作垂线构造相似教师版

相似构造技巧——作垂线
题型一 作垂线构造直角三角形相似
1．已知四边形ABCD 中，BC ∥AD ，∠BCD ＝90°，DE ⊥AB 于E ，AD ＝CD ＝4，BC ＝3 （1）如图1，求AE •AB 的值；
（2）如图2，连接AC ，交DE 于点F ，求证：CF ＝4AF ； （3）如图3，连接CE ，求sin ∠CEB 的值．
【解析】解：（1）如图1中，作BM ⊥AD 于M 交DE 于O ．则四边形BCDM 是矩形，BC ＝DM ＝3，．
∵DE ⊥AB ，∴∠OMD ＝∠OEB ，∵∠BOE ＝∠DOM ，∴∠ODM ＝∠OBE ，∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABM ，∴
AD AB
=
AE AM
，∴AE •AB ＝AM •AD ＝1×4＝4．
（2）如图2中，作BM ⊥AD 于M ，AN ⊥AD 交DE 的延长线于N ．
∵四边形BCDM 是矩形，∴BM ＝CD ＝AD ，∵∠ABM ＝∠ADN ，∠AMB ＝∠DAN ＝90°，∴△ABM ≌△DNA ，∴AM ＝AN ＝1，∵AN ∥CD ，∴
CF AF
=
CD AN
=4
1
，∴CF ＝4AF ．
（3）如图3中，连接BD ，延长DC 交AB 的延长线于M ．
∵∠M ＝∠M ，∠MCB ＝∠MED ，∴△MCB ∽△MED ，∴
MC ME
=
MB MD
，∴
MC MB
=
ME MD
，∵∠M ＝∠M ，∴
△MBD ∽△MCE ，∴∠MEC ＝∠MDB ，∴sin ∠CEB ＝sin ∠CDB =BC
BD ，在Rt △DBC 中，BD =√CD 2+BC 2=√32+42=5，∴sin ∠CEB =3
5．
2．（2020•沈阳月考）矩形ABCD 中，点P 在对角线BD 上（点P 不与点B 重合），连接AP ，过点P 作PE ⊥AP 交直线BC 于点E ．
（1）如图1，当AB ＝BC 时，猜想线段P A 和PE 的数量关系： P A ＝PE ；
（2）如图2，当AB ≠BC 时．求证：PA PE
=BC AB
（3）若AB ＝8，BC ＝10，以AP ，PE 为边作矩形APEF ，连接BF ，当PE =4
5√41时，直接写出线段BF 的长．
【解析】（1）解：线段P A 和PE 的数量关系为：P A ＝PE ，理由如下： 过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，如图1所示：
∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，BD 平分∠ABC ， ∴PM ＝PN ，∴四边形MBNP 是正方形，∴∠MPN ＝90°，∵PE ⊥AP ，∴∠APE ＝90°，
∴∠APM +∠MPE ＝90°，∠EPN +∠MPE ＝90°，∴∠APM ＝∠EPN ，在△APM 和△EPN 中，{∠APM =∠EPN PM =PN ∠AMP =∠ENP =90°
，∴△APM ≌△EPN （ASA ），∴P A ＝PE ，故答案为：P A ＝PE ； （2）证明：过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，如图2所示：
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，CD ＝AB ，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∠ABC ＝90°， ∴四边形MBNP 是矩形，∴∠MPN ＝90°，∵PE ⊥AP ，∴∠APE ＝90°， ∴∠APM +∠MPE ＝90°，∠EPN +∠MPE ＝90°，∴∠APM ＝∠EPN ，
∵∠AMP ＝∠ENP ＝90°，∴△APM ∽△EPN ，∴PA PE
=PM PN
，
∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴PM ∥AD ，PN ∥CD ，
∴△BPM ∽△BDA ，△BPN ∽△BDC ，∴
PM AD
=BP BD
，PN CD
=BP BD
，
∴PM AD
=PN CD
，∴PM PN
=AD CD
=BC AB
，∴PA PE
=
BC AB
；
（3）解：连接AE 、PF 交于Q ，连接QB ，过点A 作AO ⊥BD 于O ， ①当P 在O 的右上方时，如图3所示：
由（2）得：
PA PE
=
BC AB
=
108
=5
4
，∴P A =54PE =
54×45√
41=√41， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝10，∠BAD ＝90°，∴BD =√AB 2+AD 2=√82+102=2√41， ∵AO ⊥BD ，∵△ABD 的面积=12BD ×AO =1
2AB ×AD ，∴AO =
AB×AD BD =8×102√41
=40√41
41， ∵tan ∠ABD =
AO BO =AD
AB ，∴40√4141
BO
=
108
，解得：BO =
32√41
41
， 由勾股定理得：OP =√PA 2−AO 2=(√41)2−(
40√4141)2=9√41
41
， ∴BP ＝BO +OP =√41，∵四边形APEF 是矩形，∴∠AEP ＝90°，AE ＝PE ，QA ＝QE ＝QP ＝QF ， ∴PF ＝AE =√PA 2+PE 2=(√41)2+(
4415)2=415，∵∠ABE ＝90°，∴QB =1
2
AE ＝QE ， ∴QA ＝QE ＝QP ＝QF ＝QB ，∴点A 、P 、E 、B 、F 五点共圆，AE 、PF 为圆的直径，
∴∠PBF ＝90°，∴BF =√PF 2−BP 2=√(41
5)2−(√41)2=4√41
5
； ②当P 在O 的左下方时，如图4所示：
同理可得：AO =
40√4141，BO =32√4141，OP =9√4141，PF =415，则BP ＝BO ﹣OP =23√41
41
， 同理可得：点A 、P 、E 、B 、F 五点共圆，AE 、PF 为圆的直径，∴∠PBF ＝90°，
∴BF =√PF 2−BP 2=(
415)2−(23√4141)2=236√41
205
； 综上所述，当PE =4
5√41时，线段BF 的长为
4√415
或
236√41205
．
题型二 作垂线构造三垂直型相似
3．（2020•岱岳区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝5，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是3，l 2与l 3之间距离是6，且l 1，l 2，13分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为
5√132
．
【解析】解：如图，过点B 作EF ⊥l 2，交l 1于E ，交l 3于F ，如图．
∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴EF ⊥l 1，EF ⊥l 3，∴∠AEB ＝∠BFC ＝90°．BE ＝3， ∵AB ＝5，∴AE ＝4，∵∠ABC ＝90°，∴∠EAB ＝90°﹣∠ABE ＝∠FBC ，
∴△BFC ∽△AEB ，∴BF AE
=
CF BE
．∵BF ＝6，∴FC =9
2．
在Rt △BFC 中，BC =√BF 2+FC 2=15
2．在Rt △ABC 中，AC =√AB 2+BC 2=5√13
2
． 故答案为
5√13
2
．
4．（2020•洪山区期中）在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝5√2，CD＝5，∠ABC＝90°，求对角线BD的长．
【解析】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，
∵AD＝5√2，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，∴△ABC∽△CMD，∴AB
CM =
AC
CD
=
5
5
=1，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，
∴BM＝BC+CM＝7，∴BD=√BM2+DM2=√72+42=√65．
巩固练习
1．（2020•普陀区一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，
CD⊥BD，如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝15
4
．
【点睛】如图，过点A作AE⊥BD，由“AAS”可证△AOE≌△COD，可得CD＝AE＝3，由勾股定理可
求BD＝4，通过证明△ABE∽△BCD，可得AE
BD =
AB
BC
，即可求解．
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BD，
∵CD⊥BD，AE⊥BD，∴∠CDB＝∠AED＝90°，且CO＝AO，∠COD＝∠AOE，∴△AOE≌△COD（AAS）∴CD＝AE＝3，∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，∴DB=√BC2−CD2=√25−9=4；
∵∠ABC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠CBD，且∠CDB＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△BCD，∴AE
BD =
AB
BC
，∴
3
4
=
AB
5
∴AB=15
4故答案为：
15
4
．
2．（2019秋•资阳区期末）如图，点D，E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝2，AE＝3，BC＝6，则AB的长为9．
【解析】解：如图所示：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，∴BC
DE =
AB
AE
，∴AB=
BC
DE
⋅AE，
又∵DE＝2，AE＝3，BC＝6，∴AB=6
2
×3=9，故答案为9．
3．（2019秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC
上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+1
4PB的最小值为
√145
2
．
【解析】解：如图，在BC上截取CF=1
2，连接PF，CP，AF，
∵DE ＝4，P 是DE 的中点，∴CP =12
DE ＝2，
∵CP BC
=14
，
CF CP
=14
∴CP BC
=CF CP
，且∠FCP ＝∠BCP ，∴△BCP ∽△PCF ，∴
PF
BP
=14
，∴PF =14
BP ，
∵P A +1
4PB ＝P A +PF ，∴当点A ，点P ，点F 共线时，P A +1
4PB 的最小值为AF ，
∴AF =√AC 2
+CF
2
=√14
+36=
√145
2
故答案为：
√145
2
4．（2019春•南岗区校级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD ＝CD ，点E 在AB 上，∠B ＝2∠AED ，CF ⊥ED ，若CF =√10，BE +BC =√35，则EC ＝ √11 ．
【解析】解：如图，延长DE ，CB 交于点H ，过点A 作AN ⊥DN ，
∵∠ABC ＝2∠AED ，∠ABC ＝∠H +∠BEH ＝∠H +∠AED ，∴∠H ＝∠BEH ，∴BE ＝BH ， ∴CH ＝BH +BC ＝BE +BC =√35，
∵∠CDF ＝∠CDH ，∠ACB ＝∠CFD ＝90°，∴△CDF ∽△HDC ，
∴CF CH
=DF CD
=
√10
√35=√2√7
，设DF =√2a ，CD =√7a ，∵CD 2＝DF 2+CF 2，∴a =√2， ∴DF ＝2，CD =√14，∵AD ＝CD ，∠ADN ＝∠CDF ，∠N ＝∠CFD ，∴△ADN ≌△CDF （AAS ）， ∴CF ＝AN =√10，DF ＝DN ＝2，∵∠N ＝∠ACB ，∠AEN ＝∠H ，∴△AEN ∽△DHC ，
∴AN CD
=EN HC
∴
√10
√14
=√35∴EN ＝5，∴EF ＝1，∴EC =√EF 2
+CF
2
=√1+10=√11，故答案为：√11．
5．（2019秋•襄州区期末）在△ABC中，AB＝AC，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）如图1，求证：AM∥BC；
（2）如图2，若D是BC中点，DN平分∠ADC交AM于点N，DQ平分∠ADB交AM的反向延长线于Q，判断△QDN的形状并说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°将∠QDN绕点D旋转一定角度，DN交边AC于F，DQ交边AB于H，当S△ABC＝14时，则四边形AHDF的面积为7．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AM平分∠EAC，∴∠EAM＝∠MAC=1
2∠EAC，
∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠B=1
2∠EAC，∴∠EAM＝∠B，∴AM∥BC；
（2）△ADN是等腰直角三角形，理由：∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵DN平分∠ADC，DQ平分∠ADB，
∴∠ADN＝∠NDC＝45°，∠ADQ＝∠BDQ＝45°，∴∠QDN＝90°，∵AM∥BC，∴∠AND＝∠NDC＝45°，∠AQD＝∠BQD＝45°，∴∠AND＝∠AQD，∴DQ＝DN，∴△ADN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，∠QDN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠QDN+∠BAC＝180°，
∴∠AHD+∠AFD＝180°，∵∠AHD+∠BHD＝180°，∴∠BHD＝∠AFD，
由（2）知，∠ADB＝∠QDN＝90°，∴∠BDH＝∠ADF，
在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝90°，∴BD＝CD＝AD，
∴△BDH≌△ADF（AAS），∴S△BDH＝S△ADF，
∴S四边形AHDF＝S△ADF+S△ADH＝S△BDH+S△ADH＝S△ABD=1
2S△ABC＝7，故答案为：7．
6．（2019秋•南京期中）【问题探究】小敏在学习了Rt△ABC的性质定理后，继续进行研究．
（1）（i）她发现图①中，如果∠A＝30°，BC与AB存在特殊的数量关系是BC=1
2AB；
（ii）她将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，如图②，此时她证明了BC和AB的关系；请根据小敏证明的思路，补全探究的证明过程；
猜想：如果∠A＝30°，BC与AB存在特殊的数量关系是BC=1
2AB；
证明：△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，
（2）如图③，点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°，连接AE、AF、EF，将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，连接AC，若∠EAF＝30°，AB2＝27，则△CEF的周长为6．
【点睛】（1）（i）在AB上截取BD＝BC，可证△BCD是等边三角形，CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，可得BD＝AD＝CD＝BC，可得结论；
（ii）由折叠的性质可得AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，可证△ABH是等边三角形，可得AB＝BH＝2BC；
（2）由折叠的性质可得AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt △ADC，可得∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，由直角三角形的性质可求BC＝3，即可求解．
【解析】解：（1）（i）BC=1
2AB，理由如下：在AB上截取BD＝BC，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，且BD＝BC，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝30°＝∠A，∴AD＝CD，∴BD＝AD＝BC，∴BC=1
2AB；
（ii）∵将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，∴△ABC≌△AHC，
∴AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，∴∠BAH＝60°，且AB＝AH，
∴△ABH是等边三角形，∴AB＝BH，∴BC=1
2BH=
1
2AB；
（2）∵将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，
∴AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，
∵AB＝AD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，
∵AB2＝27，∴AB＝3√3，∵tan∠BAC=BC
AB
=√33，∴BC＝3＝CD，
∴△CEF的周长＝EC+CF+EF＝EC+CF+BE+DF＝BC+CD＝6．故答案为：6．
7．（2019秋•慈溪市期末）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．
（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？
①正方形是自相似菱形；
②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．
③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△
AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．
（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．
①求AE，DE的长；
②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．
【解析】解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，
在△ABE和△DCE中，{AB=CD
∠ABE=∠DCE
BE=CE
，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自
相似菱形；
②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：
如图4所示：
连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，
若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，
∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；
③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，
则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：
∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，
同理△AED与△EDC也不能相似，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，
当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，
∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，
则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；
（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，
由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴AB
DE =
BE
AE
=
AE
AD
，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，
∴AE＝2√2，DE=AB⋅AE
BE
=4×2√2
2
=4√2，
②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：
则四边形DMEN是矩形，
∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，
由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4√2）2﹣（x+4）2＝（2√2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM=√AE2−AM2=√(2√2)2−12=√7，
在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC=DN
BN
=√77．
8．（2020•硚口区模拟）如图1，AD是△ABC的角平分线，点E是AC上一点，BE交AD于点F，BD＝BF．（1）求证：△BAF∽△CAD；
（2）如图2，若BE是△ABC的高，sin C=3
5，AB＝10，求DF的长；
（3）如图3，若BE是△ABC的中线，直接写出CD
BD
的值．
【解析】解：（1）∵BD＝BF，∴∠BFD＝∠BDF，
∴180°﹣∠BFD＝180°﹣∠BDF，即∠AFB＝∠ADC，又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAF＝∠CAD，∴△BAF∽△CAD；
（2）∵BE是△ABC的高，∴∠C+∠EBC＝90°，由（1）知△BAF∽△CAD，∴∠ABF＝∠C，∴∠ABF+∠EBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠AEF＝90°，又∵∠BAD＝∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，∴AE
AB =
AF
AD
=
EF
BD
=
3
5
，设EF＝3x，则BD＝BF＝5x，∵BE＝BF+EF＝8x，
∵AB＝10，sin C＝sin∠ABE=AE
AB
=35，∴AE＝6，BE=√102−62=8，
∴x＝1，∴EF＝3，BD＝BF＝5，∴AF=√62+32=3√5，∴AD＝5√5，∴DF＝AD﹣AF＝2√5；
（3）令AE ＝1，则AC ＝2，∵△BAF ∽△CAD ，∴∠ABE ＝∠C ，
又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴
AB AE
=AC AB
，即AB 1
=2AB
，∴AB =√2，
∴CD BD
=CD BF
=AC AB
=√2
=
√2．
9．已知矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE 于点F ． （1）如图1，若BE =√2，求AE •AF 的值；
（2）如图2，连接AC 交DF 于点G ，若AG CG
=23
，求cos ∠FCE 的值；
（3）如图3，延长DF 交AB 于点G ，若G 点恰好为AB 的中点，连接PC ，过A 作AK ∥FC 交FD 于K ，设△ADK 的面积为S 1，△CDF 的面积为S 2，则S 1
S 2的值为
38
．
【解析】解：（1）∵E 是BC 的中点，∴BC ＝2BE ＝2√2，
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2√2，∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAF ，∵DF ⊥AE ，
∴∠AFD ＝90°＝∠B ，∴△ABE ∽△DF A ，∴
AE
AD
=BE AF
，∴AE •AF ＝AD •BE ＝2√2×√2=4；
（2）延长DE 交CB 的延长线于H ，连接DE 、AH ，如图2所示：
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠BCD ＝90°，
∴△ADG ∽△CHG ，∴
AD CH
=
AG CG
=2
3
，∴BH =1
2BC ，
∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝BH ，∴EH ＝BC ＝AD ，∴四边形ADEH 是平行四边形， ∵DF ⊥AE ，∴四边形ADEH 是菱形，∴DF ＝HF ，∠AEH ＝∠AED ，DE ＝AD ＝EH ＝BC ，
∴CE =12
DE ，∴∠CDE ＝30°，∴∠CED ＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEH ＝∠AED ＝60°，
∵DF ⊥AE ，∴∠FDE ＝30°＝∠CDE ，∴FE ＝CE ，∴∠FCE ＝∠CFE =1
2∠AEH ＝30°，
∴cos ∠FCE =
√3
2
；
（3）过F 作PQ ⊥AB 于P ，交CD 于Q ，作KH ⊥AD 于H ，如图3所示：
则PQ ＝AD ，AP ＝DQ ，PQ ∥BC ∥AD ，∵G 是AB 的中点，E 是BC 的中点，
∴AB ＝2AG ，BC ＝2BE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠DAG ＝90°， ∵DF 作AE ，∴∠ADF +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝90°，∴∠BAE ＝∠ADF ，∴△ABE ∽△DAG ，
∴AB AD
=
BE AG
，∴AB •AG ＝AD •BE ，即1
2
AB 2=1
2AD 2，∴AB ＝AD ，
∴四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝PQ ，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝PQ ＝4a ，
则BE ＝AG ＝2a ，∴tan ∠ADG ＝tan ∠BAE =
2a 4a =1
2
，AE ＝DG =√(2a)2+(4a)2=2√5a ， ∵DF ⊥AE ，∴AF =
AG×AD DG =2a×4a 25a
=4√5
5a ，∵PQ ∥BC ， ∴△APF ∽△ABE ，∴
AP
AB
=
PF BE
=
AF AE
，即
AP 4a
=
PF 2a
=
4√5
5
a 2√5a
，
解得：AP =85a ，PF =45a ，∴CQ ＝PB ＝AB ﹣AP ＝4a −85a =
125
a ， FQ ＝PQ ﹣PF ＝4a −45
a =
165a ，∵KH ⊥AD ，∴tan ∠ADG =KH DH =12
，设KH ＝x ，则DH ＝2x ， ∵PQ ∥AD ，AK ∥FC ，∴∠DAF ＝∠QFE ，∠KAF ＝∠CFE ，∴∠DAK ＝∠QFC ， 又∵∠AHK ＝∠FQC ＝90°，∴△AHK ∽△FQC ，∴
HK CQ
=
AH FQ
，即x
125
a
=
AH
165
a ，
解得：AH =43x ，∵AH +DH ＝AD ，∴43
x +2x ＝4a ，解得：x =6
5a ，
∴KH =65a ，∵△ADK 的面积为S 1=12AD ×KH ，△CDF 的面积为S 2=1
2CD ×FQ ，
∴S 1S 2
=KH FQ
=6
5a 165
a =38
；故答案为：3
8
．。