安徽省滁州市来安县半塔中学2018年高二数学文上学期期末试题含解析

安徽省滁州市来安县半塔中学2018年高二数学文上学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，AB是圆O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作圆
O的切线，切点为C，PC=若，则圆O的直径
AB等于( )．
A.2
B.4
C.6
D.
参考答案：
B
2. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
参考答案：
A
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】计算题．
【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．
【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均
值： =46．
众数是45，极差为：68﹣12=56．
故选：A．
【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．
3. 汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费+年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x年的总维修费y满足y=ax2+bx，已知第一年的维修费为1000元，前二年总维修费为3000元，这这种汽车的最佳使用年限为（）
A．8 B．9 C．10 D．12
参考答案：
C
考点：函数模型的选择与应用．
专题：转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：设出这种汽车使用n年报废合算，表示出每年的维修费用，根据每年平均消耗费用，建立函数模型，再用基本不等式法求其最值．
解答：解：∵前x年的总维修费y满足y=ax2+bx，且第一年的总维修费为1000元，前两年的总维修费为3000元，
∴，
解得a=b=500；
设这种汽车使用n年报废合算，
由题意可知，每年的平均消耗费用f（n）
==+500n+6500≥2+6500=16500
当且仅当=500n，即n=10时，等号成立．
故这种汽车使用10年报废合算．
故选：C
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，本题解题的关键是整理出符合基本不等式的代数式
4. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（）
A B C D
参考答案：
A
略
5. .已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1的直线与双
曲线的右支交于点P，若，直线PF1与圆相切，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. 12 D. 10
参考答案：
D
【分析】
先根据题意得到，由双曲线定义得到，再由
直线与圆相切，得到，在中，结合余弦定理，可求出，进而可求出结果.
【详解】因为分别是双曲线的左、右焦点，
所以，
又过点的直线与双曲线的右支交于点，，
所以，由双曲线定义可得，
因为直线与圆相切，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，化简得，所以，
解得，又，所以，
因此双曲线的焦距为.
故选D
【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的定义与性质即可，属于常考题型.
6. 如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：
①﹣2是函数y=f（x）的极值点；
②1是函数y=f（x）的最小值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）=在区间（﹣2，2）上单调递增．
则正确命题的序号是（）
A．①④B．②④C．③④D．②③
参考答案：
A
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：根据导函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，
且f′（﹣2）=0，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上为增函数．故﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；
故1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；
根据函数（﹣2，+∞）上为增函数，故y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③正确；根据y=f（x）=在区间（﹣2，2）上的导数大于或等于零，故f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，故④正确，
故选：A．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
7. 若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能
是
A．三棱柱 B. 圆柱 C . 圆
锥 D. 球体
参考答案：
C
8. 把十进制数15化为二进制数为（ C ）
A． 1011 B．1001 (2） C． 1111（2） D．1111
参考答案：
C
9. 2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ()
A．18种 B．36种 C．48种 D．72种
参考答案：
D
分两类：第一类，甲、乙两人只选一人参加，共有：；
第二类：甲乙两人都选上，共有：，有分类计数原理，得不同的选派方案共有72种．
10. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若
∠，则双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0
上(其中m，n>0)，则的最小值等于________．
参考答案：
8
12. 等比数列中，公比q=4，且前3项之和是21，则数列的通项公式
参考答案：
13. 已知，且，则的最小值为。

参考答案：
14. 求与圆A：=49和圆B：=1都外切的圆的圆心P的轨迹方
程
参考答案：
略
15. 。

参考答案：
333298
16. （坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与
极轴所成的角为，则直线的极坐标方程
为．
参考答案：
或或或
略
17. 已知随机变量X的分布列如下表：
其中a是常数，则的值为_______.
参考答案：
【分析】
根据分布列中概率和为1可构造方程求得，由求得结果. 【详解】由分布列可知：，解得：
则
本题正确结果：
【点睛】本题考查分布列性质的应用，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分7分)
在△中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．
参考答案：
解：（1）由余弦定理得，b2=a2+c2-2accos600,即b2=22+32-2×2×3×=7,
∴b=.-----------------4分
(2)由正弦定理得，------------7分
19. 已知二次函数f（x）的二次项数为a，且不等式f（x）＞﹣x的解集为（1，2）．
（1）若函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；
（2）若对?x∈[0，3]，都有f（x）≥﹣4，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）≥0．
参考答案：
【考点】二次函数的性质．
【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，由题意可得1，2为方程ax2+（b+1）x+c=0的解，运用韦达定理，可得b=3a﹣1，c=2a，a＜0，再由零点的求法，即可得到a的值，进而得到函数的解析式；
（2）由题意可得a≥在[0，3]的最大值，由g（x）=的导数，即可判断单调性，求得最大值，进而得到a的范围；
（3）运用判别式，判断大于0恒成立，求得方程的两根，判断大小，运用二次不等式的解法即可得到所求解集．
【解答】解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，
不等式f（x）＞﹣x的解集为（1，2），
即有1，2为方程ax2+（b+1）x+c=0的解，
即1+2=﹣，1×2=，
可得b=3a﹣1，c=2a，a＜0，
即有函数y=f（x）+2a=ax2+（3a﹣1）x+4a，
由函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，
可得判别式为0，即（3a﹣1）2﹣16a2=0，
解得a=﹣1或（舍去），
即有f（x）=﹣x2﹣4x﹣2；
（2）对?x∈[0，3]，都有f（x）≥﹣4，
即为ax2+（3a﹣1）x+2a+4≥0，
即有a≥在[0，3]的最大值，
由g（x）=的导数为g′（x）=，
由于﹣x2+8x+14＞0在[0，3]上恒成立，
即有g′（x）＞0，g（x）递增，
可得g（3）取得最大值，且为﹣，
则﹣≤a＜0；
（3）f（x）≥0，即为ax2+（3a﹣1）x+2a≥0，（a＜0），
判别式△=（3a﹣1）2﹣8a2=a2﹣6a+1＞0恒成立，
由方程ax2+（3a﹣1）x+2a=0的两根为x1=，
x2=，a＜0，
可得x1＞x2，
则不等式f（x）≥0的解集为[，]．
【点评】本题考查二次函数和二次不等式及二次方程的关系，考查函数的零点的问题的解法，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性求得最值，考查含参不等式的解法，属于中档题．
20. （本小题满分14分）在数列和中，
已知.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和.
参考答案：
（Ⅰ）∵
∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，
∴.……………………………………………………………4分
∵
∴ .……………………………………… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（n）
∴.
∴，①
于是②…………………………………………………………………………………………… 8分
①-②得
= (12)
分
∴ .………………………………………………………14分.
21. .(本小题满分12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名, 以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字为叶)：
(1) 指出这组数据的众数和中位数；
(2) 若幸福度不低于9.5分, 则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,
至多有1人是“极幸福”的概率；
(3) 以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据, 若从该社区(人数很多)任选3人,
记表示抽到“极幸福”的人数, 求的分布列及数学期望．
参考答案：
解：(1)众数：8.6；中位数：8.75 ……………2分
(2)设表示所取3人中有个人是“极幸福”, 至多有1人是“极幸福”记为事件, 则
……………6分
(3)的可能取值为0、1、2、3高.考.资.源+
网………………7分高.
；
；
分布列为
…………………11分
. …………………12分另解：的可能取值为0、1、2、3高. …………………7分
∽B（3, ）, . …………………9分
为
略
22. （本
小题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，且在上是关于的一次函数，在上是关于的二次函数，且当时，满足：①；
②，求表达式。

参考答案：。