河南高一高中数学期中考试带答案解析

河南高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若全集，则集合等于（）
A．B．
C．D．
2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）
A．B．
C．D．
3.函数的图象的大致形状是（）
A．
B．
C．
D．
4.函数的图象一定经过点（）
A．B．
C．D．
5.已知函数（且）在上单调递减，则的取值范围是（）A．B．
C．D．
6.若，则的定义域为（）
A．B．
C．D．
7.三个数大小的顺序是（）
A．B．
C．D．
8.若，规定：，例如：，则
的奇偶性为（）
A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
9.已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（）
A．B．
C．D．
10.已知符号表示不超过的最大整数，函数，则以下结论正确的是（）
A．函数的值域为
B．函数没有零点
C．函数是上的减函数
D．函数有且仅有3个零点时
11.已知函数满足，若函数与图像的交点为
，则（）
A．0B．
C．D．
二、填空题
1.已知集合，则集合的真子集的个数是___________．
2.若函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
3.函数的单调递增区间为___________．
4.已知函数，若对于任意实数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是____________．
三、解答题
1.已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
2.计算：
（1）；
（2）．
3.若是定义在上的增函数，且．
（1）求的值；
（2）若，解不等式．
4.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
5.已知二次函数有两个零点0和-2，且最小值是-1，函数与的图象关于原点对称．
（1）求和的解析式；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．
6.已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
河南高一高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.若全集，则集合等于（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】元素既不是的元素，也不是的元素，故选D.
【考点】集合交集、并集和补集．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为和值域为.A选项定义域和值域都是，B选项值域为，C选项
定义域为，故D选项符合.
【考点】定义域和值域.
3.函数的图象的大致形状是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】.，排除C，D选项；，排除A，故选B.
【考点】函数图象．
4.函数的图象一定经过点（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，所以函数过点.
【考点】对数函数过定点.
5.已知函数（且）在上单调递减，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由于函数在上单调递增，所以，解得.
【考点】函数的单调性.
6.若，则的定义域为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】需满足被开方数大于零，所以.
【考点】定义域.
7.三个数大小的顺序是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，所以.
【考点】比较大小.
8.若，规定：，例如：，则
的奇偶性为（）
A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】B
【解析】，，所以函数为偶函数，
不是奇函数.
【考点】函数的奇偶性.
9.已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是
（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，有唯一解，即有唯一解，即在函数顶点位置，，所以，.
【考点】函数的奇偶性与单调性.
10.已知符号表示不超过的最大整数，函数，则以下结论正确的是（）
A．函数的值域为
B．函数没有零点
C．函数是上的减函数
D．函数有且仅有3个零点时
【答案】D
【解析】当时，，故B选项错误；当时，；当时，；当时，；依此类推函数的值域为，故A选项错误，且
函数在定义域上不是单调递减函数C选项错误.综上，选D.
【考点】函数的值域、零点与单调性.
【思路点晴】本题考查函数的值域，考查函数的单调性，考查零点问题，考查分段函数.第一步是理解取整函数：“符号表示不超过的最大整数”，由此可知，在实数的每一个区间，都有不同的正数和其对应.所以我们从开始，对每个区间段的函数的取值情况，列举前几个，找出函数变化的规律，由此利用排除法得到答案.
11.已知函数满足，若函数与图像的交点为
，则（）
A．0B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，所以，函数为奇函数，图象关于原点对称，故函
数图象关于对称.同时图象也是关于对称.所以两个函数图象交点成对，且对称点横
坐标和为零，纵坐标和为，所以.
【考点】函数的奇偶性与对称性.
【思路点晴】本题考查函数的奇偶性，考查函数图象的对称性，考查函数图象平移.已知条件经过变形之后，变为，这个类似与奇函数的定义，但是向下平移一个单位之后是奇函数，图象关于原点对称，所以向上平移一个单位后关于对称.另一个函数也是关于对称，所以交点也关于对称，利用对称性可求得坐标和.
二、填空题
1.已知集合，则集合的真子集的个数是___________．【答案】
【解析】当时，的元素为；当时，的元素为，所以集合有个元素，故真子集有个.【考点】真子集.
2.若函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】当时，符合题意.当时，分母恒不为零，判别式小于零，即.综上，的
取值范围是.
【考点】函数的定义域.
3.函数的单调递增区间为___________．
【答案】
【解析】先求定义域，解得，由于函数开口向下，对称轴为，根
据复合函数单调性同增异减可知，函数在区间上单调递增.
【考点】复合函数单调性.
【思路点晴】本题主要考查复合函数的单调性.本题函数是对数函数和二次函数符合而成的函数，因此，根据对数
函数的定义，首先求函数的定义域，即令，解得.然后求得内部函数的
对称轴为，该函数左增右减，根据复合函数单调性同增异减，对数函数是减函数，故函数在区间上单调递增.
4.已知函数，若对于任意实数与的值至少有一个为正数，则
实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】注意到是正数.当时，，不一定有正数.当时，函数在上为正数，在为负数，即在要恒为正数，注意到所以只需或对称轴，解得.当时，函数在上为负数，由于函数开口向下，所以一定有
同时为负数的地方，不符合题意.
【考点】函数的值域.
【思路点晴】本题主要考查一次函数和二次函数的值域.的位置对二次函数来说，影响二次函数的开口方向和对
称轴，而显然是过的；还影响一次函数的单调性.所以我们需要分类讨论函数的取值情况.当时，不一定有正数.当时，一次函数部分在为负数，需要在要恒为正数，转化为或对称轴，由此解得的范围.当时，二次函数开口向下，一定有负值，不符合题意.
三、解答题
1.已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）被开方数为非负数，对数真数大于零，由此求出.利用函数的单调性求得，所以；（2）由于，所以，分成两类，讨论的取值范围.
试题解析：
（1），即，解得，
∴其定义域为集合；
，∵，∴，集合
∴
（2）∵，∴．
当时，，即；
当时，，∴
综上所述，
【考点】函数的定义域与值域，子集.
2.计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原式；（2）原式.
试题解析：
（1）原式
（2）原式
【考点】指数和对数运算.
3.若是定义在上的增函数，且．
（1）求的值；
（2）若，解不等式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）令，则；（2）令求得.原不等式可化为，根据定义域和单调性，有，解得.
试题解析：
（1）令，则；
（2）∵，令，∴，即
故原不等式为：，即
又在上为增函数，故原不等式等价于：
得
【考点】函数的单调性、用单调性和奇偶性解不等式.
4.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂
售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）没有超过时，价格为；有优惠，价格为；超过的，价格就固定为，
由此求得函数的解析式；（2）根据（1）订购个时，利用第二段表达式来计算出厂价并计算利润，订购
个时，利用第三段表达式来计算利润.
试题解析：
（1）当时，，
当时，，
当时，．
所以
（2）设工厂获得的利润为元，
当订购500个时，元；
当订购1000个时，元
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元
【考点】函数应用问题.
5.已知二次函数有两个零点0和-2，且最小值是-1，函数与的图象关于原点对称．
（1）求和的解析式；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）,；（2）.
【解析】（1）依题意，设，对称轴是，所以，所以，即.与关于原点对称，所以.（2）化简
，当时，满足在区间上是增函数；当时，函数开口向下，只需对称轴大于或等于；当时，函数开口向上，只需对称轴小于或等于.综上求得实数的取值范围．
试题解析：
（1）依题意，设，对称轴是，
∴，∴，∴
由函数与的图象关于原点对称，
∴
（2）由（1）得
①当时，满足在区间上是增函数；
②当时，图象在对称轴是，则，
又∵，解得
③当时，有，又∵，解得
综上所述，满足条件的实数的取值范围是
【考点】函数的单调性与最值.
【方法点晴】本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查二次函数单调性.第一问待定系数法求解析式，主要根据题目给定的条件是函数的零点，所以设二次函数的零点式，根据函数的对称轴和极值，就可以求得二次函数的解析式.第二问是引入一个新的函数，它是一个含有参数的函数，所以根据二次项系数和对称轴进行分类讨论实数的取值范围.
6.已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）函数的对称轴为，当时，在上为增函数，根据最值求得，当时，
在上为减函数，无解，故；（2）原不等式分离参数得，利用配方法求得右边函数的最小值为，所以；（3）先化简原方程得，利用换元法和二次函数图象与性质，求得.
试题解析：
（1），对称轴，
当时，在上为增函数，
∴，
当时，在上为减函数，
∴，
∵，∴，
即
（2）方程可化为，
∴，令，
∵，∴，记，∴，∴
（3）方程，可化为，
即，，
令，则方程可化为，
∵方程有四个不同的实数解，
由的图像可知，
有两个根，令
，∴
【考点】函数的单调性与最值，恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查函数的单调性与最值，恒成立问题.第一问利用函数的单调性待定系数.由于函数的对称轴是一个定值，且在题目所给区间的左边，所以只需根据开口方向，判断函数在区间上的单调性，结合最值，就可以取出的值.第二问恒成立问题，采用的是分离参数法，即将参数分离出来，利用配方法求得右边函数的最值，从而求得参数的取值范围.。