高中数学第三章导数及其应用本章整合课件新人教B版选修1_1

(2)由(1)知 g(x)=-13x3+2x,则 g'(x)=-x2+2.令 g'(x)=0, 解得 x1=- 2,x2= 2,则当 x<- 2或 x> 2时,g'(x)<0,从而 g(x)在区 间(-∞,- 2),( 2,+∞)内是减函数;当- 2<x< 2时,g'(x)>0,从而 g(x)在 区间(- 2, 2)内是增函数. 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x=1, 2,2 时取得,而 g(1)=53,g( 2)=432,g(2)=43,因此 g(x)在区间[1,2] 上的最大值为 g( 2)=432,最小值为 g(2)=43.
综合应用
专题一 专题二 专题三
专题三 利用求导法证明不等式、求参数范围等 1.在用求导法证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次 运用求导的方法来证明. 2.一些求题中参数取值范围的问题,常转化为恒成立问题来解决. 利用f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a和f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a的思想 解题. 3.解极值应用的问题一般分三个步骤: (1)建立函数关系式; (2)求所列函数关系式中可能取得极值的点; (3)具体作出判断,得出结果. 其中关键在于建立函数关系式,若所求函数只有一个极值点,一 般就是要求的最大值(或最小值)点.
定义中 f'(x)=f(x0+������������xx)-f(x0)的比较,由已知的极限式变形可求得 f'(1).
解:
∵f(x)为可导函数,且������������������
x→0
������(1)-2������������(1-������)=-1,
∴1
2
lim
������→0
������(1)-������������(1-������)=-1,
[f(x)+f(x0)]
=f'(x0)·[f(x0)+f(x0)]=2f'(x0)·f(x0).
答案:D
专题一 专题二 专题三
综合应用
应用2 设f(x)为可导函数,且满足条件 lim y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率. ������→0
f(1)-2fx(1-x)=-1 ,求曲线
提示:根据导数的几何意义及已知条件可知,欲求 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线的斜率,即求 f'(1).注意到所给条件的形式与导数的
本章整合
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知识建构
专题一 专题二 专题三
综合应用
专题一 导数的概念及其几何意义
1.用定义求导数的一般步骤:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);
(2)求平均变化率ΔΔ������������ = ������(������+ΔΔ������������)-������(������);
综合应用
专题一 专题二 专题三
应用1
已知f(x)在x=x0处可导,
则 lim
������→������0
[������(������)]���2���--[���������0���(������0)]2=(
)
A.f'(x0)
B.f(x0)
C.[f'(x0)]2
D.2f'(x0)f(x0)
提示:对所给式子进行变形,用导数的定义解题.
[������(������)+������(������0)][������(������)-������(������0)] ������-������0
= lim
������→������0
������(������)-������(������0) ������-������0
· lim
������→������0
∴ lim
������→0
������(1)-������������(1-������)=-2,即
f'(1)=-2.
∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为-2.
综合应用
专题一 专题二 专题三
专题二 用导数求函数的单调区间、极值、最值 1.求函数单调区间的步骤: (1)确定f(x)的定义域; (2)计算导数f'(x); (3)求出f'(x)=0的根; (4)用f'(x)=0的根将定义域分成若干区间,判断f'(x)在各区间内的 符号,进而确定f(x)的单调区间. 2.求函数极值的步骤: (1)求导数f'(x); (2)求f'(x)=0或f(x)不存在的所有点; (3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x) 在这个点处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个点处取得极 小值.
(3)取极限,得
f'(x)= lim
Δ ������ →0
������������yx.
2.导数的几何意义:
由于函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).因此关 于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决.
解析:∵ lim
Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
x→x0
������(���������)���--������������0(������0)=f'(x0),
∴ lim
������→������0
[������(������)]���2���--[���������0���(������0)]2=������l→im������0
故g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.
∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),即对任意实数 x,
有 a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],
∴有 3a+1=0,b=0,解得 a=-13,b=0.∴f(x)=-13x3+x2.
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综合应用
3.求函数最值的步骤: (1)求函数f(x)在[a,b]上的极值; (2)极值与f(a),f(b)相比较,最大的为最大值,最小的为最小值.

专题一 专题二 专题三
综合应用
应用 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x) 是奇函数.
(1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 提示:由函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是 奇函数,可求得a,b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值.
综合应用
专题一 专题二 专题三
解: (1)∵f(x)=ax3+x2+bx,∴f'(x)=3ax2+2x+b.