高考数学总复习第六章不等式、推理与证明6.3基本不等式课件文

角度 3 利用消元法求最值
已知正实数 a，b 满足 a2－b＋4≤0，则 u＝2aa＋ ＋3bb( B )
A．有最大值154 B．有最小值154 C．有最小值 3 D．有最大值 3
解析：∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，
∴a＋b≥a2＋a＋4.
又∵a，b＞0，∴a＋a b≤a2＋aa＋4，
∴－a＋a b≥－a2＋aa＋4，
课堂探究 考点突破
真题模拟演练
课堂探究 考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1
利用配凑法求最值
9 (1)设 0＜x＜32，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为 2 .
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92，当且
仅当“2x＝3－2x，即 x＝34”时，等号成立．
10 .
x
则 S(x)＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·20 10＋160 x
＝80 102 x＋ 5x＋4 160(x＞1)．
(2) 由 (1) 知 ， S(x) ＝ 80
10 2
x＋
5 x
＋
4
160≥80
y≥x＋1，
若 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为 2，则 ab 的最大值为( D )
A．1
B．12
C．14
D．16
解析：作出不等式组满足的可行域如图所示，
目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)，故当 x，y 均取最小值时， z 取到最小值．
即当 x＝2，y＝3 时，z＝ax＋by 取得最小值 2， 即 2a＋3b＝2，所以 2a·3b≤2a＋4 3b2＝1，当且仅当 2a＝3b ＝1，即 a＝12，b＝13时等号成立，所以(6ab)max＝1，即(ab)max＝16.
条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交
于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( A )
A．16
B．14
C．12
D．10
解析：根据题意可知直线 l1，l2 的斜率存在且不为零，抛物 线 C 的焦点 F 的坐标为(1,0)，设直线 l1 的方程为 y＝k(x－1)，代 入抛物线方程得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
2．(2018·天津卷)已知
1
a，b∈R，且
a－3b＋6＝0，则
(2)已知 a＞0，b＞0，若不等式3a＋1b≥a＋m3b恒成立，则 m 的最大
值为( B )
A．9
B．12
C．18
D．24
解析：由3a＋1b≥a＋m3b，得 m≤(a＋3b)3a＋1b＝9ab＋ab＋6.
又9ab＋ab＋6≥2 9＋6＝12
当且仅当9ab＝ab，即a＝3b时等号成立， ∴m≤12，∴m 的最大值为 12.
(m
＋
p)
＝165＋mp ＋4pm
≥
1 6
5＋2
mp ·4pm＝32，当且仅当 m＝2，p＝4 时等号成立，故选 C．
(2)若正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，则 x＋2y 的最小值是( A )
A．23 2
B．
2 3
C．
3 3
D．2 33
解析：因为正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0， 所以 y＝1－6xx2.
【条件探究】 将本典例条件变为“已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1”，
则1＋1a1＋1b的最小值为 9 .
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba·2＋ab＝5 ＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12时，取等号．
(2)已知直线 mx＋ny－2＝0 经过函数 g(x)＝logax＋1(a＞0 且 a≠1)
的定点，其中 mn＞0，则m1＋1n的最小值为 2 . 解析：因为函数 g(x)＝logax＋1(a＞0 且 a≠1)的定点为(1,1)
在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2＝1，
x∈R 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是( B )
A．(－∞，－1) B．(－∞，2 2－1) C．(－1,2 2－1) D．(－2 2－1,2 2－1)
解析：由 f(x)＞0 得 32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得 k＋1＜3x＋32x. 而 3x＋32x≥2 2(当且仅当 3x＝32x，即 x＝log3 2时，等号成立)， ∴k＋1＜2 2，即 k＜2 2－1.
角度 2 利用常数代换法求最值
(2019·烟台一模)已知函数 y＝1＋logmx(m＞0 且 m≠1)的
图象恒过点 M，若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)经过点 M，则 a＋b 的最小
值为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由函数的解析式可得 M(1,1)， 即1a＋1b＝1(a＞0，b＞0)， 则 a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当 a＝b＝2 时等号成立，所以 a＋b 的最小值为 4，故选 C．
∵34∈0，32，
∴函数 y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92.
(2)函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值为 2 3＋2 .
解析：y＝xx2－＋12＝x2－2x＋1x－＋12x－2＋3 ＝x－12＋x－21x－1＋3 ＝(x－1)＋x－3 1＋2≥2 3＋2. 当且仅当 x－1＝x－3 1，即 x＝ 3＋1 时，等号成立．
由xy＞ ＞00， ，
x＞0， 即1－6xx2＞0
解得 0＜x＜1.
所以 x＋2y＝x＋1－3xx2＝23x＋31x≥2
23x·31x＝2 32，
当且仅当23x＝31x，即 x＝ 22，y＝ 122时取等号．
故
x＋2y
的最小值为2
3
2 .
考点二 基本不等式的实际应用
(2019·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于 80 千件时， C(x)＝51x＋10 x000－1 450(万元)．每件商品售价为 0.05 万元．通 过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
使得 amap＝16a12，则m1 ＋4p的最小值为( C )
A．43
B．9
C．32
D．不存在
解析：由题意可得 a5q2＝a5q＋2a5， 则 q2－q－2＝0，结合 q＞0，解得 q＝2.
由 amap＝a1qm－1·a1qp－1＝16a12，
得
m
＋
p＝6
，
则m1 ＋
4p＝16
m1 ＋4p
(1)若设休闲区的长和宽的比||BA11CB11||＝x(x＞1)，求公园 ABCD 所占面 积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设 计？
解：(1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，
由 a2x＝4 000，得 a＝20
2．条件最值的求解通常有两种方法 一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代 数式转化为函数的最值求解； 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数 的式子，然后利用基本不等式求解最值．
(1)已知正项等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，ap，
10
×2 2 x× 5 ＋4 160 x
＝1 600＋4 160＝5 760.
当且仅当 2 x＝ 5 ， x
即 x＝2.5 时，等号成立，
此时 a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 应设计为长
100 米，宽 40 米．
考点三 基本不等式的综合应用
(1)(2019·北京海淀模拟)已知 f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当
利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出 有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定 义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围 用对应函数的单调性求解．
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公 园由形状为长方形 A1B1C1D1 的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组 成．已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4 000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米(如图所示)．
第六章
不等式、推理与证明
第3节 基本不等式
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节
1.了解基本不等式的证明过 程． 2.会用基本不等式解决简单的
最大(小)值问题.
一般不独立命题．预测 2020 年 高考将会考查利用基本不等式 求最值或比较大小．与函数、 不等式或解析几何进行综合命
题，体现基本不等式的工具性.
基本不等式的综合应用求解策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或 式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等 式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定 相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
x≥2， (1)(2019·山东滨州模拟)已知变量 x，y 满足约束条件3x－y≥1，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2k2k＋2 4＝2＋k42，根据抛 物线定义得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1 ＋x2＋2＝4＋k42.因为 l2⊥l1，所以用－1k代替 k，得|DE|＝4＋4k2，
所以|AB|＋|DE|＝8＋4k12＋k2≥8＋4×2 k12·k2＝16，当且仅当 k ＝±1 时，等号成立，故所求的最小值为 16.
当 x≥80 时，L(x)＝1 000x×0.05－51x＋10 x000－1 450－250 ＝1 200－x＋10 x000.
∴L(x)＝－ 1 2130x02－＋4x0＋x－102x5000，0，0＜x≥x＜808.0，
(2)当 0＜x＜80 时，L(x)＝－13(x－60)2＋950. 对称轴为 x＝60， 即当 x＝60 时，L(x)max＝950 万元； 当 x≥80 时，L(x)＝1 200－x＋10 x000≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)， 当且仅当 x＝100 时，L(x)max＝1 000 万元， 综上所述，当年产量为 100 千件时
＝
3
－
a a＋b
≥3
－
a2＋aa＋4＝
3
－
1 a＋4a＋1
≥3
－
2
1a·4a＋1＝154，当且仅当 a＝2，b＝8 时取等号，故选 B．
1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关 键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等 式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
所以m1 ＋1n＝m1 ＋1nm2 ＋n2＝12＋12＋2nm＋2mn≥1＋2 ＝2，
当且仅当2nm＝2mn，即 m2＝n2 时取等号，
nm 2m·2n
所以m1 ＋1n的最小值为 2.
真题模拟演练
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利 润最大？
解：(1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额 为 0.05×1 000x 万元，
依题意得当 0＜x＜80 时，L(x)＝1 000x×0.05－13x2＋10x－ 250＝－13x2＋40x－250；