江陵县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

江陵县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1， =
﹣
（2x n +1）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于
（ ）
A ．65
B ．63
C ．33
D ．31
2． 设集合,,则( )
A B
C
D
3． 二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24 C ．30 D ．36
4． 已知复数z 满足z •i=2﹣i ，i 为虚数单位，则z=（ ） A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2i
C ．1﹣2i
D ．1+2i
5． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与
sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直 6． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，
E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ） A ．
725
B ．725- C. 725± D ．2425
8． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）
A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0
B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0
C ．x+y+1=0，2x+y=0
D ．x ﹣y+1=0，x+2y=0
9． 若等式（2x ﹣1）2014=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2014x 2014对于一切实数x 都成立，则a 0+
1+
a 2+…+a 2014=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．0
10．（+
）2n （n ∈N *
）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）
A ．120
B ．210
C ．252
D ．45
11．设集合 A={ x|﹣3≤2x ﹣1≤3}，集合 B 为函数 y=lg （ x ﹣1）的定义域，则 A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．[1，2] C ．[1，2） D ．（1，2] 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
二、填空题
13．给出下列四个命题：
①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π； ②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题； ④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0． 其中正确命题的序号是 ．
14．设函数f （x ）=
的最大值为M ，最小值为m ，则M+m= ．
15．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．
16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC
与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线
y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥
=
π
（）2
dx=x 3
|
=
．
据此类推：将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
18．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
20．
设函数()x
f x e =，()ln
g x x =．
（Ⅰ）证明：()2e
g x x
≥-
； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．
21． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线⊥AF 平面ABCD ，AB EF //，
12,2====EF AF AB AD ，点P 在棱DF 上.
（1）求证：BF AD ⊥；
（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （3）若FD FP 3
1
=
，求二面角C AP D --的余弦值.
22．设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当时，g（x）≤t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
23．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)面积的最大值．
2420142015CBA5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：
3分球的平均命中率；
（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率．假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分ξ分布列和数学期望．
江陵县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由=﹣（2x n+1），
得+（2x n+1）=，
设，
以线段P n A、P n D作出图形如图，
则，
∴，∴，
∵，∴，
则，
即x n+1=2x n+1，∴x n+1+1=2（x n+1），
则{x n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴x5+1=2•24=32，
则x5=31．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
2． 【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。

3． 【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r •x 12﹣3r ，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x 3
项的系数为
•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x 3
项的系数之和为20，
故选：A ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
4． 【答案】A
【解析】解：由z •i=2﹣i 得，，
故选A
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=，
则sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=，所以两直线是垂直的，故选C. 1 考点：两条直线的位置关系. 6． 【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为
，
故选C ．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
7． 【答案】A
【解析】
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化. 8． 【答案】C
【解析】解：圆x 2
+y 2﹣2x+4y=0化为：圆（x ﹣1）2+（y+2）2
=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为
，直
线l 将圆 x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，
∴直线l 的方程是：y+2=﹣（x ﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．
故选：C ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．
9． 【答案】B
【解析】解法一：∵，
∴（C 为常数），
取x=1得，
再取x=0得，即得
，
∴，
故选B ．
解法二：∵，
∴
，
∴，
故选B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．
10．【答案】
B
【解析】
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．
【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=，
令5﹣=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．11．【答案】D
【解析】解：由A中不等式变形得：﹣2≤2x≤4，即﹣1≤x≤2，
∴A=[﹣1，2]，
由B中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，
∴B=（1，+∞），
则A∩B=（1，2]，
故选：D．
12．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，
则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，
解得：a m=0或a m=2，
若a m等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，
∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
二、填空题
13．【答案】①③④．
【解析】解：①∵，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x2﹣4x﹣5=0，但当x2﹣4x﹣5=0时，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”成立的充分不必要条件，故②错误；
③易知命题p为真，因为＞0，故命题q为真，所以p∧（￢q）为假命题，故③正确；
④∵f′（x）=3x2﹣6x，∴f′（1）=﹣3，∴在点（1，f（1））的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣3（x﹣1），即3x+y ﹣2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④．
故答案为①③④．
14．【答案】2．
【解析】解：函数可化为f（x）==，
令，则为奇函数，
∴的最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即M+m=2．
故答案为：2．
15．【答案】[﹣1，3]．
【解析】解：∵函数y=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx≤1，
∴0≤（sinx﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）2﹣1≤3．
∴函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
21
16．【答案】
【解析】
17．【答案】8π．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x 2
与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy 轴转一周得到旋转体的体积．着重
考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
18．【答案】
．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥， 8
个三棱锥的体积为：
=．
剩下的凸多面体的体积是1
﹣
=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
三、解答题
19．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n n
a a a a ++-=
+得22
14n n
a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分） ∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得n a =． （6分）
（Ⅱ）∵
111
2
n n a a +==+， （9分）
∴数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为
1111
1)(1)2222
n +++=． （12分） 20．【答案】
【解析】（Ⅰ）令
e e ()()2ln 2F x g x x x x =-+=-+，22
1e e ()x F x x x x
-'∴=-=
由()0e F x x '>⇒> ∴()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增，
∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即e
()2g x x
≥-成立． …… 5分
（Ⅱ） 记()()()x x
h x f x f x ax e e ax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，
()e x x
h x e a -'=+-， ∵ ()()e 00x x h x e x -''=-≥≥，
∴ ()h x '在[0,)+∞递增， 又(0)2h a '=-， …… 7分
∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增， 则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； …… 9分 ② 当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<， ∴ 必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，
即 (0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． …… 12分 21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.
（3）因为⊥AB 平面ADF ，所以平面ADF 的一个法向量)0,0,1(1=n .由3
1
=知P 为FD 的三等分点且此时)32,32,
0(P .在平面APC 中，)3
2
,32,0(=，)0,2,1(=AC .所以平面APC 的一个法向量
)1,1,2(2--=n .……………………10分
所以3
6
|
||||,cos |212121=
=
><n n n n ，又因为二面角C AP D --的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为3
6
.……………………………………………………………………12分 22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f （﹣x ）=﹣f （x ）得 kx 2﹣2x=﹣kx 2
﹣2x ，
∴k=0．
（Ⅱ）∵g （x ）=a f （x ）﹣1=a 2x ﹣1=（a 2）x
﹣1
①当a 2＞1，即a ＞1时，g （x ）=（a 2）x ﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g （x ）最大值为g （2）=a 4﹣1．
②当a 2＜1，即0＜a ＜1时，∴g （x ）=（a 2）x 在[﹣1，2]上为减函数，
∴g （x ）最大值为
．
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g （x ）在x ∈[﹣1，1]上的最大值为
，
∴1≤t 2﹣2mt+1即t 2
﹣2mt ≥0在[﹣1，1]上恒成立
令h （m ）=﹣2mt+t 2
，∴
即 所以t ∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）． 【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分
析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）由已知 ，
点
在椭圆上，
，解得
．
所求椭圆方程为
(Ⅱ)设，，的垂直平分线过点, 的斜率存在．
当直线的斜率时，
当且仅当时，
当直线的斜率时，设．
消去得：
由．①
，
，的中点为
由直线的垂直关系有，化简得②
由①②得
又到直线的距离为，
时，．
由，，解得；
即时，；
综上：；
24．【答案】
【解析】解：（1）该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率为：
=，
3分球的命中率为：=．
（2）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3分球命中的概率分别为，，ξ的可能取值为0，2，3，5，
P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=（1﹣）×=，
P（ξ=5）==，
∴该运动员在最后1分钟内得分ξ的分布列为：
∴该运动员最后1分钟内得分的数学期望为Eξ==2．
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想．。