广东省越秀外国语学校2025届高考考前提分数学仿真卷含解析

广东省越秀外国语学校2025届高考考前提分数学仿真卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5
cos θ= ）
A 5
B 5
C ．2
D ．4
3．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）
A ．y x =
B ．()sin f x x x =
C ．()2
f x x x =+ D ．1y x =+
4．函数1
()f x ax x
=+
在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B ．1
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．[1,)+∞
D ．1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
5．已知(),A A A
x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23
π
到OB 交圆
于点(),B B B x y ，则2A
B y
y +的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．3
D ．5
6．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
26
B ．
33
C ．
36
D ．
23
7．已知抛物线2
2(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆2
2
(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）
A ．211-
B ．525
-
C ．25
D ．251-
8．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A ．56
B ．60
C ．140
D ．120
9．设实数满足条件
则的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．
760
B ．
16
C ．
1360
D ．
14
11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π
0,0,2
A >><
ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）
A ．π12
B ．
π6 C ．π3
D ．5π12
12．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．
35
B ．45
-
C ．
45
D ．
35
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．
14．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论: ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.
15．已知随机变量X 服从正态分布(
)2
4,N σ
，()60.78P X <=，则()2P X ≤=__________．
16．已知向量AB =（1，2），AC =（-3，1），则AB BC ⋅=______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()()2
2ln 1f x x x m x =+-+，其中m R ∈.
（Ⅰ）若0m >，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()()1x
g x f x e
=+
.若()1
1g x x >+在()0,∞+上恒成立，求实数m 的最大值. 18．（12分）已知函数()|1|||f x x x a =+-+. （1）若1a =-，求不等式()
1f x -的解集；
（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.
19．（12分）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3
cos 24
C =-. （1）求sin C 的值；
（2）当2c a =，且b =ABC 的面积.
20．（12分）已知函数22()1e x
f x ax ax =++-.
（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围.
21．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有
16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖
箱中装有2个红球与(
)*
2,m m m N
≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，
若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.
()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，
若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）通过伸缩变换2x x
y y
=''⎧⎨=⎩，得到曲线2C ，
设直线2cos :sin x t l y t α
α=+⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数)与曲线2C 相交于不同两点A ，B .
（1）若3
π
α=
，求线段AB 的中点M 的坐标；
（2
）设点(2P ，若2
PA PB OP ⋅=，求直线l 的斜率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值. 【详解】
根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，
执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，
当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，
5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.
故选：B ． 【点睛】
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 2、A 【解析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】
解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈
又cos θ=，则sin θ=，tan 2θ=，2b a =，所以离心率c e a === 故选：A . 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 3、C 【解析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【详解】
A ：y =
B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；
C ：2
y x
x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；
D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C . 【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 4、B 【解析】
对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】
当0a ≤时，函数1
()f x ax x
=+
在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1
()f x ax
x =+
的递增区间是⎫+∞⎪⎭
， 所以2
≥，即1
4
a ≥. 故选:B. 【点睛】
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 5、C 【解析】
设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin A y α=，2sin()3
B y πα=+
，2A B y y +=33sin cos 22
αα+，利用辅助角公式计算即可.
【详解】
设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由已知，cos ,sin A A x y αα==，
22cos(),sin()33B B x y ππαα=+
=+，所以2A B y y +=2sin α+2sin()3
π
α+= 132sin sin cos 22ααα-+=33sin cos 3sin()3226
π
ααα+=+≤，
当3
π
α=
时，取得等号.
故选：C. 【点睛】
本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题. 6、C 【解析】
分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,再利用向量法求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值. 【详解】
由题可知，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.
设2AD =.则(2,2,0),(1,2,1),cos ,
BD EF BD EF =-=-〈〉=
=.
故异面直线EF 与BD .
故选：C 【点睛】
本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7、D 【解析】
利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min
PM ，由PQ 取
得最小值为min
1PM -，求得结果.
【详解】
由抛物线2
:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2
p x =-
， 则点(5,)t 到焦点的距离为562
p
d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：2
4y x =，
设(,)P x y ，圆22
:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，
则PM ===，
当4x =时，PQ 11-=， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目. 8、C 【解析】
试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 9、C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即
，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且
时，
有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 10、C 【解析】
分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有6
6A 种，进而得到结果. 【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3
3A 种情况，由间接法得到满足条件
的情况有5123
5423A C A A
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3
3A 种，
由间接法得到满足条件的情况有5123
5323A C A A -
共有：51235123
53235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，
故满足条件的事件的概率为：51235123532354236
613
60
A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 11、A 【解析】
a 是函数()f x 的零点，根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得．
【详解】 由题意3
114126T ππ=
-，T π=，∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412
πππ
+=，在y 轴左边第一个零点是6
4
12
π
π
π
-
=-
，
∴a 的最小值是12
π
．
故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()f x A x ωϕ=+的零点就是其图象对称中心的横坐标． 12、D 【解析】
利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】
解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫
=+=+=+
⎪⎝⎭
，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22
k π
θαπ+=-
()k ∈Z ，即2()2
k k Z π
θπα=-
-∈时，函数取最小值()5f
θ=-，
所以3cos cos(2)cos()sin 2
25
k π
π
θπααα=--=-
-=-=-， 故选：D 【点睛】
本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3
-
【解析】
根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值. 【详解】
根据茎叶图中的数据，得：
甲班5名同学成绩的平均数为1
(7277808690)81 5
x
⨯+++++=，
解得0
x=；
又乙班5名同学的中位数为73，则3
y=；
033
x y
-=-=-.
故答案为：3
-.
【点睛】
本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.
14、②③
【解析】
根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.
15、0.22.
【解析】
正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。

【详解】
()()2160.22P X P X ≤=-<=
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．
16、-6
【解析】
由BC AC AB =-可求BC ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB •BC .
【详解】
∵AB =（1，2），AC =（-3，1），∴BC AC AB =-=（-4，-1），
则AB •BC =1×（-4）+2×（-1）=-6
故答案为-6
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）单调递减区间为1⎛⎫ ⎪ -⎝⎭-⎪，单调递增区间为1,⎫⎪⎝-+⎭
∞⎪；（Ⅱ）2. 【解析】
（Ⅰ）求出函数()y f x =的定义域以及导数()f x '，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间； （Ⅱ）由题意可知()2 112ln 11x x x m x x e
+-+>-+在()0,∞+上恒成立，分0m ≤和0m >两种情况讨论，在0m ≤时，构造函数()21121x G x x x x e
=+-++，利用导数证明出()0G x >在()0,∞+上恒成立；在0m >时，经过分析得出02m <≤，然后构造函数()()21122ln 11
x P x x x x e x =+-++-+，利用导数证明出()0P x >在()0,∞+上恒成立，由此得出()()0f x P x >>，进而可得出实数m 的最大值.
【详解】
（Ⅰ）函数()()2
2ln 1f x x x m x =+-+的定义域为()1,-+∞. 当0m >时，()()2
212211x m m f x x x x +-'=+-=++.
令()0f x '=，解得111x =-<-（舍去），211x =->-.
当1,12x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭∈-时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在1,12⎛⎫ ⎪ -⎝⎭
-⎪上单调递减；
当1,2x ∈-+∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以，函数()y f x =在1,2⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭
∞⎪上单调递增.
因此，函数()y f x =的单调递减区间为1⎛⎫ ⎪ -⎝⎭-⎪，单调递增区间为1,⎫⎪⎝+⎭
∞⎪； （Ⅱ）由题意，可知()2 112ln 11x x x m x x e
+-+>-+在()0,∞+上恒成立. （i ）若0m ≤，()ln 10x +>，()ln 10m x -+≥∴，
()2211112ln 1211x x x x m x x x x e x e ∴+-+-
+≥+-+++， 构造函数()2
1121x G x x x x e =+-++，0x >，则()()211221x G x x e x '=++-+， 0x ，101x e
∴<
<，110x e ∴-<-<. 又()21222221x x x ++>+>+，()'0G x ∴>在()0,∞+上恒成立.
所以，函数()y G x =在()0,∞+上单调递增，()()
00.G x G =∴> ∴当0m ≤时，()2112ln 101x x x m x x e ∴+-+-
+>+在()0,∞+上恒成立. （ii ）若0m >，构造函数()1x H x e x =--，0x >.
()10x H x e '=->，所以，函数()y H x =在()0,∞+上单调递增.
()()00H x H ∴>=恒成立，即10x e x >+>，111x x e ∴
>+，即1101x x e ->+. 由题意，知()111x f x x e
>-+在()0,∞+上恒成立. ()()2210f x x x mln x ∴=+-+>在()0,∞+上恒成立.
由（Ⅰ）可知()()min 1f x f x f ⎫==-⎪⎪⎝⎭
极小值，
又()00f =10->，即2m >时，函数()y f x =在10,2⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减，
()1002f f ⎛⎫ ⎪ ⎪<⎭
-=⎝，不合题意，102∴-≤，即02m <≤. 此时()()()22111112ln 122ln 1111
x x g x x x m x x x x x e x e x -=+-++-≥+-++-+++ 构造函数()()21122ln 11
x P x x x x e x =+-++-+，0x >. ()()2
2112211x P x x x e x '∴=+--+++， 111
x e x ->-+，11x +>， ()()()22
2113122221111x P x x x x e x x x '∴=+--+>+-+++++ ()()()()()()()()3
222221311
21311210111x x x x x x x x x +-+++-+++=>=>+++，
()'0P x ∴>恒成立，所以，函数()y P x =在(0,)+∞上单调递增，()()00P x P ∴>=恒成立.
综上，实数m 的最大值为2. 【点睛】
本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.
18、（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
（2）[]2,0-
【解析】
（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集.
（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，只需满足
()max
|21|f x a +即可.
【详解】 解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩
由()1f x -，得12x . 故不等式()1f x -的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，
所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题， 所以()max |21|f x a +.
因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，
所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+，所以()()22121a a -+，
即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.
19、
（1）
4
；
（2）4 【解析】
（1）利用二倍角公式2cos 212sin C C =-求解即可，注意隐含条件sin 0C >.
（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin ,cos ,cos A A C 的值，又由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+求出sin B 的值，最后由正弦定理求出a 的值，根据三角形的面积公式即可计算得出.
【详解】
（1）由已知可得2cos 212s 34in C C =-
=-， 所以27sin 8C =， 因为在锐角ABC 中，sin 0C >，
所以sin C = （2）因为2c a =，
所以1sin sin 28
A C ==， 因为ABC 是锐角三角形，
所以cos 48
C A ==， 所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+
84848
=+=.
sin a A =，所以a =，
所以11sin 22ABC S ab C === 【点睛】
此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.
20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）(],2-∞
【解析】
（1）由于函数2()()22e x g x x ax f a ==+-'，得出()2()22e x g x a '=--，分类讨论当0a ≤和0a >时，()g x '的正
负，进而得出()g x 的单调性；
（2）求出()22e (21)21x f x x a x ⎛⎫'=+- ⎪+⎝
⎭，令()0f x '=，得22e 21x a x =+，设22()21x e h x x =+，通过导函数()h x '，可得出()h x 在(0,)+∞上的单调性和值域，再分类讨论2a ≤和2a >时，()f x 的单调性，再结合(0,)x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，即可求出a 的取值范围.
【详解】
解：（1）因为2()()22e x
g x x ax f a ==+-'，
所以()22()24e 22e x x g x a a '=-=--，
①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减.
②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <
；令()0g x '<，则1ln 22a x >， 所以()g x 在1,ln 22a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；
当0a >时，()g x 在1,ln 22a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减. （2）因为22()1e x f x ax ax =++-，可知(0)0f =，
2()22e x f x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x x
a x x a x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭， 令()0f x '=，得22e 21
x a x =+. 设22()21
x
e h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+. 当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，
所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221
x
e x >+. 当2a ≤时，()0
f x '=没有实根，且()0f x '<，
()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意.
当2a >时，(0)2h a =<， 所以22e ()21
x
h x a x ==+有唯一实根0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意.
综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计
算能力，属于难题.
21、()135
；()29. 【解析】
()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为
13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415
，求出()P A ； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得
()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()
2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值.
【详解】
()1设顾客获得三等奖为事件A ，
因为顾客掷得点数大于4的概率为13
， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515
C C ⨯=⨯=， 所以()1433155
P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，
且()()()()222
21121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++， ()()()
11222283003321m m C C m P X C m m +==⨯=++， ()()()
2222244003321m C P X C m m +==⨯=++， 所以随机变量X 的数学期望，
()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭
， 化简得()()()
2100200220016003321m m E X m m ++=+++，
由题意可知，()150E X ≤，即()()
2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥，
即m 的最小值为9.
【点睛】
本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.
22、（1
）12(
,1313
-；（2
）4. 【解析】
（1）由l 参数方程与椭圆方程联立可得A 、B 两点参数和，再利用M 点的参数为A 、B 两点参数和的一半即可求M 的坐标；
（2）利用直线参数方程的几何意义得到PA PB ⋅，再利用PA PB ⋅=27OP =计算即可，但要注意判别式还要大于0.
【详解】 （1）由已知，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），其普通方程为2
214x y +=， 当3πα=
时，将12,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入2214x y +=得21356480++=t t ，设 直线l 上A 、B 两点所对应的参数为12,t t ，中点M 所对应的参数为0t ，则0t =
1228213t t +=-， 所以M
的坐标为12(,13； （2
）将2cos sin x t y t αα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入2
214x y +=
得222(cos 4sin )4cos )120t t αααα++++=， 则PA PB ⋅=122212||cos 4sin t t αα
=
+，因为27OP =即222212(cos sin )7(cos 4sin )αααα+=+， 所以225cos 16sin αα=，故25tan 16α=，由∆
=24cos )αα+-2248(cos 4sin )αα+
2cos cos )0ααα=->
得tan α>
，所以tan α=. 【点睛】
本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道中档题.。