2014年高中数学核心归纳课件(新人教a版必修2)：第一章 1.2.3 《空间几何体的直观图》

②在图2中,以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD,在y′轴 上取M′N′= 1
2
MN,以点N′为中点画B′C′平行于x′轴,并
且等于BC;再以M′为中点画E′F′平行于x′轴,并且等于EF. ③连接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六边形ABCDEF水 平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画六棱锥P-ABCDEF的顶点,在O′z′轴上截取O′P′=OP=1.
(3)成图.连接P′A′,P′B′,P′C′,P′D′,P′E′,P′F′, 并擦去x′轴,y′轴,z′轴,将被遮挡的部分改为虚线,便得到 六棱锥P-ABCDEF的直观图P′-A′B′C′D′E′F′(图3).
【拓展提升】 1.画柱体、锥体的直观图的四个步骤 (1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系. (2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面. (3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. (4)连线成图.
提示:“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在
直观图中均与x′轴成45°或135°;“二测”是指两种度量形 式,即在直观图中,平行于x′轴的线段长度不变;平行于y′轴 的线段长度变为原来的一半.
二、空间几何体直观图的画法
z 轴. 1.画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个__ xOy 表示水平平面,平面____ yOz 和____ xOz 表示竖 2.画平面:平面____ 直平面.
一个平面图形的直观图,则原图形的周长为 .
2.如图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.
【解题探究】1.由直观图还原平面图形应如何把握线段长度 的变化? 2.由三视图画几何体的直观图的关键是什么? 探究提示: 1.与x′轴平行(或在x′轴上)的线段还原时长度不变;与y′ 轴平行(或在y′轴上)的线段还原时长度变为直观图中相应线 段长度的2倍,由此确定图形的各个顶点. 2.首先通过三视图认清几何体的形状与大小,这是解决此类问 题的关键,然后按照斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可 .
3.直观图中的“变”与“不变” (1)平面图形用其直观图表示时,一般说来,平行关系不变.(2) 点的共线性不变;线的共点性不变;但角的大小有变化(特别是 垂直关系有变化).(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此 图形的形状发生变化,这种变化,目的是为了使图形富有立体 感.
4.三视图与直观图的联系与区别 (1)联系:三视图能帮助人们从不同的角度认识几何体的结构 特征,直观图是对空间几何体的总体刻画.我们可以根据直观 图的结构特征来想象实物的形象,同时能由空间几何体的三视 图得到它的直观图,也能够由几何体的直观图得到它的三视图 . (2)区别:三视图是从三个不同的位置观察得出的,它能体现线 段长度的精确比例及位置关系,但缺乏立体感;直观图是从一 个位置观察得出的,能直观地体现几何体的形状,但是某些方 向上的尺寸失真.
【知识点拨】 1.斜二测画法中的建系原则 在已知图中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都 行,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有 直线或图形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点或利用 原有互相垂直的直线为坐标轴等. 2.对斜二测画法的认识 斜二测画法的位置特征与度量特征简记为横不变 ,纵折半,平 行位置不改变.
2 (如图)，所以BC=2BO=2，AB=AC= 1 所以AB=AC=BC， ( 3 )2 2 ，
所以△ABC是等边三角形.
2.利用如图所示的三视图,画出它的直观图.
【解析】该几何体是一个三棱柱,直观图如下:
【规范解答】有关直观图的计算问题
【典例】 【条件分析】
【规范解答】如图,
由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上下底边的长 度是一样的,不一样的是两个梯形的高①. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
1.2.3 空间几何体的直观图
一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 1.画轴:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于 点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相 45° ______), 135° 它们确定 交于点O′,且使∠x′O′y′=_____(或
水平面 的平面表示_______.
2.利用斜二测法画空间图形的直观图应遵循的原则
(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角 度可适当选取,为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表 示. (2)画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平 行不变,长度变,横竖不变,纵折半. (3)画空间几何体的直观图,要注意选取适当的原点,建系画轴.
【拓展提升】画平面图形的直观图的诀窍 (1)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴 或y′轴平行,且与x′轴平行的线段长度不变,与y′轴平行的 线段长度减半. (2)原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连 线.画端点时,过端点作与坐标轴平行的线段,再借助所作的平 行线段确定端点在直观图中的位置. (3)原图中的曲线可以通过取一些关键点,利用上述方法作出 直观图中的相应点后,用平滑曲线连接而画出.
(2)在图a中,过点D作DE⊥x轴,垂足为E,在x′轴上取 A′B′=AB=4cm,A′E′=AE,过E′作E′D′∥y′轴,使得 E′D′= 1 ED,再过点D′作D′C′∥x′轴,使得D′C′=DC.
2
(3)连接A′D′,B′C′,擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线, 如图c所示,四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
类型 一
画平面图形的直观图
【典型例题】
1.给出以下结论:
(1)角的水平放置的直观图一定是角. (2)相等的角在直观图中仍相等. (3)相等的线段在直观图中仍相等. (4)若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍平行. 其中正确的序号是 .
2.如图所示,AB∥CD,AB=4cm,CD=2cm,∠DAB=30°,AD=3cm,试 画出它的直观图.
【变式训练】一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四 棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、 高分别为20m,5m,10m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画 出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和四棱锥 的高应分别为 ( )
A.4cm,1cm,2cm,1.6cm B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm
(4)成图.连接PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三视图表示的 几何体的直观图,如图②.
【拓展提升】由三视图画直观图的策略
(1)由三视图画几何体的直观图,首先要认清几何体的形状与
大小,这是解决此类问题的关键.
(2)然后按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可.
(3)对于复杂的组合体,有时需要建立多个辅助坐标系,这时只
【解析】选C.由比例尺可知,长方体的长、宽、高和四棱锥的 高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,再结合直观图,图形的尺寸 应为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm或2cm,1cm,2cm和1.6cm.
类型 三
三视图与直观图的异同及计算
【典型例题】
1.如图所示:正方形O′A′B′C′的边长为1,它是水平放置的
要逐个解决即可.
【变式训练】1.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法” 得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1, A′O′=
2 3 ,那么原△ABC是一个
(
)
A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
【解析】选A.由已知得△ABC中AO⊥BC，BO=CO=1，AO= 3
3.取长度:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其
平行性和长度 都不变. 直观图中_____________ 虚线 4.成图处理:成图后,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为_____.
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图 形. ( )
【解析】1.由斜二测画法可知,对应的B点应在直角坐标系的 y轴上且|OB|= 2 2 ,点A在x轴的正半轴上且|OA|=1,原图形如图:
2 2 四边形OABC为平行四边形,AB= O A O B 3 , 所以其周长为8.
答案:8
2.(1)画轴.如图①,画x轴,y轴,z轴,使 ∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画圆台的两底面.利用斜二测画法, 画出底面☉O,在z轴上截取OO′,使OO′等于三视图中相应高 度,过O′作Ox的平行线O′x′,作Oy的平行线O′y′,利用 O′x′与O′y′画出上底面圆O′(与画圆O一样). (3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于三视图中相应 的高度.
2.画线:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分 x′轴 或______ y′轴 的线段. 别画成平行于______ 3.取长度:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中 保持原长度不变 平行于y轴的线段,长度_____________. 为原来的一半 _______________,
思考:斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么?
【解析】1.由直观图的画法知,平行线在直观图中依然平行,
角的直观图仍然是角,但相等的角在原图中的位置不同,直观 图就可能不同,线段也如此,故(1)(4)正确,(2)(3)不正确. 答案:(1)(4)
2.(1)如图a所示:
在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,建立平面 直角坐标系xOy.如图b所示,画出对应的x′,y′轴,使得 ∠x′Oy′=45°.
【解析】1.选A.根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特 点,并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用,知A 正确.
2.画法:(1)画六棱锥P-ABCDEF的底面. ①在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴MN所在直 线为y轴,两轴相交于O(如图1所示),画相应的x′轴和y′ 轴,z′轴,三轴交于O′,使∠x′O′y′=45°, ∠x′O′z′=90°(如图2所示).
【变式训练】如图为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系 xOy中点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的 直观图中,顶点B′到x′轴的距离为 .
【解析】因为A′O′=1,所以B′C′=1,则B′到x′轴的距离 为 1 1
2 2 . 2
答案： 2
2
类型 二
画空间几何体的直观图
(2)空间几何体与平面图形的直观图,都没有实线,虚线之 分. ( )
(3)三视图和直观图都不能体现线段长度的精确比例及位置 关系. ( )
提示:(1)正确.一个空间图形在投影面上的平行投影叫做空间 图形的直观图. (2)错误.最大的区别是几何体的直观图有实线与虚线之分 ,而 平面图形的直观图全为实线. (3)错误.三视图能够,而直观图能直观的体现几何体的形状, 但是某些方向上的尺寸失真. 答案:(1)√ (2)× (3)×
【解题探究】1.画平面图形的直观图时,其中哪些量“不变”? 2.画平面多边形直观图的关键般说来,平行关系不变;点的共线性不变;线的共点性不变; 但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化). 2.关键是确定多边形的顶点的位置;一般尽量运用原有图形的 对称性和垂直关系.
【典型例题】
1.如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的
左上角而绘制的，其中正确的是( )
2.用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面
ABCDEF是边长为1的正六边形，点P在底面的投影是正六边形
的中心O且OP=1.
【解题探究】1.应从哪两方面注意原图与直观图的线段的变 化? 2.画空间几何体的直观图时,对于图中与x轴,y轴,z轴都不平 行的线段应如何处理? 探究提示: 1.画直观图时,注意原图和直观图中线段的位置关系(垂直、 平行)的变与不变,长度关系的变与不变. 2.可通过确定端点的办法来解决.