高中数学 正弦定理的详细教案 新人教B版必修

§1.1.1 正弦定理
本节重点：正弦定理的应用 本节难点：正弦定理的推导过程 一、新课导入
在初中，我们学习了锐角三角函数，他们是以直角三角形为前提构建的概念，那么，现在有一个Rt ∆ABC （如下图），三个角A,B,C 所对的三条边分别为a,b,c 。

哪位同学能够说出这个直角三角形中角A,B 的三角函数？
（学生回答）sin sin a A c b B c =
= cos cos b
A c
a
B c
==
tan tan a
A b b
B a
=
=
很好，我们先观察sin ,sin a b
A B c c
=
=这两个式子，对其变形可得： ,sin sin a b c c A B
==
又sin sin 901c C c ===，所以sin c
c C
=
因为c 为同一直角三角形中的斜边，所以c 表示的意义是一样的，所以在直角三角形中有
sin sin sin a b c
A B C
==这样的关系式。

这样的关系式在一般的三角形中仍然成立吗？这就是本节课所要研究的内容。

二、新课讲解 1、 新知推导
三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

刚才我们已经知道关系式
sin sin sin a b c
A B C
==在直角三角形中成立，如果还能判断出这个关系式在锐角三角形和钝角三角形中也成立，我们就说这个关系式对一般的三角形都成立。

下面我们来判断一下
sin sin sin a b c
A B C
==在锐角三角形中是否成立。

一个任意的锐角三角形ABC ，三个角A,B,C 所对的三条边分别为a,b,c ，如下图：
B
C
A a b
要求各个角的正弦值，受直角三角形的启发，过A 作BC 边的垂线AD ，构造直角三角形，
可得s i n ,s i n A D
A D
B
C c
b ==，变形可得s i n ,s i A D
c B A D b C ==，所
以s i n s i n s i n s i n
b c
c B b C B C =⇒=
同理，过B 作AC 边的垂线BE ，构造直角三角形，可得sin ,sin BE BE A C c a ==， 变形得sin ,sin BE c A BE a C ==，所以sin sin sin sin a c
c A a C A C
=⇒= 所以在锐角三角形中有sin sin sin a b c
A B C
== 在钝角三角形中同学们可以自己动手判断一下。

（学生动手实践） 可得在钝角三角形中也有sin sin sin a b c
A B C
== 由于
sin sin sin a b c
A B C ==这个关系式只与边和正弦有关，我们称其为正弦定理。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。

用字母表示为
sin sin sin a b c
A B C
==。

2、 新知应用
例：（1）在∆ABC 中，已知c =10，A =105°，C =30°，求b ;
（2）在∆ABC 中，已知a =50，b
=，A =45°，求B 。

（渗透应用大边对大角判断其角的情况）
解：（1）观察正弦定理
sin sin sin a b c
A B C ==可知 sin sin c B
b C
=
1801801053045B A C =--=--=
1
sin 22
B C =
=
10212
b =
= （2）观察正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==可知
sin 2sin 502
b A
B a
=
==
,,60120b a B A B >∴>∴=或
根据这两道例题大家也了解了正弦定理的作用，我们尝试用它来解决一道高考题： （2010 北京 10）在∆ABC 中，若b =1，c
C =
23
π
，则a = （渗透高考题目其实并不难）
上述例题都是根据三角形中的几个元素去求另外的元素。

我们把已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

应用正弦定理一般可以解决以下两类问题：
（1） 两角一边求其余的两边一角 （2）两边一角求其余的两角一边 3、 巩固练习
（1）在∆ABC 中，已知c =10，C =45°，A =75°，求其余的两边一角；
（2）在∆ABC 中，已知a ：b ：c =1:3:5，求代数式2sin sin sin A B
C
-的值。

4、本课小结
（1）正弦定理 （2）解三角形
（3）正弦定理的应用 三、布置作业
（1）教材第三页练习 （2）思考题
证明：
sin sin sin a b c
A B C
===2R ，其中R 为这个三角形的外接圆半径。

四、板书设计。