永年区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

永年区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． α是第四象限角，，则sin α=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）
A ．
7
25
B ．7
25
-
C. 7
25
±
D ．
2425
4． 已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（
）
A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定
B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定
C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
5． 对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
6． 已知空间四边形，、分别是、的中点，且，，则（ ）
ABCD M N AB CD 4AC =6BD =A ．
B ．
C ．
D ．15MN <<210MN <<15MN ≤≤25
MN <<7． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A 、 B 、
28
+30+C 、
D 、
56+60+8． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88
，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（
）
m n +A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方
程为（ ）A ．y=±
x B ．y=±
x C ．y=±x
D ．y=±x
10．已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．4
11．已知等差数列{a n }中，a n =4n ﹣3，则首项a 1和公差d 的值分别为（ ）
A ．1，3
B ．﹣3，4
C ．1，4
D ．1，212．已知函数f （x ）=x 2﹣，则函数y=f （x ）的大致图象是（
）
A ．
B ．
C ．D
．
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两
()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->个零点，则正实数的值为______．
a 14．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆
恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
15． 设函数，．有下列四个命题：
()x
f x e =()ln
g x x m =+①若对任意，关于的不等式恒成立，则；[1,2]x ∈x ()()f x g x >m e <②若存在，使得不等式成立，则；0[1,2]x ∈00()()f x g x >2ln 2m e <-③若对任意及任意，不等式恒成立，则；1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈12()()f x g x >ln 22
e
m <
-④若对任意，存在，使得不等式成立，则．1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈12()()f x g x >m e <其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能
力，考查分类整合思想.16．在（2x+
）6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
17．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .
18．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ．
三、解答题
19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ﹣sinC （cosB+sinB ）=0．
（1）求角C 的大小；
（2）若c=2，且△ABC 的面积为，求a ，b 的值．
20．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2csinA=a ．
（1）求角C 的大小；
（2）若c=2，a 2+b 2=6，求△ABC 的面积．
21．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 丄侧面ABB 1A 1，AC=AA 1=AB ，∠AA 1C 1=60°，AB ⊥AA 1
，H 为棱CC 1的中点，D 在棱BB 1上，且A 1D 丄平面AB 1H ．（Ⅰ）求证：D 为BB 1的中点；（Ⅱ）求二面角C 1﹣A 1D ﹣A 的余弦值．
22．（本小题满分12分）111]
在如图所示的几何体中，是的中点，.D AC DB EF //（1）已知，，求证：平面； BC AB =CF AF =⊥AC BEF （2）已知分别是和的中点，求证： 平面.
H G 、EC FB //GH ABC
23．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并
按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明）
（注：，其中为数据的平均数）
24．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
永年区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵α是第四象限角，∴sin α=，
故选B ．
【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．　
2． 【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图
【试题解析】由题知：所以m 可以取：0，1，2．故答案为：C 3． 【答案】A 【解析】
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化.4． 【答案】C
【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，
∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故选：C ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．　
5． 【答案】C
【解析】解：对任意的实数k ，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x 2+y 2=2内
∴对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C ．　
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：取的中点，连接，，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之BC E ,ME NE 2,3ME NE ==差小于第三边，所以，故选A ．
15MN <<
考点：点、线、面之间的距离的计算．1
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题．7． 【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
10,10,10,S S S S ====后右左底
因此该几何体表面积，故选B ．30S =+8． 【答案】C
【解析】由题意，得甲组中，解得．乙组中，
78888486929095
887
m +++++++=3m =888992<<所以，所以，故选C ．
9n =12m n +=9． 【答案】A
【解析】解：∵点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣
=1（a ＞0，b ＞0）上，
∴
，①
又∵双曲线C 的焦距为12，∴12=2
，即a 2+b 2=36，②
联立①、②，可得a2=16，b2=20，
∴渐近线方程为：y=±x=±x，
故选：A．
【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：分两类讨论，过程如下：
①当a＞1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是增函数，
∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递增，
∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，
∴log a2=﹣1，得a=，舍去；
②当0＜a＜1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是减函数，
∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递减，
∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，
∴log a2=﹣1，得a=，符合题意；
故选A．
11．【答案】C
【解析】解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，
∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．
∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．
∴首项a1和公差d的值分别为1，4．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项．
∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最小值为
∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，
因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项
故选A
二、填空题
13．【答案】e
【解析】考查函数，其余条件均不变，则：
()()
20{x x x f x ax lnx
+≤=-当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有有且只有一个实根。

ln x
a x =
令，()()2
ln 1ln ,'x x
g x g x x x
-==当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减;当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
，1
e
如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象
只有一个交点时,则.1a e
=
回归原问题，则原问题中.
a e =
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14．【答案】　[1，5）∪（5，+∞）　．
【解析】解：整理直线方程得y ﹣1=kx ，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，由于该点在y 轴上，而该椭圆关于原点对称，故只需要令x=0有5y 2=5m 得到y 2=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y ≥1即是y 2≥1
得到m ≥1
∵椭圆方程中，m ≠5
m 的范围是[1，5）∪（5，+∞）
故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．
15．【答案】①②④
【解析】
16．【答案】　240　
【解析】解：由（2x+）6，得
=．
由6﹣3r=0，得r=2．
∴常数项等于．
故答案为：240．
17．【答案】12
【解析】
考点：分层抽样
18．【答案】　2　．
【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2，
∴=，
∴S2=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2，
故答案为2；
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数，是一道基础题；
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0，…（2分）
即sinB（cosC﹣sinC）=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=，故C=．…（6分）
（2）∵ab×=，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a2+b2﹣2ab×=4，
∴a2+b2=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
20．【答案】
【解析】（本小题满分10分）
解：（1）∵，
∴，…2分
在锐角△ABC中，，…3分
故sinA≠0，
∴，．…5分
（2）∵，…6分
∴，即ab=2，…8分
∴．…10分
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：连接AC1，
∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，
∴三角形ACC1是正三角形，
∵H是CC1的中点，
∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，
∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，
∴AH⊥ABB1A1，
以A为原点，建立空间直角坐标系如图，
设AB=，则AA1=2，
则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），
则=（，2，0），=（，t﹣2，0），
∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．
∴A1D丄AB1，
则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，
即D（，1，0），
∴D为BB1的中点；
（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），
设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），
则由•=x﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，
令x=3，则y=3，z=，=（3，3，），
显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），
则cos＜，＞===，
即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．
【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．　
22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】
试题分析：（1）根据,所以平面就是平面,连接DF,AC 是等腰三角形ABC 和ACF 的公DB EF //BEF BDEF 共底边，点D 是AC 的中点，所以,,即证得平面的条件；（2）要证明线面BD AC ⊥DF AC ⊥⊥AC BEF 平行，可先证明面面平行，取的中点为，连接，，根据中位线证明平面平面,即可证FC GI HI //HGI ABC 明结论.
试题解析：证明：（1）∵，∴与确定平面.
DB EF //EF DB BDEF 如图①，连结. ∵，是的中点，∴.同理可得.DF CF AF =D AC AC DF ⊥AC BD ⊥又，平面，∴平面，即平面.
D DF BD =、⊂DF BD 、BDEF ⊥AC BDEF ⊥AC BEF
考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行.
23．【答案】
【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型
【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，
所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有
人．
（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在”为事件，
记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，
则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：，，，，，，，，，．
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
因此事件的概率．
（Ⅲ）a，b，c的值分别是为，，．
24．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，
∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，
又|F1F2|=2c=10，
∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．。