2019_2020学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2.2对数函数学案新人教B版必修1202007040618

3．2．2 对数函数
1．了解对数函数模型所刻画的数量关系．2．理解对数函数的概念及对数函数的单调性．3．掌握对数函数的图象与性质．
,
)
1．对数函数的概念
函数y
＝log a x(a>0，a≠1，x
>0)叫做对数函数，其中x是自变量．
2．对数函数的图象与性质
a>10<a<1
图
象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
过定点(1，0)，即当__x＝1__时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数
1．函数y＝log2x的图象大致是( )
答案：C
2．若a>0且a≠1，则函数y＝log a(x－1)－1的图象恒过点________．答案：(2，－1)
3．指出下列函数哪些是对数函数．
(1)y＝log a(x＋2)(a>0，a≠1)；
(2)y＝4log3x；
(3)y＝2log a x＋1(a>0，a≠1)；
(4)y ＝log 2x ．
解：(1)(2)(3)都不是，只有(4)是对数函数．
4．底数a 的大小变化对对数函数y ＝log a x 的图象有何影响？ 解：(1)当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴． (2)当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴．
对数型函数的定义域
求下列函数的定义域： (1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log 1－x 5；
(3)y ＝log 0.5（8x －6）．
【解】 (1)要使函数式有意义，需1－x >0，解得x <1， 所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x <1}．
(2)要使函数式有意义，需⎩
⎪⎨⎪⎧1－x >0
1－x ≠1，解得x <1，且x ≠0，
所以函数y ＝log 1－x 5的定义域是{x |x <1，且x ≠0}．
(3)要使函数式有意义，需⎩
⎪⎨⎪⎧8x －6>0
log 0.5（8x －6）≥0，
解得34<x ≤7
8
，
所以函数y ＝log 0.5（8x －6）的定义域是{x |34<x ≤78
}．
求对数型函数定义域应遵循的原则
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
求下列函数的定义域：
(1)y ＝
1
lg （x ＋1）－3
；
(2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．
解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，
x ＋1＞0
得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103
，x ＞－1，所以x ＞－1，且x ≠999， 所以函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1． 当a ＞1时，
有4x －3≥1，x ≥1 ． 当0＜a ＜1时，
有0＜4x －3≤1，解得3
4
＜x ≤1．
综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，
当0＜a
＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦
⎥⎤34，1． 比较对数值的大小
比较下列各组值的大小： (1)log 1245与log 126
7；
(2)log 123与log 153； (3)log 13
0．3与log 20．8． 【解】 (1)因为函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，
又45<67，所以log 1245>log 12
67
． (2)法一：(中间量法)因为log 23>log 22＝1， 0<log 53<log 55＝1，
所以－log 23<－1，－log 53>－1，所以－log 23<－log 53， 即log 123<log 15
3．
法二：(数形结合法)借助y ＝log 12x 及y ＝log 15
x 的图象，如图所示．
在(1，＋∞)上，y ＝log 12x 在y ＝log 15
x 的下方，
所以log 123<log 153．
(3)由对数函数性质知，
log 130．3>0，log 20．8<0，所以log 13
0．3>log 20．8．
比较对数值大小的方法
比较对数值的大小，当底数相同时，可构造对数函数，利用对数函数的单调性来比较，当底数不同时，可借助于中间量来比较．
设a ＝log 54，b ＝(log 53)2
，c ＝log 45，则( )
A ．a <c <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．b <a <c
解析：选D ．由对数函数y ＝log 5x 的图象，可得0<log 53<log 54<1， 所以b ＝(log 53)2
<log 54， 又c ＝log 45>1，所以b <a <c ．
对数型函数的值域
求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(x 2
－4x ＋6)； (2)y ＝log 2
1
－x 2＋2x ＋2
；
(3)y ＝log 2(x 2－4x －5)．
【解】 (1)因为x 2
－4x ＋6＝(x －2)2
＋2≥2， 又f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以log 2(x 2
－4x ＋6)≥log 22＝1． 所以函数的值域是[1，＋∞)．
(2)因为－x 2
＋2x ＋2＝－(x －1)2
＋3≤3， 所以1－x 2＋2x ＋2<0或1－x 2＋2x ＋2≥1
3
．
因为真数大于0，f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以log 21－x 2＋2x ＋2≥log 213．
所以函数的值域是[log 21
3，＋∞)．
(3)因为x 2
－4x －5＝(x －2)2
－9≥－9， 所以x 2
－4x －5能取得所有正实数．
所以函数y ＝log 2(x 2
－4x －5)的值域是R ．
求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值．
函数f (x )＝log 2(3x
＋1)的值域为( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：选A ．因为3x
＋1>1，
函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )>log 21＝0， 故选A ．
对数型函数的单调性
已知函数y ＝log 12(x 2
－3x ＋2)，求函数的单调递增区间．
【解】 x 2
－3x ＋2>0， 令u ＝x 2
－3x ＋2，
作出其图象，观察可得x >2或x <1，
所以y ＝log 12
(x 2
－3x ＋2)的定义域为{x |x >2或x <1}．令u (x )＝x 2
－3x ＋2，其对称轴为
x ＝32
，
所以u (x )＝x 2
－3x ＋2在(2，＋∞)上为增函数， 在(－∞，1)上为减函数．
因为y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，
所以y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，1)．
求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤
(1)求出函数的定义域；
(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性求出单调区间． [注意] 要注意对底数进行分类讨论．
已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2
)．
(1)求定义域；
(2)求f (x )的单调区间．
解：(1)2x＋3－x2>0，令u＝2x＋3－x2，作出其图象观察可得－1<x<3．所以f(x)的定义域为{x|－1<x<3}．
(2)令u＝2x＋3－x2，则u>0，y＝log4u．
由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4，
再考虑定义域，可知u＝2x＋3－x2的增区间是(－1，1]，减区间是[1，3)．
又y＝log4u在(0，＋∞)上为增函数，故该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)．
1．对数值比较大小的常用方法
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．
(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较．
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．
2．求对数函数的单调区间
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三要注意其定义域．
1．凡是涉及对数的底数含参数的问题，要注意对对数的底数进行分析，需要分类讨论时，一定要分类讨论．
2．要遵循“定义域”优先的原则，解对数函数的有关问题时，一定要先求出函数的定义域，若不求定义域，则容易致错，如求值域、单调区间等．
1．函数y＝log2x的定义域是( )
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D．log2x≥0⇒log2x≥log21⇒x≥1．
x(1≤x≤8)的值域是( )
2．函数y＝log1
2
A．R B．[0，3]
C．[－3，0] D．[0，＋∞)
答案：C
3．比较下列各组数的大小：
(1)log 22________log 23； (2)log 32________1； (3)log 134________0．
答案：(1)＜ (2)＜ (3)＜
4．函数f (x )＝1－log a (2－x )的图象恒过点________． 解析：令2－x ＝1， 得x ＝1，
此时y ＝1－log a 1＝1， 所以图象恒过点(1，1)． 答案：(1，1)
[A 基础达标]
1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a 2x (a >0，a ≠1) B ．y ＝log a (x 2
＋1)(a >0，a ≠1) C ．y ＝log 1a
x (a >0，a ≠1)
D ．y ＝2lg x 答案：C
2．函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )
解析：选C ．当a >1时，y ＝log a x 为增函数，且y ＝x ＋a 在y 轴上的点的纵坐标a 应大于1，故排除B 、D ．当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数且y ＝x ＋a 在y 轴上的点的纵坐标a 应在(0，1)之间．
3．函数y ＝log 12(x 2
－5x ＋6)的单调增区间为( )
A ．(5
2，＋∞) B ．(3，＋∞)
C ．(－∞，5
2
)
D ．(－∞，2)
解析：选D ．x 2
－5x ＋6＞0，令u ＝x 2
－5x ＋6，作出二次函数的图象，观察可得：x ＞3
或x ＜2，故排除A 、C ．
又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，且u ＝x 2
－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，故由
复合函数的单调性：同增异减知选D ．
4．函数y ＝log 15(1－3x
)的值域为( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(0，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：选C ．因为3x
＞0，所以－3x
＜0， 所以1－3x
＜1．
又y ＝log 15t (t ＝1－3x
)是关于t 的减函数，
所以y ＝log 15t ＞log 15
1＝0．选C ．
5．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数
D ．偶函数
解析：选A ．将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩
⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），
1＝log a （7－m ）.解得
a ＝4
和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是{x |x >3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．
6．若log a 3
4<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．
解析：log a 3
4<log a a ，
当a >1时，a >3
4，所以a >1；
当0<a <1时，a <3
4，
所以0<a <3
4
．
综上所述：a 的取值范围是(0，3
4)∪(1，＋∞)．
答案：(0，3
4
)∪(1，＋∞)
7．函数y ＝log (a －1)x 在(0，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝log (a －1)x 在(0，＋∞)上为减函数，
所以0＜a －1＜1，即1＜a ＜2． 答案：(1，2)
8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为1
2，则a ＝
________．
解析：因为a ＞1，
所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增， 所以log a (2a )－log a a ＝1
2，
即log a 2＝1
2，
所以a 1
2＝2，a ＝4． 答案：4
9．已知函数f (x )＝log 12(2x －1)．
(1)求函数f (x )的定义域、值域；
(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，92，求函数f (x )的值域． 解：(1)由2x －1>0得，x >1
2
，
函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞，值域是R ． (2)令u ＝2x －1，
则由x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，92知，u ∈[1，8]．
因为函数y ＝log 12u 在[1，8]上是减函数，
所以y ＝log 12
u ∈[－3，0]．
所以函数f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，92上的值域为[－3，0]． 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，且f (3)－f (2)＝1． (1)若f (3m －2)＜f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围；
(2)求使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫72成立的x 的值． 解：因为f (3)－f (2)＝1，所以a ＝3
2
，
(1)因为a ＝3
2＞1，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧3
m －2＞0，2m ＋5＞0，3m －2＜2m ＋5，
所以2
3
＜m ＜7．
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫72， 即log 32⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x ＝log 3272， 所以x －2x ＝72．
所以x ＝－1
2
或x ＝4．
经检验，x ＝－1
2
，x ＝4满足题意．
[B 能力提升]
11．若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，1
2)
B ．(0，1
2]
C ．(1
2
，＋∞)
D ．(0，＋∞)
解析：选A ．作出函数f (x )＝log 2a (x ＋1)的图象，满足当x ∈(－1，0)时f (x )＞0，如图所示：
所以0＜2a ＜1， 所以0＜a ＜1
2
，故选A ．
12．若函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．
解析：当a >1时，
a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12
，
与a >1矛盾；
当0<a <1时，
1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12
． 综上可知，a ＝12
． 答案：12
13．已知函数f (x )＝log a (3－ax )，
(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1．设g (x )＝3－ax ， 则g (x )在[0，2]上为减函数，
所以g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，
所以a <32． 所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32． (2)假设存在这样的实数a ，则由题设知f (1)＝1，
即log a (3－a )＝1，
所以a ＝32
． 此时f (x )＝log 32
⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ． 但x ＝2时，f (x )＝log 32
0无意义．故这样的实数a 不存在．
14．(选做题)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1
(a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称． (1)求m 的值；
(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性．
解：(1)由于f (x )＝log a 1－mx x －1
(a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称， 所以f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )．
所以log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mx
x －1，
所以1＋mx
－x －1＝x －1
1－mx ，
所以m ＝1，或m ＝－1．
当m ＝1时，1－mx
x －1＝1－x
x －1＝－1，不满足题意，
故m ＝－1．
(2)f (x )＝log a 1－mx x －1＝log a 1＋x
x －1．
令u (x )＝1＋x
x －1，则
u (x )＝x －1＋2x －1＝1＋2
x －1，
在(1，＋∞)是减函数，
所以当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上为减函数； 当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上为增函数．。