演示版云师堂-高考数学-2017一轮复习第二章第12讲.ppt

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第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点三 已知函数的单调性求参数的范围(高频考点) 利用导数根 据函数的单调性 (区间 )求参数的取值范围，是高 考 考查 函数 单调 性的 一个 重要 考向 ，常 以解答 题的 形式出 现． 高考对函数单调性 的考查主要有以下四个命题角度： (1)根据 f(x)在区间 A 上单调递增(减)，求参数的取值范围； (2)根据 f(x)在区间 A 上存在单调递增(减)区间，求参数的取 值范围； (3)根据 f(x)在区间 A 上为单调函数，求参数的取值范围； (4)根据 f(x)在区间 A 上不单调，求参数的取值范围．
所以在 x∈(－1，0)和(0，＋∞)时，f′(x)<0，
所以 f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)上为减函数．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点二 求函数的单调区间
已知函数
f(x)＝x4＋ax－ln
x－3，其中 2
a∈R，且曲
线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝1x. 2
3
3
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
(2)f(x)＝－1x3 ＋1x2 ＋ 2ax，由题意知 32
f′(x)＝－x2＋x＋2a>0 在23，＋∞ 上有解，
即 2a>(x2－x)min，
令 g(x)＝x2－x，g(x)>g23＝－29.
即 a>－1. 9
所以 a 的取值范围为－19，＋∞ .
a>－3，
解之得－3<a<－2 2，
即实数 a 的取值范围为(－3，－2 2)．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
根据函数单调性确定参数范围的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则 区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函数单调递减，则 f′(x)≤0”来求解.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
3.(1)(2016·九江第一次统考)已知函数 f(x)＝1x2 2
＋2ax－ln x，若 f(x)在区间13，2上是增函数，则实数 a 的 取值范围为______43_，__＋__∞_________．
(2)设
f(x)＝－1x3＋1x2＋ 2ax.若 32
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)若函数 f(x)＝kx－ln
x 在区间(1，＋∞)单调递增，则 k 的取值范围是( D )
A． (－∞，－ 2]
B． (－∞，－ 1]
C． [2，＋∞ )
D． [1，＋∞ )
(2)已知函数 g(x)＝1x3－1ax2＋2x. 32
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
方法思想——分类讨论思想研究函数的单调性
(2015·高考江苏卷节选)已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ b(a，b∈R)．试讨论 f(x)的单调性． [解] f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝0，x2＝－23a. 当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f(x)在(－∞，＋ ∞)上单调递增；
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
3．已知函数 f(x)＝xsin x，x∈R，则 fπ5 ，f(1)，f－π3 的
大小关系为( A )
A．
f－π3 >f(1)>fπ5
B．f(1)>f－π3 >fπ5
C．
fπ5 >f(1)>f－π3
D．f－π3 >fπ5 >f(1)
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解析：因为 f(x)＝x·sin x，
在 x＝－4处取得极值． 3
(1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
[解](1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x， 因为 f(x)在 x＝－43处取得极值，
所以 f′－34＝0， 即 3a·196＋2·－43＝136a－83＝0，
当－4＜x＜－1 时，g′(x)＞0，故 g(x)为增函数；
当－1＜x＜0 时，g′(x)＜0，故 g(x)为减函数；
当 x＞0 时，g′(x)＞0，故 g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，
－1)和(0，＋∞)内为增函数．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间． [解](1)对 f(x)求导得 f′(x)＝14－xa2－1x，
由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x，知
f′(1)＝－34－a＝－2，解得 a＝54.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
(2)由(1)知 f(x)＝x＋ 5 －ln x－3，
①若 g(x)在(－2，－1)内为减函数，求实数 a 的取值范围；
②若 g(x)在区间(－2，－1)内不单调，求实数 a 的取值范围．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
[解](1)选 D.由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋ ∞)单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立． 由于 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1.即 k 的取值范围为[1，＋ ∞)． (2)①因为 g′(x)＝x2－ax＋2，且 g(x)在(－2，－1)内为减函 数，所以 g′(x)≤0，即 x2－ax＋2≤0 在(－2，－1)内恒成立， 所以g′（－2）≤0，即4＋2a＋2≤0，
数．
故函数 f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，
5)．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
导数法求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
4．(选修22 P26练习T1(2)改编)函数f(x)＝ex－x的单调递增区 间是____(0_，__＋__∞__)． 解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1， 由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
第二章 基本初等函数、导数及其应用
所以 f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)．
所以函数 f(x)是偶函数，
所以 f－π3 ＝fπ3 .
又 x∈0，π2 时，得
f′(x)＝sin x＋xcos x>0，
所以此时函数是增函数．
所以 fπ5 <f(1)<fπ3 .
所以 f－π3 >f(1)>fπ5 ，故选 A.
第二章 基本初等函数、导数及其应用
第12讲 导数与函数的单调性
第二章 基本初等函数、导数及其应用
函数的单调性 在(a，b)内函数 f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于 0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为_增__函__数___． f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为_减__函__数___．
＋∞)．判断函数 f(x)的单调性．
解：
f′
x (x)＝x＋
－ 1
ln（ x2
x＋
1） ，
设 g(x)＝x＋x 1－ln(x＋1)，x>－1，
则
g′(x)＝（
1 x＋
1）
2－x＋1
1＝（
－x x＋1）
2，
当 x∈(－1，0)时，g′(x)>0，g(x)为增函数；当 x∈(0，＋
∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数．所以 g(x)≤g(0)＝0，
5．f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，那么实数a的最大 值是____3____． 解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点一 利用导数判断或证明函数的单调性 (2015·高考重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)
导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x)； (2)确认 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
1.已知函数 f(x)＝ln（x＋1），x∈(－1，0)∪(0， x
f(x)在23，＋∞上存在单调
递增区间，则 a 的取值范围为___－__19_，__＋__∞_________．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
解析 ：(1)f′(x)＝ x＋ 2a－1≥ 0 x
在13，2上恒成立，即
2a≥－
x＋1x在13，2上恒成立，
因为－
x＋1 x
max＝83，
所以 2a≥8，即 a≥4.
4 4x
2
则
f′(x)＝x2－44xx2－
5 .
令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5.
因为 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，<0，故 f(x)在(0，5)内为减函数；
当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
1．如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判断 中正确的是( A )
A．函数 f(x)在区间(－3，0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(－3，2)上是减函数 C．函数 f(x)在区间(0，2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(－3，2)上是单调函数
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
辨明导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(或<0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不 必要条件； (2)f′(x)≥0(或≤0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要 不充分条件． 注意：由函数 f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得 f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是 f′(x)>0(或<0)恒成 立，“＝”不能少．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
2.(2015·高考四川卷节选)已知函数 f(x)＝－2xln x＋x2－2ax＋a2，其中 a>0.设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x) 的单调性． 解：由已知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f′(x)＝2(x－1－ln x－a)， 所以 g′(x)＝2－2x＝2（x－ x 1）. 当 x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
解得 a＝12.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
(2)由(1)得 g(x)＝12x3＋x2ex，
故 g′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex
＝12x3＋52x2＋
2x
e
x＝1x(x＋ 2
1)(x＋
4)ex.
令 g′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝－1 或 x＝－4.
当 x＜－4 时，g′(x)＜0，故 g(x)为减函数；
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
2．函数 f(x)＝x3－3x＋1 的单调增区间是( D ) A．(－1，1) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析：f′(x)＝3x2－3.由 f′(x)＞0 得，x＜－1 或 x＞1.故单调 增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故选 D.
g′（－1）≤0， 1＋a＋2≤0，
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
解之得 a≤－3， 即实数 a 的取值范围为(－∞，－3]． ②因为 g(x)在(－2，－1)内不单调，g′(x)＝x2－ax＋2，
－2<a<－1， 2
所以 g′(－2)·g′(－1)<0 或 Δ>0， g′（－2）>0，
g′（－1）>0. 由 g′(－2)·g′(－1)<0，得(6＋2a)·(3＋a)<0，无解．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
－2<a<－1，
－4<a<－2，
2
由 Δ>0，
a2 － 8>0， 得
g′（－2）>0， 6＋2a>0，
g′（－1）>0， 3＋a>0，
－4<a<－2， 即a>2 2或a<－2 2，