高考数学二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2)

集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x ﹣2y+m=0的两侧，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣7或 m ＞24 B ．﹣7＜m ＜24 C ．﹣24＜m ＜7 D ．m=7 或 m=24 【答案】B 【解析】
试题分析：两点在直线的两侧，所以将点代入得到
()()()0
624312-33<+⨯--⨯+⨯⨯m m ，即：
()()0
247<-+m m ，解得
247-<<m ．
考点：不等式所表示的平面区域
2．若0)1(3)1()1(2
<-+--+m x m x m 对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ）
A.m ＞1
B.m ＜－1
C.1113-<m
D.m ＞1或11
13-<m 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可知需满足()()()2
10141310m m m m +<⎧⎪
⎨∆=--+⨯-<⎪⎩，解不等式得11
13
-
<m 考点：三个二次关系
3．已知函数2log ,1()1,11x x f x x x
≥⎧⎪
=⎨<⎪-⎩，则不等式()2f x ≤的解集为（ ）
A ．(,2]-∞
B ．[]1,1,42
⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝
⎦
C ．[]1,1,42
⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝
⎦
D ．(][],01,4-∞U
【答案】B 【解析】 【分析】
分类讨论，分段解不等式，然后求并集. 【详解】
解：当1x ≥时，222log log 4x ≤=，解得14x ≤≤； 当1x <时，
121x
≤-，解得12x ≤，
综上所述不等式()2f x ≤的解集为[]1,1,42⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝
⎦
，
故选：B. 【点睛】
本题考查分段函数不等式，注意每段中x 的范围，是基础题.
4．已知集合2{|10},A x x =-< 集合{2,1,0,1}B =--，则()R C A B =I （ ） A ．{}2- B ．{}0
C ．{2,1,1}--
D ．{1,0,1}-
【答案】C 【解析】 【分析】
先由补集的定义求得集合A 的补集，再利用交集的定义求解即可. 【详解】
{}2{|10}|11,A x x x x =-<=-<<Q {|1R A x x ∴=≥ð或}1x ≤-，
又因为{}2,1,0,1B =--,
(){}2,1,1R
A B ⋂=--ð，故选C.
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.
5．设p :2210x x --≤,q : 2(21)(1)0x a x a a --+-≤,若⌝q 是⌝p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．1
,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
先解一元二次不等式得p ，
q,再根据逆否命题与原命题等价得p 是q 的必要不充分条件，最后根据集合之间包含关系求实数a 的取值范围. 【详解】
由2x 2-x-1≤0,得1
2
-≤x ≤1.由x 2-(2a-1)x+a (a-1)≤0,得a-1≤x ≤a.因为⌝q 是⌝p 的必要不充分条件,所以q 是p 的充分不必要条件（或p 是q 的必要不充分条件）
,所以a-1≥1
2
-且a ≤1(等号不能同时取得),得1
2
≤a ≤1. 【点睛】
对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，即利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系解题.
6．设集合{}1012M =-，，，， 2
{|20}N x x x =--<，则M N ⋂=（ ）
A ．{}01，
B ．{}10-，
C ．{}12，
D ．{}12-， 【答案】A
【解析】试题分析：因为{}1012M =-，，，，
2
{|20}{|12}N x x x x x =--<=-<<，所以M N ⋂= {}01，，故选A.
考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.
二、填空题
7．下表所示为,,X Y Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素A 及48000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物,,X Y Z 的质量分别为,,x y z （千克），则混合物的成本最少为________元．
【答案】960 【解析】 【分析】
由已知可以列出不等式组，消去z ，化简不等式组，混合物的成本为P ，求出P 的表达式，根据不等式组画出可行解域，根据线性规划的知识，求出混合物的成本最少值. 【详解】
由题意得40060040044000
80020040048000
100000x y z x y z x y z x y z ++≥⎧⎪++≥⎪⎨++=⎪⎪≥≥≥⎩
，，，消去z 得20240100
y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪+≤⎩．设混合物的成本为
P ，
则12108P x y z =++=80042x y ++，作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
当直线24002
P
y x =--+
过可行域内的点()30,20A ，即30x =千克，20y =千克，50z =千克时，
成本最少，为960P =元．
【点睛】
本题考查了应用线性规划的知识解决现实生活中的问题，解题的关键是列出不等式组，画出可行解域.
8．已知实数x ，y
满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y =+的最小值为
________.
【答案】2. 【解析】
作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
9．命题“∀x ∈R ，x 2−2ax +1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】(−∞,−1]∪[1,+∞) 【解析】 【分析】
由题意，命题∀x ∈R ，x 2−2ax +1>0是假命题，可得出二次函数与x 轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解. 【详解】
由题意，命题∀x ∈R ，x 2−2ax +1>0是假命题，可得出二次函数与x 轴有交点， 又由二次函数的性质，可得Δ≥0即4a 2−4≥0，解得a ≤−1或a ≥1. 【点睛】
本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与x 轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
10．集合{
}
2
340A x ax x =--=的子集只有两个，则a 值为____________. 【答案】0或916
- 【解析】 【分析】
首先根据子集个数判断集合元素个数，转化为2340ax x --=有1个实根求a 的值. 【详解】
若集合有n 个元素，子集个数是2n ，
221n n ∴=⇒=，
即集合A 有1个元素，
2340ax x ∴--=有1个实根，
当0a =时，4
3403
x x --=⇒=-
，满足条件， 当0a ≠时，()()2
3440a ∆=--⨯-=， 解得916
a =-
. 综上，0a =或916
a =-. 故答案为：0或916
- 【点睛】
本题考查根据子集个数求集合元素个数，以及根据元素个数求参数取值范围的问题，属于基础题型，意在考查转化与化归，思考问题的全面性. 11．定义
，若关于的方程
恰有
二个不同的实根，则的值为 ．
【答案】2(√3−1)或0 【解析】
试题分析：根据题意可知min{2√x,|x −2|}={
2√x,0≤x ≤4−2√3,x ≥4+2√3|x −2|,4−2√3<4+2√3
，该
题相当于曲线y = min{2√x,|x −2|}={2√x,0≤x ≤4−2√3,x ≥4+2√3|x −2|,4−2√3<4+2√3
与直线y =
m 有两个交点，当m =0时满足条件，当x =4−2√3时，m =2√3−2=2(√3−1)，所以结合着函数图像得到m 的值为2(√3−1)或0． 考点：分段函数，数形结合．
12．已知π(0,)2x ∈，且函数212sin ()sin2x
f x x
+=的最小值为m ，若函数
2ππ1,42
()π864,04x g x x mx x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-+<≤
⎪⎩
，则不等式g (x )≤1的解集为________________．
【答案】π)2
【解析】 ∵x ∈，∴tan x ＞0，
∴f (x )＝＝
≥
＝
，当且仅当tan x ＝，即x ＝时取等号，因此m ＝.不等式g (x )≤1⇔①＜x ＜或
②
解②得≤x ≤.因此，不等式g (x )≤1的解集为∪＝.
13．已知集合A ={x|x ≥2}，B ={x|x ≥m}，且A ∪B =A ，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】m ≥2 【解析】 试题分析： 考点：
三、解答题
14．已知函数2()(1)f x x a x a =+--． （1）当3a =时，解不等式()0f x <． （2）解不等式()0f x >．
【答案】(1){}|13x x -<<；(2)答案见解析. 【解析】 试题分析：
（1）当3a =时，()()()13f x x x =+-，据此可得不等式()0f x <的解集为
{}|13x x -<<．
（2）分解因式有()()()10f x x x a =+->，分类讨论可得： 当1a =-时，不等式的解集是{}|1x x ≠-；
当1a >-时，不等式的解集为{|1x x <-或}x a >； 当1a <-时，不等式的解集为{|x x a <或}1x >-． 试题解析：
()()()()211f x x a x a x x a =+--=+-，
（1）当3a =时，()()()13f x x x =+-， ∴()0f x <等价于()()130x x +-<， ∴13x -<<，
∴不等式的解集是{}|13x x -<<． （2）∵()()()10f x x x a =+->， ∴当1a =-时，解得1x ≠-， 当1x >-时，解得1x <-或x a >； 当1a <-时，解得x a <或1x >-，
综上所述，当1a =-时，不等式的解集是{}|1x x ≠-； 当1a >-时，不等式的解集为{|1x x <-或}x a >； 当1a <-时，不等式的解集为{|x x a <或}1x >-． 15．（本小题满分10分）设U R =,}{}{13
,24A x x B x x =≤≤=<<，
}{
1
C x a x a =≤≤+（a 为实数）
（Ⅰ）分别求A B I ，()U A C B U ； （Ⅱ）若B C C =I ，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）{x|2<x≤3}，{x|x≤3或x≥4}（Ⅱ）2<a<3 【解析】
试题分析：（Ⅰ）两集合A,B 的交集为两集合的相同的元素构成的集合，B 的补集为全集中不在B 中的元素构成的集合；（Ⅱ）由B C C =I 得到C B ⊆，进而得到关于a 的不等式，求解a 的取值范围 试题解析：(1) A∩B={x|2<x≤3}，
U B={x|x≤2
或x≥4}
A ∪(U B)= {x|x≤3
或x≥4}
(2)∵B∩C=C ∴C ⊆B ∴2<a<a+1<4 ∴2<a<3
考点：集合的交并补运算及子集关系
16．设函数f(x)=√log a (x −2)(0<a <1)的定义域为集合A ，已知集合B={x|1＜x ＜3}，C={x|x≥m}，全集为R ． （1）求（∁R A ）∩B ；
（2）若（A ∪B ）∩C≠∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{x|x≤2或x ＞3}（2）m≤3 【解析】 【详解】
试题分析：（1）首先求定义域得到集合A ，A 的补集为全集中除去A 中元素剩余的元素构成的集合，两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合；（2）首先求得A ∪B ，由（A ∪B ）∩C≠ϕ可知A ∪B 与C 有相同的元素，由此可得到m 的不等式，求得其取值范围
试题解析：（1）因0＜a ＜1，由log a （x ﹣2）≥0得0＜x ﹣2≤1， 所以A={x|2＜x≤3}， C R A={x|x≤2或x ＞3}，
（C R A ）∩B={x|x≤2或x ＞3}∩{x|1＜x ＜3}={x|1＜x≤2}， （2）由（1）知A={x|2＜x≤3}，因B={x|1＜x ＜3}， 所以A ∪B={x|1＜x≤3}， 又C={x|x≥m}，（A ∪B ）∩C≠ϕ， 所以m≤3，
考点：集合运算及函数定义域 17． 已知1
:123
x p --
≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】03m <≤
【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法、一元二次不等式及绝对值不等式的解法。

解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．
所以“q ⌝”：{}
110A x x m x m m =∈>+<->R 或，． 由1
123
x --
≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}
102B x x x =∈><-R 或． 由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知
01203110.m B A m m m >⎧⎪
⇔--⇒<⎨⎪+⎩
，，⊆≥≤≤
故m 的取值范围为03m <≤．
18．已知函数||)(a x x x f -=，R a ∈是常数． （1）若1=a ，方程m x f =)( 有两解，求m 的值．
（2）是否存在常数a ，使12)(+<x x f 对任意)2 , (-∞∈x 恒成立？若存在，求常数
a 的取值范围；若不存在，简要说明理由．
【答案】（1）4
1
；（2）40<<a ． 【解析】
试题分析：（1）代入1=a ，利用零点分段讨论得到分段函数，再由函数的图象进行求解；（2）利用绝对值的代数意义将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值．
试题解析：（1）1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-=.
1,,
1,|1|)(2
2
x x x x x x x x x f ，其图象如下图，当m =
41时，直线m y =与函数)(x f y =的图象有两个交点，即方程m x f =)( 有两解； （2）12)(+<x x f 即12||+<-x a x x （＊）
0=x 时，（＊）等价于10<，对任意R a ∈恒成立．
20<<x 时，
（＊）等价于x a x 12||+<-，即x
x a x x 1
212++<<--，412≥++x x ，等号当且仅当1=x 时成立，01
1)12(2/>+=--x
x x ，x x y 12--=在20<<x 单
调递增，2112-<--x x ，所以42
1
<≤-a ．
0<x 时，（＊）等价于x a x 12||+>-，即x x a 12++>或x
x a 1
2--<，
022)]1
()[(212=-≤-+--=++x
x x x ，
等号当且仅当1=-x 即1-=x 时成立，所
以0>a ，x x y 12-
-=在0<x 时的取值范围为R ，所以x
x a 12--<恒成立的a 的解集为空集φ． 所以，常数a 的取值范围为{}{}40|0|421|<<=>⎭⎬⎫⎩⎨⎧
<≤-a a a a a a R I I
考点：1．分段函数；2．不等式恒成立．
19．求函数11
y x x =+-的值域． 【答案】][(),13,-∞-⋃+∞
【解析】
【分析】
讨论1x >，1x <两种情况，分别利用基本不等式的性质求解即可. 【详解】
当1x >时，()()111111311y x x x x =-+
+≥-⨯=--， 即1x >时，3min y =；
当1x <时，()()1111211111y x x x x ⎡⎤=--+
+≤--⨯=-⎢⎥--⎣⎦， 即1x <时，1max y =-；
函数11
y x x =+
-的值域为][(),13,-∞-⋃+∞. 【点睛】
本题考查了函数值域的求法以及基本不等式的应用，属于中档题.高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、
不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法.要根据题意选择.。