【鲁教版】九年级数学下期中试卷带答案

一、选择题
1．关于二次函数22y x x =-+的最值，下列叙述正确的是（ ） A ．当2x =时，y 有最小值0. B ．当2x =时，y 有最大值0． C ．当1x =时，y 有最小值1 D ．当1x =时，y 有最大值1
2．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是
（ ） A ．18
m >
B ．1m >-
C ．118m -<<
D ．1
m 18
<<
3．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +m 2+1（m 是常数），若当x ＝a 时，对应的函数值y ＜0，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ﹣4＜0 B ．a ﹣4＝0 C ．a ﹣4＞0
D ．a 与4的大小关系不能确定
4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①a ＞0；②b ＞0； ③方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3；其中结论正确的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．如图，已知二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直
线1x =，下列结论：①0abc <；②930a b c ++=；③20a b +=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数），其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．②③④
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达
式可能分别为（ ）
A ．2,k
y y kx x x
=-=-+ B ．2,k
y y kx x x
=-=-- C ．2,k
y y kx x x
=
=-- D ．2,k
y y kx x x
=
=-+ 7．在Rt ABC △中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的余弦值（ ） A ．扩大2倍
B ．缩小2倍
C ．扩大4倍
D ．没有变化
8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC=2BF ，连接AE ，EF ．若AB=2，AD=3，则cos ∠AEF 的值是（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
22
D 39．如图，某建筑物AB 在一个坡度为1:0.75i =的山坡C
E 上，建筑物底部点B 到山脚点
C 的距离20BC =米，在距山脚点C 右侧水平距离为60米的点
D 处测得建筑物顶部点A
的仰角是24°，建筑物AB 和山坡CE 的剖面的同一平面内，则建筑物AB 的高度约为
（ ）（参考数据：sin 240.41︒≈，cos 240.91︒≈，tan 240.45︒≈）
A ．32.4米
B ．20.4米
C ．16.4米
D ．15.4米
10．△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且22440c ac a -+=，则sinA+cosA 的值为（ ） A ．
13
2
+ B ．
12
2
C ．
23
2
+ D ．2
11．如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．3
D ．
332
12．如图，直线y ＝－
3
x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ）
A ．(4，3
B ．34)
C 33）
D ．（32，2）
二、填空题
13．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
2ax bx c ++0(0)a =≠的根为___________．
14．已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠），函数值y 与自变量
x 的部分对应值如下表： x
… 1-
0 1 2 3 4 … y
…
10
1y
2
1
2
5
…
当1时，自变量的取值范围是______．
15．已知二次函数221y x =-，如果y 随x 的增大而增大，那么x 的取值范围是__________．
16．一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a ，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b ，则a ，b 的值使得抛物线y ＝ax 2+bx +3的对称轴在y 轴右侧的概率为_____． 17．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则cos ∠BOD ＝_____．
18．在ABC 中，若2
13
sin tan 02A B ⎫-+=⎪⎪⎝⎭
，则C ∠的度数为__________． 19．如图，在菱形ABCD 中， 3AB AC ==点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE DF =，则EF 的最小值为________．
20．直角三角形ABC中，∠B＝90°，若cosA＝3
5
，AB＝12，则直角边BC长为___．
三、解答题
21．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离．
22．天气寒冷，某百货商场准备销售一种围巾，围巾的进货价格为每条50元，并且每条的售价不低于进货价，经过市场调查，每月的销售量y（条）与每条的售价x（元）之间满足人体所示的函数关系．
（1）求每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式；
（2）物价部门规定，该围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，设这种围巾每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
23．在2020年新冠肺炎抗疫期间，萌萌决定在淘宝上销售一批口罩，经市场调查，某类型口罩进价每袋为20元，当售价每袋为30元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少5袋；
（1）直接写出萌萌销售该类型口罩销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
24．小红要外出参加一项庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1，图2分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE ，箱长BC ，拉杆
AB 的长度都相等，B ，F 在AC 上，C 在DE 上，支杆30cm DF =，:1:3CE CD =，
2sin 2DCF ∠=
，3cos 2
CDF ∠=，求AC 的长度（结果保留根号）．
25．如图，已知△OAB ，点A 的坐标为（2，2），点B 的坐标为（3，0）． （1）求sin ∠AOB 的值；
（2）若点P 在y 轴上，且△POA 与△AOB 相似，求点P 的坐标．
26．（1）计算：()()01
tan30tan60cos57sin45tan302sin60-︒︒+︒-︒-︒+︒； （2）用配方法解方程：2820x x +-=．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先将二次函数配方成()2
11y x =--+，即可求解． 【详解】
解：()
()2
2
2
1221y x x x x x =-+=----+=，
二次函数的图象开口向下，当1x =时，y 有最大值1， 故选：D ． 【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．
2．A
解析：A 【分析】
根据二次三项式()()2
121m x m x m +--+的值恒为正，可设
()()2121m x x y m m +--+=，从而得到1m +＞0且∆＜0，进而即可求得m 的取值范
围． 【详解】
解：设()()2
121m x x y m m +--+=，
∵关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正， ∴()()2121m x m x m +--+＞0，
∴在函数()()2
121m x x y m m +--+=中，
1m +＞0，且()()2
2141m m m ∆=--⎡⎤-+⎣⎦＜0，
解得：m ＞1
8
故选：A 【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质．
3．A
解析：A 【分析】
画出函数图象，利用图象法解决问题即可； 【详解】
解：∵抛物线的对称轴为4
22
x -=-
=， 抛物线与x 轴交于点A 、B ．如图，
设点A 、B 的横坐标分别为12x x 、，
124x x +=，2121x x m =+，
∴()()()
2
2
2
12121241641x x x x x x m -=+-=-+，
∵210m +>，
∴()2
12x x -的最小值为16，
∴AB ＜4，
∵当自变量x 取a 时，其相应的函数值y ＜0， ∴可知a 表示的点在A 、B 之间， ∴40a -<， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
根据抛物线与系数的关系判断即可． 【详解】
解：抛物线开口向下，a<0，故①错误； 对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，b ＞0,故②正确；
抛物线与x 轴交点为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，根据对称性，另一个交点为（3,0），故③正确；
根据图象可知，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3时；抛物线在x 轴上方，故④正确； 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．
5．B
解析：B 【分析】
①抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，即可得出a ＞0、b ＜0、c ＜0，进而可得出abc ＞0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x 轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（3，0），进而可得出9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③由对称轴直线x=1，可得结论③正确；④2()()0am bm a b +-+≥，可得结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】
解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1， ∴a ＞0，12b
a
-
=，c ＜0， ∴b ＝−2a ＜0，
∴abc ＞0，结论①错误；
②∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （−1，0），对称轴为直线x ＝1，
∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确； ③∵对称轴为直线x ＝1，
∴12b
a
-
=，即：b ＝−2a ， ∴20a b +=，结论③正确；
④∵222()()(2)(2)2am bm a b am am a a am am a +-+=---=-+
22(21)(1)a m m a m =-+=-≥0，
∴2am bm a b +≥+，结论④错误． 综上所述，正确的结论有：②③． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
6．D
解析：D 【分析】
根据反比例函数图像的位置判断k 的符号，再结合二次函数的图像和性质，逐项判断即可 【详解】
A 、由反比例函数k
y x
=-
的图像可知，0k >，则二次函数2y kx x =-+的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； B 、由反比例函数k
y x
=-
的图像可知，0k >，则二次函数2y kx x =--的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； C 、由反比例函数k
y x
=的图像可知，0k <，则二次函数2y kx x =--的图像开口向上，对称轴110222b x a k k
-=-
=-=->-应位于y 轴的右侧，与图像不符，故选项错误； D 、由反比例函数k
y x
=的图像可知，0k <，则二次函数2y kx x =-+的图像开口向上，对称轴110222b x a k k
=-=-=<-应位于y 轴的左侧，与图像相符，故选项正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的图像和性质．
7．D
解析：D 【分析】
根据三角函数的定义和分数的基本性质联手解答即可．
【详解】
如图，cosA=BC AB
，
根据分数的基本性质，得
BC AB =
2
2
BC
AB
，
∴余弦值不变，
故选D．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义及其分数的基本性质，熟练掌握函数的定义，灵活运用分数的基本性质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
连接AF，根据题意可分别求出BF、FC、DE的长，再利用勾股定理分别求出AF、AE、EF的长，利用勾股定理的逆定理判断出AEF为等腰直角三角形，再利用三角函数即可求得答案．
【详解】
如图：连接AF，
四边形ABCD是矩形
∴2,3
AB DC AD BC
====
∴∠B=∠C=∠D=90°
FC=2BF
∴BF=1，FC=2
E是CD的中点
∴DE=CE=1
∴BF=CE=1
在Rt ABF中
22222
215
AF AB BF
=+=+=
在Rt EFC中
22222215EF FC CE =+=+=
在Rt ADE △中
222223110AE AD DE =+=+=
∴222AE EF AF =+且AF=EF
∴△AEF 为等腰直角三角形
∴∠AFE=90°，∠AEF=∠EAF=45°
∴cos ∠AEF=cos45°=
2
故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，特殊角的三角函数值，解题关键是利用勾股定理逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形． 9．C
解析：C
【分析】
延长AB 交CD 反向延长线于F ．根据题意可知43
BF FC =，则设BF=4x ，FC=3x ．由正切可求出AF 的长．再在Rt BFC △中，由勾股定理可求出x 的值．最后即可利用=AB AF BF -求出AB 长．
【详解】
如图延长AB 交CD 反向延长线于F ，由题意可知BF DF ⊥．
∵建筑物AB 在一个坡度为i =1:0.75的山坡CE 上， ∴10.75BF FC =，即43
BF FC =． 设BF=4x 米，则FC=3x 米，DF=（60+3x ）米，
∵24D ∠=︒， ∴tan tan 240.45AF D DF
∠=︒==， ∴0.45(603)(27 1.35)AF x x =+=+米．
在Rt BFC △中，222BF FC BC +=，即222(4)(3)20x x +=，
∴1244x x ==-，（舍）．
∴4416BF =⨯=米，27 1.354=32.4AF =+⨯米．
∴=32.4-16=16.4AB AF BF -=米．
故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用和勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键． 10．A
解析：A
【分析】
由22440c ac a -+=得2c a =，则1sin 2
a A c =
=，即可得到30A ∠=︒，利用特殊角的三角函数值就可以求出结果．
【详解】
解：∵22440c ac a -+=，
∴()220c a -=，即2c a =， ∵90C ∠=︒， ∴1sin 2
a A c =
=， ∴30A ∠=︒， ∴3cos A =， ∴31sin cos A A ++=
． 故选：A ．
【点睛】 本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
11．D
解析：D
【分析】
先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB ，构造三角形ABC 与三角形ABE ，利用三角函数解直角三角形即可
【详解】
由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，
由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD 是6，BF=1BD 2
=3，则边长AB 为3， 连AC 交BD 于E ，则AC ⊥BD ，
由左视图得AE=CE=x ，
在△ABC 中，AB=BC=3，∠ABC=120°，
∴在Rt △ABE 中，∠BAE=30°，AB=3，
∴BE=
32，AE=AB•cos30°33， 即33 故选择：D.
【点睛】
本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．
12．B
解析：B
【分析】
根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠OAB ＝30°，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x 轴，再写出点B′的坐标即可．
【详解】
令y ＝0，则−3x ＋2＝0， 解得x ＝3
令x ＝0，则y ＝2，
所以，点A （30），B （0，2）， 所以，OA ＝3OB ＝2，
∵tan ∠OAB ＝323OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，
由勾股定理得，AB 4=
，
∵旋转角是60°，
∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，
∴AB′⊥x 轴，
∴点B′（
4）．
故选：B ．
【点睛】 本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键．
二、填空题
13．x1=-1x2=3【分析】关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标【详解】解：根据图象知抛物线y=ax2+bx+c （
解析：x 1=-1，x 2=3
【分析】
关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标．
【详解】
解：根据图象知，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点是(-1，0)，对称轴是x=1． 设该抛物线与x 轴的另一个交点是(x ，0)，则
12
x -=1， 解得，x=3，
即该抛物线与x 轴的另一个交点是(3，0)，
所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根为x 1=-1，x 2=3．
故答案是：x 1=-1，x 2=3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题时，注意抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）间的转换． 14．【分析】根据表格中的数据可知抛物线的开口方向对称轴及顶点坐标结合表格及抛物线特征可得当时自变量的取值范围【详解】解：由表格知：抛物线开口向上顶尖坐标为（21）故当x=0时与x=4时函数值相同∴=5当
解析：04x <<．
【分析】
根据表格中的数据可知抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，结合表格及抛物线特征可得当1y y <时，自变量x 的取值范围．
【详解】
解：由表格知：抛物线开口向上，顶尖坐标为（2，1），故当x=0时与x=4时函数值相同，∴1y =5，当1y y <时，即当y ＜5时，由表格得04x <<．
故答案为：04x <<．
【点睛】
本题考查了二次函数数的特征，解题关键是根据表格得出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
15．【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y 轴所以当x≥0时y 随x 的增大而增大【详解】解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0∴二次函数图象开口向上且对称轴是y 轴∴当x≥0时y 随x 的增大而增大故答案为
解析：0x ≥
【分析】
由于抛物线y=2x 2-1的对称轴是y 轴，所以当x≥0时，y 随x 的增大而增大．
【详解】
解：∵抛物线y=2x 2-1中a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y 轴，
∴当x≥0时，y 随x 的增大而增大．
故答案为：0x ≥．
【点睛】
本题考查了抛物线y=ax 2+b 的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a 有关；③对称轴是y 轴；④顶点（0，b ）．
16．【分析】根据题意画出树状图然后根据对称轴位于ｙ轴的右侧找出满足条件的结果数即可求解【详解】解：根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果二次函数y ＝ax2+bx+3的对称轴为要保证对称轴在y 轴的右侧 解析：23
【分析】
根据题意画出树状图，然后根据对称轴位于ｙ轴的右侧，找出满足条件的结果数即可求解．
【详解】
解：根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的结果，
二次函数y ＝ax 2+bx +3的对称轴为2b x a =-， 要保证对称轴在y 轴的右侧，即b x 02a
=->， 则满足条件的结果有(1，-4)、(2，-4)、(-4，1)、(-4，2)，
∴概率为4263P =
=， 故答案为：23． 【点睛】
本题考查利用树状图求概率、抛物线的对称轴，解题的关键是根据题意画出树状图． 17．【分析】设左下角顶点为点F 取BF 的中点E 连接CEDE 由点C 为AF 的中点点E 为BF 的中点可得出进而可得出∠BOD ＝∠DCE 在△DCE 中由DC2＝CE2＋DE2可得出∠DEC ＝90°再利用余弦的定义即可 解析：5 【分析】
设左下角顶点为点F ，取BF 的中点E ，连接CE ，DE ，由点C 为AF 的中点、点E 为BF 的中点可得出//CE AB ，进而可得出∠BOD ＝∠DCE ，在△DCE 中，由DC 2＝CE 2＋DE 2可得出∠DEC ＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos ∠BOD 的值，此题得解．
【详解】
解：设左下角顶点为点F ，取BF 的中点E ，连接CE ，DE ，如图所示．
∵点C 为AF 的中点，点E 为BF 的中点，
∴//CE AB ，
∴∠BOD ＝∠DCE ，
在△DCE 中，DC 10，DE ＝2CE 2
∵DC 2＝CE 2＋DE 2，
∴∠DEC ＝90°，
∴cos ∠DCE ＝CE CD 2510
=
∴cos ∠BOD
故答案为
5
． 【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD 的直角三角形是解题的关键．
18．120º【分析】根据绝对值和平方的非负数性质可得sinA=tanB=根据特殊角的三角函数值可得出∠A ∠B 的度数根据三角形内角和定理即可得答案【详解】∵∴sinA-=0-tanB=0∴sinA=tan
解析：120º
【分析】
根据绝对值和平方的非负数性质可得sinA=12，tanB=3
，根据特殊角的三角函数值可得出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理即可得答案．
【详解】
∵21sin tan 02A B ⎫-+-=⎪⎪⎝⎭
，
∴sinA-
12=0，
∴sinA=12， ∴∠A=30°，∠B=30°，
∠C=180°-30°-30°=120°，
故答案为：120°
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质及三角形内角和定理，根据非负数性质得
出sinA=12， 19．【分析】根据菱形的性质可得=3从而得出都是等边三角形利用SAS 即可证出从而得出根据等边三角形的判定可得是等边三角形从而得出即CE 最小时EF 最小根据垂线段最短可得时线段最小利用锐角三角函数即可求出结论
【分析】
根据菱形的性质可得AB BC CD AD AC =====3，从而得出ABC ，ACD △都是等边三角形，利用SAS 即可证出EAC FDC ≌，从而得出,EC FC ACE DCF =∠=∠，
根据等边三角形的判定可得ECF △是等边三角形，从而得出CE EF CF ==，即CE 最小时，EF 最小，根据垂线段最短可得CE AB ⊥时，线段CE 最小，利用锐角三角函数即可求出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，且AB AC ==3，
∴AB BC CD AD AC =====3，
∴ABC ，ACD △都是等边三角形，
∴60EAC D ∠=∠=︒，
在EAC 和FDC △中
EA FD EAC D AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴EAC FDC ≌，
∴,EC FC ACE DCF =∠=∠，
∴60ECF ACD ∠=∠=︒，
∴ECF △是等边三角形，
∴CE EF CF ==，
∵CE AB ⊥时，线段CE 最小，最小值为BC·sin ∠
3=， ∴EF
【点睛】
此题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握菱形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 20．16【分析】先利用三角函数解直角三角形求得AC ＝20再根据勾股定理即可求解【详解】解：∵在直角三角形ABC 中∠B ＝90°cosA ＝AB ＝12∴cosA ＝＝＝∴AC ＝20∴BC ＝＝＝16故答案是：16
解析：16
【分析】
先利用三角函数解直角三角形，求得AC ＝20，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵在直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，cosA ＝35
，AB ＝12，
∴cosA＝AB
AC ＝
12
AC
＝
3
5
，
∴AC＝20，
∴BC＝22
AC AB
-＝22
2012
-＝16．
故答案是：16．
【点睛】
此题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．
三、解答题
21．（1）y＝﹣（x﹣3）2＋4；（2）5米
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）令y=0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．
【详解】
解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2＋4，
将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2＋4，
解得：a＝﹣1，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2＋4；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2＋4，
∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2＋4，
解得：x 1＝1，x 2＝5，
∵起跳点A 坐标为（2，3），
∴x 1＝1，不符合题意，
∴x ＝5，
∴运动员落水点与点C 的距离为5米．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
22．（1）y 101200x =-+（x≥50）；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．
【分析】
（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50），利用待定系数法将（60,600），（80,400）代入即得解得解析式；
（2）根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最大利润即可，注意考虑自变量的范围，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%．
【详解】
解：（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50）．
由函数图像可知（60,600），（80,400）在函数图像上，代入即得：
6006040080k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得：101200k b =-⎧⎨=⎩
． 所以，每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式：y 101200x =-+（x≥50）． （2）由题意得：()()=10120050w x x -+-
化简得：2=10170060000w x x -+-
由函数解析式可知对称轴是x=85时，x≤85时，w 随x 的增加而增大．
因为，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，那么 x≤50×（1+30%），即x≤65. 所以，当x=65时，w 取到最大值：2=106517006560000=8250w -⨯+⨯-． 所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（1）y ＝﹣5x +400；w ＝﹣5x 2+500x ﹣8000；（2）销售单价定位50元时，此时利润最大，最大利润是4500元．
【分析】
（1）先列出y 关于x 的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）根据题意先确定x 的取值范围，再根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，y ＝250﹣5（x ﹣30）＝﹣5x +400；
则w ＝（x ﹣20）（﹣5x +400）＝﹣5x 2+500x ﹣8000，
故答案为：y ＝﹣5x +400；w ＝﹣5x 2+500x ﹣8000；
（2）根据题意得，54001002017x x -+≥⎧⎨-≥⎩
， 解得：37≤x ≤60，
∵函数 w ＝﹣5x 2+500x ﹣8000＝﹣5（x ﹣50）2+4500，
∴当x ＝50时，w 最大值＝4500．
答：销售单价定位50元时，此时利润最大，最大利润是4500元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意列出解析式，应用二次函数的性质求最值．
24．AC 的长度为（40+cm
【分析】
过F 作FG ⊥DE 于G ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解 过点F 作FG ⊥CD 于G ，
∵在Rt DFG 中，cos 2CDF DG DF ∠=
=，
∴∠FDG
＝30°，DG DF =cm ）， ∴FG ＝11301522
DF =⨯=（cm ），
∵在Rt CFG 中，sin 2
DCF ∠=
， ∴∠FCG ＝45°，
∴CG ＝FG ＝15cm ，
∴CD ＝15+
cm ），
∵CE ：CD ＝1：3，
∴EC ＝153CD =+（cm ），
∴DE ＝15+
5+
＝20+cm ），
∴AC
＝2 DE ＝40+cm ），
答：AC 的长度为（40+cm ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
25．（1）
2
2
；（2）点P的坐标为（0，3）或（0，
8
3
）．
【分析】
（1）证明∠AOB=45°，可得结论．
（2）分两种情形，利用相似三角形的性质分别求解即可．【详解】
解：（1）如图，过点A作AH⊥OB于H．
∵A（2，2），
∴AH＝OH＝2，
∴∠AOB＝45°，
∴sin∠AOB2．
（2）由（1）可知，∠AOP＝∠AOB＝45°，OA＝2
当△AOP′∽△AOB时，OA
OA
＝
OP
OB
，
可得OP′＝OB＝3，∴P′（0，3），
当△AOP∽△BOA时，OA
OB
＝
OP
OA
，
∴
3 ∴OP ＝83， ∴P （0，83
）， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为（0，3）或（0，
83）． 【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26．（1）2；（2）14x =-+24x =--
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值，解出对应的函数值，代入计算即可
（2）将常数项移到等号的右侧，两边同时加上一次项系数一半的平方，然后利用平方根的定义开方，转化成两个一元一次方程求解即可
【详解】
（1）解：原式1=2= （2）解：原方程变形得：282x x +=
配方得：2228442x x ++=+
即：()2418x +=
开方得：4x +=±
解得：14x =-+24x =--
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程的步骤是解题关键．。