2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题6 对角互补模型 课件

3
别与AB和BC交于点E，F.
(1)在∠EPF的旋转过程中，试探究PE与PF的数量关系，并说明理由；
解：(1)PF＝2PE. 理由如下：如解图①，
过点P分别作PM⊥AB于点M，
PN⊥BC于点N，
∵∠B＝90°，
∴四边形PMBN为矩形，∴∠MPN＝90°. 第3题解图①
第3题图
∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＋∠EPN＝∠EPN＋∠NPF，
(2)解：由(1)得ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD CD ADE CDG , DE DG
∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，S△ADE＝S△CDG，
∟ ∟
N
M
第4题图
∴C解E题＋C关G键＝点CE＋AE＝AC，
∵证四明边△形ADDEE≌CG△的CD面G积，为得9到，AC＝CE＋CG，从而得到△ACD的面积为9，
∴即S可△解DE得C＋CSE△＋CDCGG＝的S值△D．EC＋S△ADE＝S△ADC＝9，即12 AD·CD＝9， ∵AD＝CD，
∴AD＝CD＝3 2 ，
由旋转的性质可得，BD＝DP，∠BDP＝90°.
P
∵∠BDC＋∠BDA＝90°，∠BDA＋∠ADP＝90°，
∴∠BDC＝∠ADP.
第1题图
在△解C题DB关和键△点ADP中，
将CDDB绕AD点D顺时针旋转90°得到DP，连接AP，证得△CDB≌△ADP， △DBCBDDPBD为P等A腰DP直, 角三角形． ∴△CDB≌△ADP(SAS)，∴∠PAD＝∠BCD，AP＝CB.
∵∠ACB＋∠BCE＝180°，∴∠BCE＝∠ADB.
∟
∵BE⊥AM，BF⊥AN，∴∠BEC＝∠BFD＝90° ∴△BEC≌△BFD(AAS)，∴BC＝BD；
F
第1题图
(2)连接AB，用等式表示AB，AC，AD之间的数量关系，并证明． (2)解：AC＋AD＝ 2 AB. 证明：如解图，将AB绕点B逆时针旋转90°，交AN于点G， ∴∠ABG＝∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠GBD. ∵∠ACB＋∠ADB＝180°，∠ADB＋∠GDB＝180°， ∴∠ACB＝∠GDB. ∵BC＝BD，∴△ABC≌△GBD(ASA)， ∴AB＝BG，AC＝DG，
PE的长．
解：如图，过点P分别作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，
∵四边形ABCD是矩形，PM⊥AD，PN⊥AB，
∴四边形PMAN为矩形，∴∠MPN＝90°，
∵∠DPE＝90°，
M
∟
∴∠DPM＋∠MPE＝∠MPE＋∠EPN， ∴∠DPM＝∠EPN，∴△DPM∽△EPN，
N
第2题图
∟
∴ DP ＝ PM ＝ AN ，
又∵∠BCD＋∠BAD＝180°，∴∠PAD＋∠BAD＝180°，
P
∴P，A，B三点共线．
又∵∠BDP＝90°，DB＝DP，∴BP＝ 2 DB，
∴AP＋AB＝CB＋AB＝7＝ 2 DB. ∴DB＝ 7 2 .
2
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，过点P
作PE⊥PD，交直线AB于点E，已知AB＝4 3，AD＝4.若DP＝3 3 ，求
第1题解图
第1题图
∵点B到∠MAN的两边AM，AN的距离相等， ∴AB是∠MAN的平分线， ∴∠BAG＝ 1 ∠MAN＝45°，
2
∴AG＝ 2AB， ∴AC＋AD＝DG＋AD＝AG＝ 2AB.
第1题解图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，BD⊥AC于点D，以D为顶点作
∠EDF＝90°，分别交AB，BC于点E，F，求 DE 的值．
微专题6
对角互补模型
一阶 模型应用
知识关联 SSA型全等条件是不能证明三角形全等的． 情况一：如图①，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E；若∠C＝∠F，则 △ABC≌△DEF.
图①
情况二：如图②，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E；若∠C不等于∠F， 则△ABC与△DEF不全等，两个三角形能拼成等腰△ABE.
∴∠BED＋∠BFD＝180°.
∵∠BFD＋∠DFH＝180°，
∴∠DEG＝∠DFH，
∴△DEG∽△DFH，
∴ DE
DF
＝ DG ＝
DH
3.
∟
G
H
第2题图
∟
二阶 综合提升
1. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，
连接BD.若BC＝2，AB＝5，求BD的长．
解：如图，将BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DP，连接AP，
∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF， EN⊥CD于点N，证得
∴∠DEN＝∠MEF，
△DEN≌△FEM；
在△DEN和△FEM中，
DNE FME
EN
EM
,
DEN FEM
N
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∟ ∟
∴ED＝EF；
M
第4题图
(2)连接CG，若四边形DECG的面积为9，求CE＋CG的值．
∴∠MPE＝∠NPF.
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△MPE∽△NPF，
∴ PE ＝ PM .
PF PN
∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠MAP＝∠NCP＝45°. 第3题解图①
又∵∠AMP＝∠CNP＝90°，∴△AMP∽△CNP，∴ PE ＝ PM ＝ AP.
∵ ∴ APPE＝＝13
AC，∴ PM ＝ 1
AP ＝
CP
，
1 2
，
PF PN CP
PF PN 2
∴即PF＝2PE；
(2)若AC＝6，当点F与点B重合时，求AE的长．
(2)当点F与点B重合时，如解图②，过点P作PG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是正方形，AP＝
1 3
AC，AC＝6，
∴∠ACB＝45°，PC＝ 2 AC＝4，AB＝BC＝ 2 AC＝3
DF
解：如图，过点D分别作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，
在Rt△ABC中，∠C＝60°，BD⊥AC，
∴∠DBC＝30°，
∴ DH ＝tan∠DBC＝ 3
∟
∴四边形GBHD为矩形， ∴GD＝BH，∴ DH ＝ 3 .
DG 3
H
第2题图
∵∠EDF＝∠ABC＝90°，
∴AC＝ AD2 CD2 ＝ (3 2)2 (3 2)2＝6，
即CE＋CG＝6.
N
∟ ∟
M
第4题图
∟ ∟
∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∠CEN＝90°－∠ECN＝45°，
N
∴四边形EMCN为矩形，∠CEN＝∠ECN，∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，∴EM＝EN，∠MEN＝90°，
M
第4题图
∵四边形DEFG是矩形，
解题关键点
∴∠DEF＝∠MEN＝90°，
过点E分别作EM⊥BC于点M，
图②
模型分析 模型特点：如图，∠ABC＋∠ADC＝180°，且∠ABC＝∠ADC＝90°.
辅助线作法：过点D分别作AB，BC的垂线 结论：△DCF∽△DAE
当AD＝CD时，辅助线也可以用如下方法： 将BD绕点D逆时针旋转与∠ADC相同的度数得到线段ED 结论： ①△ABD≌△CED； ②AB＋BC＝ 2 BD
∴PG＝CG＝
2 PC＝2
2
3
2，
2
2，
∴BG＝BC－CG＝3 2－2 2＝ 2 ，
∴在Rt△PBG中，
PF＝PB＝ PG2 BG2 ＝ （2 2）2 （ 2）2 ＝ 10 .
第3题图
第3题解图②
由(1)知，PF＝2PE，
∴PE＝ 1 PF＝ 10 .
2
2
∵∠EPF＝90°，
∴在Rt△PEB中，BE＝ PB2 PE2 ＝ （ ∴AE＝AB－BE＝3 2 － 5 2 ＝ 2 .
10）2 （
10 ）2＝ 5 2 ，
2
2
2
2
第3题解图②
4. 如图，已知四边形ABCD为正方形，点E在对角线AC上，连接DE，过
点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.
(1)求证：ED＝EF；
(1)证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
EP PN PN
∵PN∥BC，AB＝4 3 ，AD＝BC＝4，
∴ AN ＝ AB＝ 4 3 ＝ 3 ，∴ DP ＝ 3 ，
PN CB 4
EP
∵DP＝3 3 ，
∴PE＝3.
∟
M
N
第2题图
∟
3. 如图，在正方形ABCD中，∠EPF的顶点P在对角线AC上，且∠EPF＝
90°，AP＝ 1 AC，将∠EPF绕点P旋转，旋转过程中，∠EPF的两边分
1. 如图，∠MAN＝90°，点B是∠MAN内一点，且到AM，AN的距离相
等．过点B作射线BC交AM于点C，将射线BC绕点B逆时针旋转90°，交
AN于点D.
(1)求证：BC＝BD； (1)证明：如图，过点B分别作BE⊥AM于点E，BF⊥AN
于点F，则BE＝BF.
∟
∵∠MAN＝∠CBD＝90°，∴∠ACB＋∠ADB＝180°. E