【配套K12】[学习]2018年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.5 不等式的应用活页作业

活页作业(七) 不等式的应用
一、选择题
1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝
t 2＋10t ＋16，则该商场前
t 天平均售出⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤如前10天的平均售出为
f 10
的月饼最少为( )
A ．18
B ．27
C ．20
D ．16
解析：平均销售量
y ＝f t t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t
＋10≥18，
当且仅当t ＝16
t
，即t ＝4∈[1,30]时等号成立，
即平均销售量的最小值为18. 答案：A
2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( )
A ．大
B ．小
C ．相等
D ．不能确定
解析：设单程为s ，则上坡时间t 1＝s
a ，下坡时间t 2＝s b
， 平均速度为v ＝
2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋
1b
＜a ＋b
2
. 答案：B
3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准
备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x
8元，总
的费用是800x ＋x
8≥
2
800x ·x
8
＝20， 当且仅当800x ＝x
8，即x ＝80时取等号．
答案：B
4．如图，建立平面直角坐标系，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2
(k ＞0)表示的曲线上，其
中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为( )
A ．20 km
B ．10 km
C ．5 km
D ．15 km
解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2
＝0.由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0.故x
＝20k 1＋k 2＝20k ＋
1k
≤202＝10，当且仅当k ＝1k
，即k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. 答案：B 二、填空题
5．设三角形的三边长分别为3,4,5，P 是三角形内的一点，则点P 到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.
解析：设点P 到三角形三边的距离分别为h 1，h 2，h 3. 由题意，得三角形为直角三角形，S ＝1
2×3×4＝6.
∴12h 1·3＋12h 2·4＋1
2h 3·5＝6. ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥33
60h 1h 2h 3. ∴h 1h 2h 3≤6460＝16
15.
答案：1615
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____________m.
解析：如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF
AH
⇒AF ＝x ⇒FH
＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫4022
，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意
的边长x 为20 m.
答案：20 三、解答题
7．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
(1)该船捕捞几年后开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)? (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出． 哪一种方案较为合算？请说明理由．
解：(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则
y ＝50n －⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤12n ＋
n n －2
·4－98
＝－2n 2
＋40n －98.
由y ＞0，得n 2
－20n ＋49＜0.
解得10－51＜n ＜10＋51(n ∈N ＋)． 所以3≤n ≤17.
故捕捞3年后开始盈利．
(2)①由(1)，得y ＝－2n 2
＋40n －98.所以平均盈利为
y n ＝－2n －98
n
＋40≤－22n ·98
n
＋40＝12，
当且仅当2n ＝98
n
，即n ＝7时，年平均盈利最大．
故经过7年捕捞后平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110(万元)． ②由(1)，得y ＝－2n 2
＋40n －98＝－2(n －10)2
＋102. 所以当n ＝10时，函数y 的最大值为102.
故经过10年捕捞后盈利总额最大，共盈利102＋8＝110(万元)． 因为两种方案盈利相等，但方案②的时间长， 所以方案①合算．
8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一
个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积是200 m 2
的十字形区域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2
，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2
.
(1)设总造价为S 元，AD 的边长为x m ，试建立S 关于x 的函数解析式； (2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？ 解：(1)设DQ ＝y m ，则x 2＋4xy ＝200，即 y ＝200－x
2
4x
.
所以S ＝4 200x 2
＋210×4xy ＋80×4×12y 2
＝38 000＋4 000x 2
＋400 000x
2
(0＜x ＜102)． (2)由(1)，得S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x
2
≥38 000＋216×108
＝118 000，
当且仅当4 000x 2＝400 000x
2
，即x ＝10时取等号． 因为118 000元＝11.8万元，
所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
一、选择题
1．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A ．10
B ．11
C ．13
D ．21
解析：设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y 万元，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋
2x ＝[x (x ＋1)]万元，所以x 年的年平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋
x
＝x ＋100x
＋
1.5万元．由平均值不等式，得y ＝x ＋100
x
＋1.5
x ·
100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x
，
即x ＝10时取等号．
答案：A
2．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
解析：由题意，得分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t 万元．则
⎩
⎪⎨⎪
⎧
0＜x ＜100，x ∈N ＋，－x ＋1.2x t ≥100t .
解得0＜x ≤503
.
因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16. 答案：B 二、填空题
3．制造一个容积为π2 m 3
的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30
元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，则当圆柱形桶的底面半径为________m 、高为________m 时，所使用的材料成本最低．
解析：设此圆柱形桶的底面半径为r m ，高为h m ，则底面面积为πr 2m 2
，侧面积为2πrh m 2
.
设原料成本为y 元，则y ＝30πr 2
＋40πrh . 因为桶的容积为π2 m 3
，
所以πr 2
h ＝π2，即rh ＝12r
.
所以y ＝30πr 2
＋20r
π＝10π⎝ ⎛⎭
⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π·333，
当且仅当3r 2
＝1r ，即r ＝393时等号成立，此时h ＝3
92.
答案：3
93 39
2
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________.
解析：设底面边长为x ，高为h ，则34x 2h ＝V ，即h ＝43V 3x
2. 所以S 表＝2×34
x 2
＋3xh ＝
32x 2＋3x ·43V 3x 2＝32x 2＋43V
x ＝
32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8V x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4V x ＋4V x ≥
32
×3316V 2
＝33·32V 2， 当且仅当x 2
＝4V x
，即x ＝34V 时取等号．
答案：3
4V 三、解答题
5．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
(1) (2)
解：设正六棱柱容器的底面边长为x (x ＞0)，高为h ，由下图，可得2h ＋3x ＝ 3.
所以h ＝
32(1－x )，V ＝S 底·h ＝6×34
x 2
h ＝ 332x 2·32(1－x )＝23×332·x 2·x 2
·(1－x )≤9⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x 2＋x
2
＋1－x 33＝1
3， 当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝2
3
时等号成立．
所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大，为1
3
.
6．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200 kg ，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？
(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5 t 时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解：(1)设该厂应隔x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元． 因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， 所以x 天饲料的保管与其他费用共 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2
－3x )元． 从而有y 1＝1x
(3x 2
－3x ＋300)＋200×1.8
＝
300
x
＋3x ＋357≥417，
当且仅当300
x
＝3x ，即x ＝10时取等号．
故每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
(2)该厂可以考虑利用此优惠条件．理由如下：若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料．
设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2
元，则
y 2＝1
x
(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85
＝
300
x
＋3x ＋303(x ≥25)．
因为y ′2＝－300
x
2＋3，
所以当x ≥25时，y 2′＞0，即函数y 2在区间[25，＋∞)上是增函数． 则当x ＝25时，函数y 2取得最小值为390. 而390＜417，
故该厂可以考虑利用此优惠条件．。