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点． 跟踪演练4 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2
＋b 2
， ∴a 2
＋b 2
＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2
＋b 2
－2b ＋2a i ＝8＋6i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋b 2
－2b ＝8，
2a ＝6，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝1，
∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.
1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝1
2－2i ，则z 1＋z 2＝________.
答案 52－5
2
i
解析 z 1＋z 2＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－5
2i.
2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z ＝________. 答案 1＋3i
解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i. 3．复数z ＝i －2
1＋2i ＝________.
答案 i 解析
i －21＋2i ＝(i －2)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝5i
5
＝i. 4．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z
z ＝－35＋4
5
i ，则a ＝________. 答案 －2
解析 由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－2a i －a
2
1＋a
2
＝1－a 2
1＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 2
1＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2
＝4，则a ＝±2，由－
2a 1＋a 2＝4
5
可知a ＜0，仅有a ＝－2满足，故a ＝－2.
1.复数的四则运算：
(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想：
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．
一、基础达标
1．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝________. 答案 3－4i
解析 方法一 由(3＋4i)z ＝25， 得z ＝
253＋4i ＝25(3－4i)
(3＋4i)(3－4i)
＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以
⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝－4，故z ＝3－4i.
2．已知z 是纯虚数，z ＋2
1－i
是实数，那么z ＝________.
答案 －2i
解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－b ＋(b ＋2)i 2＝2－b 2＋
b ＋2
2
i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i. 3.
5＋i
1－i
的值等于________． 答案 2＋3i
4．8＋6i 的平方根是________． 答案 ±(3＋i)
解析 方法一 设8＋6i 的平方根是x ＋y i(x ，y ∈R )， 则(x ＋y i)2
＝8＋6i ，即x 2
－y 2
＋2xy i ＝8＋6i.
由复数相等，得⎩⎪⎨
⎪⎧ x 2
－y 2
＝8，
2xy ＝6.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝1
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－3，y ＝－1.
方法二 ∵8＋6i ＝9＋6i ＋i 2
＝(3＋i)2
，∴8＋6i 的平方根是±(3＋i)． 5．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝________. 答案 4＋i
解析 两式相加得2z 1＝8＋2i ，∴z 1＝4＋i. 6．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)(13＋12i)＋(2－i)－(43－3
2
i)；
(3)(2＋2i)
12
(－1＋3i)9＋(－23＋i)
100
(1＋23i)
100
. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i ＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i.
(2)(13＋12i)＋(2－i)－(43－32i)＝13＋12i ＋2－i －43＋32i
＝(13＋2－43)＋(12－1＋3
2)i ＝1＋i. (3)(2＋2i)
12
(－1＋3i)9＋(－23＋i)
100
(1＋23i)100 ＝
212(1＋i)
12
29·(－12＋32i)
9
＋(i －23)
100
[－i(i －23)]100
＝
212·(2i)
6
29·[(－12＋32
i)3]
3
＋(i －23)
100
(－i)100(i －23)100
＝23
·26
·i 6
13
＋1i
100＝－29＋1＝－511. 7．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2
＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值
范围．
解 ∵z 1＝m 2＋m
m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，
∴z 1＋z 2＝(m 2＋m
m ＋2－2)＋[(m －15)＋m (m －3)]i
＝m 2－m －4m ＋2
＋(m 2－2m －15)i.
∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2
－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 二、能力提升
8．复数2i
－1＋3i 的虚部是________．
答案 －1
2
解析 原式＝2i(－1－3i)1＋3＝23－2i 4＝32－1
2i ，
∴虚部为－1
2
.
9．设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝________.
答案 2＋3i
解析 由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i)
(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.
10．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2
＝________. 答案 3＋4i
解析 由题意知a －i ＝2－b i ，
∴a ＝2，b ＝1，∴(a ＋b i)2
＝(2＋i)2
＝3＋4i.
11．已知z ＝1＋i ，a ，b ∈R ，若z 2＋az ＋b
z 2－z ＋1
＝1－i ，求a ，b 的值．
解 ∵z ＝1＋i ，∴z 2
＝2i ，
∴z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋a i ＋b 2i －1－i ＋1＝(a ＋2)i ＋(a ＋b )i
＝a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋2＝1，a ＋
b ＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝2.
12．已知复数z 满足z 2
＝5－12i ，求1z
.
解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝x 2
－y 2
＋2xy i. 又z 2
＝5－12i ，所以x 2
－y 2
＋2xy i ＝5－12i.
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－y 2
＝5，2xy ＝－12.解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝－2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3，
y ＝2.
所以z ＝3－2i 或z ＝－3＋2i.
所以1z ＝13－2i ＝313＋213i 或1z ＝1－3＋2i ＝－313－2
13i.
所以1z ＝313＋213i 或1z ＝－313－213i.
三、探究与拓展
13．已知1＋i 是方程x 2
＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？ 解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2
＋b (1＋i)＋c ＝0，
即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＋
c ＝0，2＋b ＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝－2，
c ＝2.
∴b ，c 的值为b ＝－2，c ＝2.
(2)由(1)得方程为x 2
－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2
－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根.。