北京市第四中学2021年高考数学的导数及其应用多选题及答案

一、导数及其应用多选题
1．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；
B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；
C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；
D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】
当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f '
'，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线
的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''
><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0x
f x e a x =+=，当
0a ≠时，分离参数可得1sin x x a
e -=
，设
sin (),(,)x
x
g x x e π=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】
A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，
0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；
B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202
f π
'-
=>
，
3344
33()cos 44
2f e e ππππ
--
⎛⎫
'-=+-
=- ⎪⎝⎭
，又2
33442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭
，即34e π>，则3()04f π'-
<，所以存在03,4
2x ππ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在
()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0
x
，因
为0
00000()sin sin cos 4x f x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝
⎭，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以
03,44x π
ππ⎛
⎫
-
∈-- ⎪
⎝⎭
()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x x
a e
-
=，设sin (),(,)x x
g x x e
π=∈-+∞
，则cos sin 4()x x
x x x g x e e π⎛
⎫- ⎪-⎝⎭'==，令
()0g x '=，解得,,14x k k Z k π
π=+
∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤
∈++⎢⎥⎣⎦
时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤
∈++⎢⎥⎣⎦
时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，
()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-
，
()g x 取得极小值，又35 (44)
g g π
π
⎛⎫⎛⎫
-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以(
)3434
2g x g e π
π⎛⎫
≥-=- ⎪⎝⎭
，所以当24
x k π
π=+
，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,
,...44x ππ
=
，
()g x 取得极大值，又9 (44)
g g ππ
⎛⎫⎛⎫>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 (
)4
42g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞
时，(
)3442
2g x e π
π-≤≤
，当34
12e a π-<-
，即
4
a e >()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.
当4
12a
e π
-
=，即4a e π
=时，1=-y a 与()sin x x
g x e =的图象只有一个交点，所以
存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
2．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数y
f x
x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】
对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f x
x 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；
对于C ，参变分离得到22ln x
k x x <
+，构造函数()22ln x g x x x
=+，利用导数判断函数
()g x 的最小值的情况；
对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()2
1
1x t t x =
>，由()()12f x f x =得21222
ln t x x t t
-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构
造函数即得． 【详解】
A ：函数()f x 的定义域为0,
，()22212
x f x x x x
-'=-
+=，当()0,2x ∈时，0f x
，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增，所以
2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222
212
10x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在
0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数y
f x
x 有且只有1个零点，故B 正确．
C ：若()f x kx >，即
2
ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x
=+，则()3
4ln x x x
g x x
-+-'=
．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x
，所以()22ln x g x x x
=
+在0,上单调递减，
函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得1212
22
ln ln x x x x +=+， ∴
211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()111
21ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t
-==
，所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->．
∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,
上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以
2224ln 0ln t t t
t t
-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.
3．设函数()ln x
f x x
=
，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立
C ．若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥
D ．若函数()()2
h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈
【答案】AC 【分析】
利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()2
2s x g x ax
=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x
m x
+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()ln x f x x =
的定义域为()0,∞+，则()2
1ln x
f x x -'=
. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.
所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；
对于B 选项，由于函数()ln x
f x x
=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即
ln ln 44π
π
>
，又
ln 41ln 213ln 22
043236
--=-=>， 所以，
ln ln 41
43
π
π
>
>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，
可得()()2
2
112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2
2
22ln s x g x ax x x ax =-=-，
则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，
()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，
即1ln x
a x
+≥
对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=
，其中0x >，()2ln x
t x x
'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '
<，此时函数()t x 单调递减.
所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；
对于D 选项，()()2
2
ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，
由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x
m x
+=
， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1
x e
>
时，()0t x >，如下图所示：
当021m <<时，即当1
02
m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.
所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
4．已知2()ln f x x x =，2
()()f x g x x
'=，()'
f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点
C ．当120x x e <<< 时，22
1212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32
m ≥
D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】
求出导函数()'
f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()
g x ，再利用导数确定
()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数
2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()
h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】
()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，
得121
2ln 10ln 2
x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确
2ln 1
()x g x x
+=
，
212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得1
21ln 2
x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，在1
2
e ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上为增函数． 当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >
()g x ∴的大致图象为
()g x ∴只有一个零点，故B 错．
记2
()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，
()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立
22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥3
2
m ∴≥
． 故C 正确．
2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，
()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，
()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个
交点．
()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，
()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得32
x e
-=，
当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．
()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，
332
203()21202H x e e -
-⎡⎤
⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
0(0,)x x ∈时，3
22ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，
()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：
直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．
5．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】
根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'
f x 在
(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42
x ππ
∈-
-，使
0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.
【详解】
由已知()sin ,(,)x
f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin x f x e x ''=-，
(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，
()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，
又3423()0,()0,(0)2042
f e f e f ππππ--'''-=<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42
x ππ
∈-
-，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，
所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，
又()00f e
π
π--=+>，000000()sin sin cos )04
x f x e x x x x π
=+=-=-<，
(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.
故选：ABD. 【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
6．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1
f x x
'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e >
B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
C ．()1,x e ∀∈，()2f x <
D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
- 【答案】BCD 【分析】
令()()ln F x f x x =-，求导得：'1
()()0F x f x x
'
=-
<，可得函数的单调性，再结合
(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】
令()()ln F x f x x =-，∴'1
()()0F x f x x
'
=-
<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，
对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110e
F F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，
(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；
对D ，111,1,
,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()1ln ln f x x f x x ⎛⎫
⇒->+ ⎪⎝⎭
1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫
∈∴∈- ⎪⎝⎭，
1()2f x f x ⎛⎫
∴->- ⎪⎝⎭
1()20f x f x ⎛⎫
⇒-
+> ⎪⎝⎭
，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】
根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.
7．已知函数()sin x
f x x
=
，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]
0,π上单调递减
B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅
C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[
)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减
【答案】ACD 【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减；当,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]
0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得
12
12
sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==，进而作出判断；
对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin x
g x f x x
''=
=，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]
0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.
【详解】
()2
cos sin x x x
f x x
-'=
， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos x
x x
<
，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
所以()f x 在区间(]
0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以
12
12
sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以
sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==， 所以当(]0,x π∈时，()[
)0,1f x ∈，故选项C 正确；
对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，
所以()()sin x
g x f x x
''=
=，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]
0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]
0,π上单调递减，故选项D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin x
f x x
=
的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
8．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，
()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x
f x x
=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）
A ．y x =
B ．12
y x =-
C ．3e
x y =
D ．1122
y x =
- 【答案】AB 【分析】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =
，可得()2
1ln x
f x x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1
x g x e
-=，可得()1
e
0x g x -'=>，()g x 单调递增，
因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，
根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，
直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ，
根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0
2
1ln x k x -=，
又由斜002000ln 0y x k x x -=
=-，可得00
21
00
ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以2
1ln 1
2()
e k e e -=
=，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x
y e
=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122
y x =
-过点()1,0，斜率为1
2，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，
明显不满足，排除D. 故选：AB.
【点睛】
对于函数的新定义试题：
（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；
（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.
9．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x
⎧<⎪
=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是
（ ）
A ．点(0,0)是函数()f x 的零点
B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >
C ．函数()f x 的值域为)
1e ,-⎡-+∞⎣
D ．若关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
222e e
,(,)e 82
⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC
【分析】
根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】
对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)x
f x x e '
=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，
当1x >时，4
(3)
()x e x f x x -'=，
当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；
()y f x =图像
所以，当13x <<时， 3
()27
e f x e << ，综上可得，选项B 正确；
对于选项C ，min 1
()(1)f x f e
=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根
⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根
⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x x
x e x g x e x x
⎧<⎪=⎨≥⎪⎩
当1x <时，/
2
()(2)=+x
g x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：
x
2x <-
2-
20x -<<
0 01x << /()g x +
-
+
()g x
极大值 极小值
极大值2(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3
(2)
'()e x g x x -=
当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 1
12x <<
2 2x >
/()g x
-
+
()g x
e
极小值
极小值(2)4
e g =，
()y g x =图像
综上可得，2
2424
<<e a e 或2a e >，
a 的取值范围是222e e
,(,)e 82
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.
故选：BC 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.
10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111
a a e c
b d --==-，其中e 是自然对数的底数，则
()()
22
a c
b d -+-的值可能是（ ） A ．7 B ．8
C ．9
D ．10
【答案】BCD 【分析】
由题中所给的等式，分别构造函数()2x
f x x e =-和()2
g x x =-+，则
()()
22
a c
b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N
c
d 的距离的
平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.
【详解】
由212a a a e b a e b
-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x
f x e '∴=-
由
1121
c
d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()2
2
a c
b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N
c
d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210x
f x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -
所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为2
8=的距离为(),M a b 与
(),N c d 的距离的平方的最小值.
故选：BCD. 【点睛】
本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。