北师大版江西省九江市实验中学高中数学 含有绝对值的不等式 教案 选修4-5

江西省九江市实验中学高中数学含有绝对值的不等式教案选修4-5
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）
b
a
b
a+
≥
+
（2）
b
a
b
a+
≤
-
（3）
b
a
b
a⋅
=
⋅
（4）
)0
(≠
=b
b
a
b
a
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质
b
a
b
a⋅
=
⋅
和
)0
(≠
=b
b
a
b
a
可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推
出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。

因此，只要能够证明
b
a
b
a+
≥
+
对
于任意实数都成立即可。

我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a
哪个大？
显然
a
a≥
，当且仅当0
≥
a时等号成立（即在0
≥
a时，等号成立。

在0
<
a时，等号不
成立）。

同样，
.a
a-
≥
当且仅当0
≤
a时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用
a
a+
≥
、
a
a-
≥
及绝对值的和的性质。

二、典型例题：
例1、证明（1）
b
a
b
a+
≥
+
，（2）
b
a
b
a-
≥
+。

证明（1）如果
,0
≥
+b
a
那么
.b
a
b
a+
=
+
所以
.b
a
b
a
b
a+
=
+
≥
+
如果
,0
<
+b
a
那么
).
(b
a
b
a+
-
=
+
所以
b
a
b
a
b
a
b
a+
=
+
-
=
-
+
-
≥
+)
(
)
(
（2）根据（1）的结果，有
b
b
a
b
b
a-
+
≥
-
+
+
，就是，
a
b
b
a≥
+
+。

所以，
b
a
b
a-
≥
+。

例2、证明
b
a
b
a
b
a+
≤
-
≤
-。

例3、证明
c
b c a b a -+-≤-。

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式
b
a b a +≥+的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

例4、已知 2,2c b y c a x <-<
-，求证 .)()(c b a y x <+-+
证明
)()()()(b y a x b a y x -+-=+-+
b
y a x -+-≤ （1）
2,2c
b y
c a x <
-<- ， ∴
c c
c b y a x =+<
-+-22 （2）
由（1），（2）得：
c
b a y x <+-+)()(
例5、已知
.6,4a y a x <<
求证：a y x <-32。

证明
6,4a y a x <<
，∴23,22a y a x <<， 由例1及上式，
a a
a y x y x =+<
+≤-223232。

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。

但这种写法，只能用于不
等号方向相同的不等式。

三、小结：
四、练习：
1、已知
.
2,2c
b B
c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。

2、已知
.
6,4c
b y
c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。

五、作业：。