2010.4.20初等数论试卷

初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(m od m bc
D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.
A c b a ),(
B ),(b a c
C c a
D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).
4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).
5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程144219=+y x .
3、解同余式)45(mod 01512≡+x .
4、求⎪⎭⎫ ⎝
⎛563429,其中563是素数. （8分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数
62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.
试卷1答案
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、D.
2、A
3、C
4、A
5、A
6、B 二、填空题(每题3分，共18分)
2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ]
[b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).
5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391]
=[391,17221
136⨯]
=[1768,391] ------------(4分)
= 173911768⨯
=104⨯391
=40664. ------------（4分）
2、求解不定方程144219=+y x .（8分）
解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分） 化简得4873=+y x ； -------------------（1分）
考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分） 所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分） 因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

-------------------（2分）
3、解同余式)45(mod 01512≡+x . （8分）
解 因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3. ----------（1分） 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. ------------（1分）
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分） 即定理4.1中的
100=x . ------（1分）
因此同余式的3个解为
)45(mod 10≡x , ---------（1分）
)45(mod 25)45(mod 345
10≡+
≡x , -----------------（1分）
)45(mod 40)45(mod 345
210≡⨯
+≡x .---------（1分）
4、求⎪⎭⎫ ⎝
⎛563429,其中563是素数. （8分） 解 把
⎪⎭⎫ ⎝⎛563429看成Jacobi 符号,我们有 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭
⎫
⎝⎛---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298
1
4292
1
563.214292---------------（3分）
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----27672767)1(67276742967429)1(429672
1
67.21272
1
429.2167----------------------（2分）
11311327)1(27132
1
13.2127=⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭
⎫
⎝⎛=--,-----------------（2分）
即429是563的平方剩余. ---------------（1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数62
332n n n +
+是整数. (10分) 证明 因为62332n n n +
+=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , ------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）
并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从
)
2)(1(2++n n n 和
)
2)(1(3++n n n 有
)
2)(1(6++n n n ,-----（3分）
即623
32n n n ++是整数. -----（1分）
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）
证明 因为133)1(2
33++=-+n n n n , -------------（3分）
所以只需证明1332
++n n T )5(mod .
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
所以这只需将n=0,±1,±2代入1332
++n n 分别得值1，7，1，19，7.
对于模5, 1332
++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
所以1332
++n n T )5(mod ---------（7分）
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。

--------（1分）
3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. （11分）
证明 设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n , ----------（3分） 如果
22y x n +=, ---------（1分）
则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余,
所以22,y x 只能与0,1同余,
所以
)4(mod 2,1,022≡+y x , ---------（4分）
而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, ---------（2分） 即定理的结论成立. ------（1分）
初等数论考试试卷二
一、单项选择题 1、=),0(b （ ）.
A b
B b -
C b
D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.
A a
B b
C 1
D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7
4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(m od m bc
D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）.
A 有解
B 无解
C 有正数解
D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
7、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≥
D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）.
A 因数
B 倍数
C 相等
D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ).
A -3，-2,-1,0,1,2，3
B -6，-5,-4,-3,-2,-1
C 1,2,3,4,5，6
D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.
A 有解
B 无解
C 无法确定
D 有无限个解
二、填空题 1、有理数
b
a
，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).
3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).
4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.
5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .
6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.
7、+=][x x （ ）.
8、同余式)321
(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ). 11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）
3、求⎪⎭
⎫
⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321
(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?
6、求解不定方程18116=-y x .
7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题
1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）
2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,
,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数
Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数
３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )
Ａ．00,,0,1,2,;a
b
x x t y y t t d d =-=+
=±± Ｂ．00,,0,1,2,
;a
b
x x t y y t t d d =+=
-=±± Ｃ．00,,0,1,2,
;b
a
x x t y y t t d d =+=
-=±± Ｄ．00,,0,1,2,
;b
a
x x t y y t t d
d =-=
-=±±
４．下列各组数中不构成勾股数的是( )
Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )
Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112
2
11mod mod .a b m a b m ≡⇒≡
６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,
,9; Ｂ．1,2,3,,10;
Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +
８．设()4
3
289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )
Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +
++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )
A ．()()
mod ()0mod ,1p f x p χχ∂
≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()
0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂
≡∂>≡一定为的一个解
C ．()()
()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p αα
α≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()
()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p αα
α≡≡≡若为的一个解则有
10．()10(),,0mod ,,n
n i n f x a x a x a a a p n p =+
++≡>/设其中为奇数则同余式
()()0mod f x p ≡的解数：
（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过p
C ．等于p
D ．等于n
11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )
A ．3
B ．11
C ．13
D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则 ( ) A ．()2
mod ,x a m ≡同余式一定有解
B ．()()2
,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;
C ．()2
(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;
D ．()2
(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．
13．()
()2mod 2,3,2,1,x a a α
α≡≥=若同余式有解则解数等于( )
A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )
A ．1，2，4
B ．1，2，4，6，12
C ．1，2，3，4，6，12
D ．无法确定
15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )
A ．322ind =
B ． 323ind =
C ． 350ind =
D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；
C ．不超过x 的质数的个数()x π；
D ．除数函数()a τ；
18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α
对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．
()
()
f a
g a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立
A ．()11μ=
B ．()11μ-=
C ．()21μ=-
D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）
21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N ++
+=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的
充分必要条件是___________________； 23．有理数
a
b
，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________； 24． 设()0
mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为
_________________________；
25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫
⎪⎝⎭
=________________________________________； 27． 若)(
,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；
29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α
的一个原根为_____________；
30．
()48ϕ=_________________________________。

三．简答题：（5分／题×4题＝20分）
31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。

32．“若)(
,1a m =，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。

33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

34．设12
12
k
k
a p p p ααα=为a 的标准分解式，记()S a 为a 的正因数的和，()a τ为a 的正因数的个数，则()S a ＝？ ()a τ＝？ 为什么？
四．计算题。

（7分／题×4题＝28分）
35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

36． 解同余方程组()()()1mod 53mod 62mod 7x y z ≡⎧⎪
≡⎨⎪≡⎩
37．解同余式2x ≡11(mod125) 38．求模13的所有原根。

五、证明题：（7分/题×2题=14分）
39、试证： 2222x y z +=，（x ，y ）=1 y 是偶数的整数解可写成：
22(2)x a b =±- 2y ab = 222z a b =+
这里0a b >>，(),1a b =，并且一为奇数，一为偶数。

40、设a 为正整数，试证：
||()()d a
d a
a
d a d φφ==∑∑
其中
|d a
∑
表示展布在a 的一切正因数上的和式。

六、应用题：（8分）
41、求30！中末尾0的个数。

参考答案
一．单项选择：ABCDD ；DACCB ；DCAAD ；BCBAB 。

二．填空题：21．21；22．()12,,,|n a a a N ；23．(),101b =；24．()
0,0,1,2,,m
x t
t a m +=±±；25．()1p -！
+1()0mod ,p p ≡为素数；26．1； 27．()12
1mod p a
p -≡；28．()()m φφ；29．g 与g p α+中的单数；30．16
三．简答题：31．答：命题正确。

()()2
211211m m +-=++⎡⎤⎣⎦()211m +-⎡⎤⎣⎦
()()22241m m m m =⋅+=+ 而()1m m +必为2的倍数。

86页
32．正确．证明见教材47P 。

33．在摸p 的简化剩余系中与2
2211,2,
,2p -⎛⎫
⎪⎝⎭
同余的数是数p 的平方剩余，()117,182p p =-=，222211,24,39,416≡≡≡≡，222258,62,715,813≡≡≡≡
故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。

34．()()
12
1
1
1
11i i
k
k
i
i
i
i i i p s a p p
p p αα+==-=+++
+=-∏∏
()()()()12111k a τααα=+++
证明：若()f a 为可乘函数，则
()()()()|11i
k
i
i a
i f f p f p αα
α==++∑∏．
分别令()().1f a a f a ==，它们为可乘函数，即得出。

四．计算题
35．解：因为()6,933|75=，故原不定方程有解。

又原方程即 23125x y +=，而易见方程2311x y +=有解
''
0016,1x y ==-。

所以原方程的一个解是00400,25x y ==-
所以，原方程的一切整数解是：（ ）
40031252x t
r t
=+=-- t 是整数
36．解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模
5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：
()421mod5x ≡，()351mod6x ≡，()301mod7x ≡，得
()3mod5x ≡， ()1m o d 6x ≡-，()4mod7x ≡ 因此所给同余方程组的解是：
()()423135133042mod210x ≡⋅⋅+⋅-⋅+⋅⋅
即：()26151mod210x ≡≡
37．解：从同余方程()()2
11mod51mod5x x ≡≡得，
()()()22
2111511mod5,1010mod5t t +≡≡再从得， ()()
2111mod 5,16mod 5t t ≡+≡因此于是， 是()()()22223211mod5,6511mod5t χ≡+≡的解又从
得()
()32230025mod 5,121mod 5t t ≡-≡-因此 即()2
22mod5,65256t x ≡=+⋅=所以 是所给方程的一个解，于是所解为： ()56m o d 125x ≡± 解毕。

38．解：()2
131223,φ==⨯ 122,3g g == 为其质因数 ()
()13136,42
3φφ==，故g 为模13的原根的主要条件是： ()61mod13g ≡/，()41mod13g ≡/
用 g=1，2，……12逐一验证，得：2，6，7，11为模13的原根， 因为()124φ=，故模13原根只有4个，即为所求。

五、证明题：
39．证明：易验证所给的解为原方程的解，因y 为偶数，原方程可化为：
2222z x z x r +-⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
但 ,|,2222z x z x z x z x z +-+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,|,2
222z x z x z x z x x +-+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而，所以（2z x +，2
z x -）=1 由书中引理，我们可假设
2z x +=2a ， 2
z x -=b 2 显然a >b ， (a ，b)=1， 于是 X=2a －b 2， z=2a +2b ，y=2ab
因子为奇数，所以a ，b 一定是一为奇，一为偶，证毕
40．证明：假定1d ，---， k d 为a 的所有正约数，那末
1a d ，---，k
a d 也是a 的所有正约数，于是
()d a d φ∑=()d a a d
φ∑
再因为在a 的完全剩余系中任一数a 的最大公约数 必定是1d ，---， k d 中某一个数，而完全剩余系中与a 的最 大公约数为i d 的数有()i
m d φ ，所以：
()d a m
d φ∑= m 证毕 六．应用题： 41．解：5在30！中的最高次幂=305⎡⎤⎢⎥⎣⎦+2305⎡⎤⎢⎥⎣⎦+3305⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=6+1+0=7
2在30！的最高次幂=302⎡⎤⎢⎥⎣⎦+2302⎡⎤⎢⎥⎣⎦+3302⎡⎤⎢⎥⎣⎦+4302⎡⎤⎢⎥⎣⎦+5302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=15+7+3+1+0=26
10=2×5，故 30！的末尾有7个零。

2010年10月自考全国初等数论参考答案。