上海市闵行区闵行区莘松中学2021-2022学年中考数学仿真试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（,1），下列结论：①ac＜1；②a+b=1；③4ac ﹣b2=4a；④a+b+c＜1．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列各数中最小的是（）
A．0 B．1 C．﹣3D．﹣π
3．如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是
A．甲B．乙
C．丙D．丁
4．已知3x+y＝6，则xy的最大值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．在实数0，2
-，15）
A．0B．2-C．1D5
6．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，若AB ∥CD ，则α、β、γ之间的关系为( )
A ．α+β+γ=360°
B ．α﹣β+γ=180°
C ．α+β﹣γ=180°
D ．α+β+γ=180°
8．平面上直线a 、c 与b 相交(数据如图)，当直线c 绕点O 旋转某一角度时与a 平行，则旋转的最小度数是( )
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
9．在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．计算3
()a a •- 的结果是（ ） A ．a 2
B ．-a 2
C ．a 4
D ．-a 4
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，若⊙O 的半径是5，CD ＝8，则AE ＝______．
12．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°
≈0.83，tan34°≈0.67）
13．如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_______．
14．如图，在
O 中，AB 为直径，点C 在O 上，ACB ∠的平分线交O 于D ，则ABD ∠=______.
15．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AC ＝6cm ，则AB 的长是_____．
16．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．
17．如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向向右平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为 ．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A 、C 两地海拔高度约为1000米，山顶B 处的海拔高度约为1400米，由B 处望山脚A 处的俯角为30°，由B 处望山脚C 处的俯角为45°，
若在A 、C 两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据3≈1.732）
19．（5分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m 、200m 、1000m （分别用 A 1、A 2、A 3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T 1、T 2 表示）．该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P 1，利用列表法或树状图加以说明；该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P 2 为 ．
20．（8分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A ，B 两种型号的学习用品共1000件，已知A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元．若购买这批学习用品用了26000元，则购买A ，B 两种学习用品各多少件？若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？ 21．（10分）班级的课外活动，学生们都很积极.梁老师在某班对同学们进行了一次关于“我喜爱的体育项目”的调査，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：
调查了________名学生；补全条形统计图；在扇形统计图
中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为________；学校将举办运动会，该班将推选5位同学参加乒乓球比赛，有3位男同学(,,)A B C 和2位女同学(,)D E ，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.
22．（10分）如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22º时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上)．
求教学楼AB 的高度；学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之
间的距离(结果保留整数)．
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果∠BDC=30°，DE=2，EC=3，求CD的长．
24．（14分）（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组频数频率
50≤x＜60 8 0.16
60≤x＜70 12 a
70≤x＜80 ■0.5
80≤x＜90 3 0.06
90≤x≤100 b c
合计■ 1
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
①根据图象知道：a＜1，c＞1，∴ac＜1，故①正确；
②∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴x="-b/2a" ="1/2" ，∴a+b=1，故②正确；
③根据图象知道：x=1时，y=a++b+c＞1，故③错误；
④∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴=1，∴4ac-b2=4a，故④正确．
其中正确的是①②④．故选C
2、D
【解析】
根据任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可判断．
【详解】
﹣π30＜1．
则最小的数是﹣π．
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，理解任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小是关键．
3、D
【解析】
解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁．故选D．
4、B
【解析】
根据已知方程得到y=-1x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=-1x2+6x，利用配方法求该式的最值．
【详解】
解：∵1x+y=6，
∴y=-1x+6，
∴xy=-1x2+6x=-1（x-1）2+1．
∵（x-1）2≥0，
∴-1（x-1）2+1≤1，即xy的最大值为1．
故选B．
【点睛】
考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值．
5、B
【解析】
由正数大于一切负数，负数小于0，正数大于0，两个负数绝对值大的反而小，把这四个数从小到大排列，即可求解．【详解】
解：∵0，-2，1-2＜0＜1
∴其中最小的实数为-2；
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，关键是掌握：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小．6、B
【解析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7、C
【解析】
过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，如图，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，
∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，
∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF∥AB、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8、C
【解析】
先根据平角的定义求出∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠1＝180°﹣100°＝80°，a∥c，
∴∠α＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
9、A
【解析】
解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图．∵OC⊥AB，∴AC=BC=1
2
AB=
1
2
×8=1．在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC2222
543
OA AC
-=-=，即圆心O到AB的距离为2．故选A．
10、D 【解析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】
解：34
()=a a a •--，
故选D ． 【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、2 【解析】
连接OC,由垂径定理知,点E 是CD 的中点,在直角△OCE 中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求得圆半径即可 【详解】 设AE 为x ， 连接OC ，
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8， ∴∠CEO ＝90°，CE ＝DE ＝4， 由勾股定理得：OC 2＝CE 2＋OE 2， 52＝42＋（5－x ）2， 解得：x ＝2， 则AE 是2， 故答案为：2
【点睛】
此题考查垂径定理和勾股定理，,解题的关键是利用勾股定理求关于半径的方程. 12、1． 【解析】
试题解析：在RtΔABC 中，sin34°=AC
AB
∴AC=AB×sin34°=500×0.56=1米. 故答案为1.
13、2
933cm 4π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
解：如图，作OH ⊥DK 于H ，连接OK ，
∵以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，∴AD=2CD ． ∴根据折叠对称的性质，A'D=2CD ．
∵∠C=90°，∴∠DA'C=30°．∴∠ODH=30°．∴∠DOH=60°． ∴∠DOK=120°．
∴扇形ODK 的面积为()
2
212033cm 360
ππ⨯⨯=．
∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm ，∴333
OH cm,DH 2=
=．∴DK 33cm =． ∴△ODK 的面积为
)
21393
33cm 22⨯=． ∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：2
933cm 4π⎛- ⎝⎭．
故答案为：2
933cm 4π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭． 14、1 【解析】
由AB 为直径，得到ACB 90∠=，由因为CD 平分ACB ∠，所以ACD 45∠=，这样就可求出ABD ∠．
【详解】
解：AB 为直径，
ACB 90∠∴=，
又CD 平分ACB ∠，
ACD 45∠∴=，
ABD ACD 45∠∠∴==．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.同时考查了直径所对的圆周角为90度．
15、3cm ．
【解析】
根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA ＝OB ＝OD ＝OC ，由∠AOB ＝60°，判断出△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB 即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，AC ＝6cm
∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝3cm ，
∵∠AOB ＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AB ＝OA ＝3cm ，
故答案为：3cm
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质，解本题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．
16、（1，0）；（﹣5，﹣2）.
【解析】
本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点．
【详解】
∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），
∴E （-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），
（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点，
设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11
b k =-⎧⎨=⎩． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；
（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，
设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故此一次函数的解析式为1122
y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115
y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得52x y =-⎧⎨=-⎩
，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）． 故答案为：（1，0）、（-5，-2）．
17、1．
【解析】
试题解析：根据题意，将周长为8的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，
则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ，
又∵AB+BC+AC=1，
∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1．
考点：平移的性质．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、隧道最短为1093米．
【解析】
【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【详解】如图，作BD⊥AC于D，
由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），
∠BAC=30°，∠BCA=45°，
在Rt△ABD中，
∵tan30°=BD
AD
，即
4003
3
AD
=，
∴AD=4003（米），在Rt△BCD中，
∵tan45°=BD
CD
，即
400
1
CD
=，
∴CD=400（米），
∴AC=AD+CD=4003+400≈1092.8≈1093（米），
答：隧道最短为1093米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
19、（1）2
5
；（1）
3
5
；（3）
3
10
；
【解析】
（1）直接根据概率公式求解；
（1）先画树状图展示所有10种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；
（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P1．
【详解】
解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；
（1）画树状图为：
共有10种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为11，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P 1==；
（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，
所以两个项目都是径赛项目的概率P 1==． 故答案为． 考点：列表法与树状图法．
20、（1）购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）最多购买B 型学习用品1件
【解析】
（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论．
（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求出其解即可．
【详解】
解：（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，由题意，得
x y 100020x 30y 26000+=⎧⎨+=⎩，解得：x 400y 600=⎧⎨=⎩
． 答：购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．
（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，由题意，得
20（1000﹣a ）+30a≤210，
解得：a≤1．
答：最多购买B 型学习用品1件
21、50 见解析（3）115.2° (4)35
【解析】
试题分析：（1）用最喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得总共的学生数;
（2）用学生的总人数乘以各部分所占的百分比,可得最喜欢足球的人数和其他的人数,即可把条形统计图补充完整;
（3）根据圆心角的度数=360 º×它所占的百分比计算;
（4）列出树状图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，从而可求出答案.
解：（1）由题意可知该班的总人数=15÷30%=50（名）
故答案为50；
（2）足球项目所占的人数=50×18%=9（名），所以其它项目所占人数=50﹣15﹣9﹣16=10（名）
补全条形统计图如图所示：
（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×=115.2°，
故答案为115.2°；
（4）画树状图如图．
由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，
所以P（恰好选出一男一女）==．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率的计算.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息及掌握概率的计算方法是解决问题的关键.
22、（1）2m（2）27m
【解析】
（1）首先构造直角三角形△AEM，利用0AM
tan22
ME
=，求出即可．
（2）利用Rt△AME中，0ME
cos22
AE
=，求出AE即可．【详解】
解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
在Rt △ABF 中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x ，
∴BC=BF ＋FC=x ＋1．
在Rt △AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB －BM=AB －CE=x －2， 又∵0AM tan22ME =，∴x 22x 135
-≈+，解得：x≈2． ∴教学楼的高2m ．
（2）由（1）可得ME=BC=x+1≈2+1=3．
在Rt △AME 中，0ME cos22AE =
， ∴AE=MEcos22°≈15252716
⨯≈． ∴A 、E 之间的距离约为27m ．
23、（1）证明见解析；（2）CD 的长为223+．
【解析】
（1）首先证得△ADE ≌△CDE ，由全等三角形的性质可得∠ADE =∠CDE ，由AD ∥BC 可得∠ADE =∠CBD ，易得∠CDB =∠CBD ，可得BC =CD ，易得AD =BC ，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD 为平行四边形，由AD =CD 可得四边形ABCD 是菱形；
（2）作EF ⊥CD 于F ，在Rt △DEF 中，根据30°的性质和勾股定理可求出EF 和DF 的长，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可求出CF 的长，从而可求CD 的长.
【详解】
证明：（1）在△ADE 与△CDE 中，
，
∴△ADE ≌△CDE （SSS ），
∴∠ADE=∠CDE ，
∵AD ∥BC ，
∴∠ADE=∠CBD ，
∴∠CDE=∠CBD ，
∴BC=CD ，
∵AD=CD ，
∴BC=AD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）作EF⊥CD于F.
∵∠BDC=30°，DE=2，
∴EF=1，DF=，
∵CE=3，
∴CF=2，
∴CD=2+．
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，菱形的判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理.证明AD=BC 是解（1）的关键，作EF⊥CD于F，构造直角三角形是解（2）的关键.
24、（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）2
5人.
【解析】
（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.
【详解】
解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）
a=12÷50=0.24，
70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名）
b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）
c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：
1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：
抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P=8
20
=
2
5
【点睛】
本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．。