(全国通用)2018年高考数学一轮复习 单元滚动检测十 计数原理 理 新人教B版

单元滚动检测十 计数原理
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·南宁第二次适应性测试)(x －2x
)5
的展开式中，x 项的系数为( )
A ．40
B ．－40
C ．80
D ．－80
2．(2016·石家庄质检二)一排有6个座位，三个同学随机就坐，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A ．120
B ．36
C ．24
D ．72
3．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )
A ．180
B ．240
C ．360
D ．480
4．在(x 2
－1x
)9的二项展开式中，常数项是( )
A ．504
B ．84
C ．－84
D ．－504
5．(2016·云南第二次统测)已知(2x －1)3
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
，则a 0＋a 2等于( ) A ．－13 B ．－10 C ．10 D ．13
6．(2016·贵阳检测二)(1x
－ax )6
展开式的常数项为－160，则a 的值为( )
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2
7．(2016·深圳第二次调研)在1＋(1＋x )＋(1＋x )2
＋(1＋x )3
＋(1＋x )4
＋(1＋x )5
的展开式中，含x 2
项的系数是( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．25
8．(2016·肇庆统测)平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，过这十个点中的任意两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是( )
A ．30
B ．29
C ．28
D ．27
9．(2016·湖南师大附中月考三)现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两个相邻，则不同的站法种数是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48
10．(2016·武汉二模)为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入1张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买5袋该食品，则获奖的概率为( ) A.3181 B.1127 C.1627 D.5081
11．(2016·运城质检)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数，则这样的偶数的个数是( ) A ．72 B ．96 C ．108 D ．144 12．设(5x －
1
x
)n
的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式
中x 的系数为( )
A ．－150
B ．150
C ．300
D ．－300
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．用字母A ，Y ，数字1,8,9构成一个字符不重复的五位号牌，要求字母A ，Y 不相邻，数字8,9相邻，则可构成的号牌的个数是________．(用数字作答)
14．设复数x ＝1＋i 1－i (i 是虚数单位)，则C 01 000＋C 11 000x ＋C 21 000x 2＋…＋C 1 0001 000x 1 000＝________.
15．现有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的排列方法．
16．(2016·潍坊模考)(1＋x ＋x 2
)(x －1x
)6的展开式中的常数项为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2016·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数是多少？
18.(12分)(2017·山西太原五中月考)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有多少种？
19.(12分)若(x ＋a x
)(2x －1x
)5
的展开式中各项系数的和为2，求该展开式中常数项的值.
20.(12分)求S ＝C 1
27＋C 2
27＋…＋C 27
27除以9的余数.
21.(12分)(2016·临沂3月检测)有4名男生，5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间.
22.(12分)已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n
(m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2
的系数取最小值时n 的值；
(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和.
答案精析
1．A [(x －2x
)5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·(－2)r ·x 5－2r
.令5－2r ＝1得r ＝2.因此x 项的
系数是C 25·(－2)2
＝40，故选A.]
2．C [利用“插空法”求解．不坐人的3个座位产生4个空位，从中选3个空位安排3个同学，所以有A 3
4＝24(种)不同坐法，故选C.]
3．D [不同的排法种数为2(A 5
5＋A 24A 3
3＋A 23A 3
3＋A 22A 3
3)＝480，故选D.]
4．B [依题意，二项式(x 2－1x )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·(x 2)9－r ·(－1x
)r ＝C r
9·(－
1)r ·x
18－3r
.令18－3r ＝0，得r ＝6，因此(x 2－1x
)9的展开式中的常数项是C 69·(－1)6
＝84，
故选B.]
5．A [由题意可得a 0＝(－1)3
＝－1，a 2＝C 1
3×22
×(－1)＝－12，所以a 0＋a 2＝－13，故选A.]
6．D [由二项式定理知展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(1x
)6－r ·(－ax )r ＝C r 6(－a )r x 2r －6
，令
2r －6＝0，得r ＝3，所以C 36(－a )3
＝－160，解得a ＝2，故选D.]
7．C [(1＋x )n 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r n x r ，要使其出现x 2
项，则r ＝2且n ≥2，n ∈N ＋，故含x 2
项的系数为C 2
2＋C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＝1＋3＋6＋10＝20，故选C.]
8．B [分情况讨论．(1)红点连蓝点有C 14C 1
6－1＝23(条)直线；(2)红点连红点有C 2
4＝6(条)直线，所以共有29条直线，故选B.]
9．B [先排男生有A 2
2种排法，再让老师站在两男生的中间，最后让三名女生插两空有C 23A 22A 2
2种排法，所以共有A 22C 23A 22A 22＝24(种)排法，故选B.]
10．D [分别用1,2,3代表该3种卡片，获奖情况分两类：①12311,12322,12333，P 1＝3·A 5
5A 3
3
35
＝2081；②12312,12313,12323，P 2＝3·A 5
5
A 22·A 2
235
＝1027，所以P ＝P 1＋P 2＝50
81
.] 11．C [第一步，先排不受限制的数字2、4、6，有A 3
3种排法；第二步，把不相邻的数字1和5插入已经排好的2、4、6内且最后的数字是偶数，有A 2
3种插法；第三步，把剩余的3插入已经排好的1、2、4、5、6内且其不与5相邻并保证最后的数字为偶数，有3种插法．根据分步乘法计数原理可得满足条件的偶数的个数是A 3
3×A 2
3×3＝108.] 12．B [据题意M －N ＝4n －2n ＝240，解得n ＝4，故通项公式为T r ＋1＝C r 454－r
(－1)r
x 4－32
r ，
故展开式中x 的系数为C 2452
＝150，故选B.] 13．24
解析 将8与9捆绑在一起有A 22种方法，将捆绑好的8,9与1排列有A 22A 2
2种排法，再将字母
A ，Y ，插入其3个空中可得共有A 22A 22A 2
3＝24(种)不同的排法，即可构成的号牌个数是24.
14．2500
解析 因为有C 0
1 000＋C 1
1 000x ＋C 2
1 000x 2
＋…＋C 1 0001 000x 1 000
＝(1＋x )
1 000
，而复数x ＝1＋i
1－i
＝i ，则所
求的即为(1＋i)1 000＝(2i)500＝2500i 500＝2500
.
15．1 260
解析 第一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有C 2
9种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有C 3
7种选法；第三步，剩下的4个位置全部分给4个白球，有1种选法．根据分步乘法计数原理可得，不同的排列方法共有C 29C 3
7＝1 260(种)． 16．－5
解析 (x －1x
)6的展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r ·C r 6x 6－2r
(r ＝0,1，…，6)，令6－2r ＝0，
∴r ＝3，T 4＝(－1)3·C 36＝－C 3
6；令6－2r ＝－1，∴r ＝72(舍)；令6－2r ＝－2，∴r ＝4，T 5
＝C 46x －2
，
∴(1＋x ＋x 2)(x －1x
)6的展开式中的常数项为1×(－C 36)＋C 4
6＝－5.
17．解 由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择，最后两项实验的顺序确定，所以共有5A 5
5
A 22
＝300(种)不同的编排方法．
18．解 甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：
甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C 24C 2
2＝6(种)；甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选 一门作为相同的课程，有C 1
4＝4(种)选法；②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门有C 13C 1
2＝6(种)选法，由分步乘法计数原理知此时共有C 14C 13C 1
2＝24(种)．综上，由分类加法计数原理知，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6＋24＝30(种)． 19．解 令x ＝1，则其展开式系数和为(1＋a )×(2－1)5
＝2，即a ＝1，从而(x ＋1x )(2x －1x
)
5＝x 2＋1x
·
x 2－5
x 5
＝
x 2＋
x 2－
5
x
6
，其中(2x 2－1)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r
5
(2x 2)
5－r
·(－1)r
＝C r 525－r
·(－1)r x
10－2r
.当10－2r ＝4，即r ＝3时，该项为－40x 4
；当10－2r
＝6，即r ＝2时，该项为80x 6
，所以
x 2＋
x 2－
5
x 6
的展开式中常数项为40.
20．解 S ＝C 1
27＋C 2
27＋…＋C 27
27＝227
－1＝89
－1
＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 9
9－1 ＝9(C 0
9×98
－C 1
9×97
＋…＋C 8
9)－2. ∵C 0
9×98
－C 1
9×97
＋…＋C 8
9是正整数， ∴S 被9除的余数为7.
21．解 (1)方法一 (元素分析法)：先排甲有6种，再排其余人有A 8
8种，故共有6·A 8
8＝241 920(种)排法．
方法二 (位置分析法)：中间和两端有A 3
8种排法，包括甲在内的其余6人有A 6
6种排法，故共有A 3
8·A 6
6＝336×720＝241 920(种)排法．
方法三 (等机会法)：9个人全排列有A 9
9种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得甲不在中间及两端的排法种数是A 9
9×69＝241 920.
方法四 (间接法)：A 9
9－3·A 8
8＝6A 8
8＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余7人． 共有A 2
2·A 7
7＝10 080(种)排法．
(3)(插空法)先排4名男生有A 4
4种方法，再将5名女生插空，有A 5
5种方法，故共有A 4
4·A 5
5＝2 880(种)排法．
22．解 (1)由已知得C 1
m ＋2C 1n ＝11， ∴m ＋2n ＝11，
x 2的系数为C 2m ＋22C 2
n ＝
m m －2
＋2n (n －1)
＝
m 2－m
2
＋(11－m )⎝
⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116
.
∵m ∈N ＋，
∴m ＝5时，x 2
的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2
的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， ∴f (x )＝(1＋x )5
＋(1＋2x )3
. 设f (x )的展开式为
f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，
令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25
＋33
＝59， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，
故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.。