【配套K12】[学习]2018年高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1.2 一般形式的柯西不等式

活页作业(九) 一般形式的柯西不等式
一、选择题
1．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9
z
的最小值为( )
A ．24
B ．30
C ．36
D ．48
解析：∵(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥
⎝
⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2
＝36，
∴1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3＝1
6时等号成立． 答案：C
2．设实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，且a 2
＋b 2
＋c 2
＋
d 2＋
e 2＝16，则e 的最大值是( )
A ．16
5
B ．516
C ．5
D ．16
解析：由已知，得a ＋b ＋c ＋d ＝8－e ，a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2
＝16－e 2
.所以(8－e )2
＝(a ＋b ＋c ＋d )2
≤(a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2
)(12
＋12
＋12
＋12
)＝4(16－e 2
)，当且仅当a ＝b ＝
c ＝
d ＝2或65
时等号成立．
化简，得5e 2
－16e ≤0，即0≤e ≤165.
所以e max ＝16
5.
答案：A
3．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2
＋b 2
＋c 2
＝10，x 2
＋y 2
＋z 2
＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则
a ＋
b ＋c
x ＋y ＋z
的值为( )
A ．1
4 B ．1
3 C ．1
2
D ．34
解析：由题意，可得x 2
＋y 2
＋z 2
＝2ax ＋2by ＋2cz .上式与a 2
＋b 2
＋c 2
＝10相加，可得(x
－a )2
＋(y －b )2
＋
(z －c )2
＝10.不妨令⎩⎪⎨⎪⎧
x －a ＝a ，y －b ＝b ，
z －c ＝c ，
则x ＋y ＋
z ＝2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝1
2
.
答案：C
4．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝
a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n
1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
，则P ，Q 之间
的大小关系为( )
A ．P >Q
B ．P ≥Q
C ．P <Q
D ．P ≤Q
解析：∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 1＋1
a 2＋…＋1a n ≥
(1＋1＋…＋1n 个)2＝n 2
， ∴
a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n
1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
，
即P ≥Q . 答案：B 二、填空题
5．设a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋4c 2
＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为________. 解析：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴(a ＋b ＋4c 2
)⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤12＋12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝[(a )2＋(b )2
＋(2c )2
]⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤12＋12
＋⎝
⎛⎭⎪⎫122≥(a ＋b ＋2c )2
，当且仅当a 1＝b 1＝ 2c 12时取等号．∴(a ＋b ＋2c )2
≤1×52＝52，即a ＋b ＋2c ≤102. 答案：
10
2
6．已知x 2
＋y 2
＋z 2
＝14，则|x ＋2y ＋3z |的最大值是________.
解析：∵(x ＋2y ＋3z )2
≤(12
＋22
＋32
)(x 2
＋y 2
＋z 2
)＝14(x 2
＋y 2
＋z 2
)＝142
，当且仅当x 1＝
y
2＝z
3时取等号，∴|x ＋2y ＋3z |≤14.
答案：14 三、解答题
7．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求x 2
＋4y 2
＋z 2
的最小值． 解：由柯西不等式，得
(x 2
＋4y 2
＋z 2
)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2
. ∵x ＋2y ＋z ＝1，
∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2
≥13
，
当且仅当 x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝1
3时等号成立．
故x 2＋4y 2＋z 2
的最小值为13
.
8．已知a 1，a 2，…，a n 是平面凸n 边形的内角的弧度数，求证：1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
≥
n 2n －
π
.
证明：由凸多边形的内角和定理，得
a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n －2)π，
∴(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 1＋1
a 2
＋…＋1a n ≥
(1＋1＋…＋1n 个1)2
＝n 2
. ∴1
a 1＋1
a 2＋…＋1
a n
≥n 2n －
π
，
当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝
n －π
n
时取等号．
一、选择题
1．已知a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( )
A ．最大值9
B ．最小值9
C ．最大值3
D ．最小值3
解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫
a b 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫ b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ c a 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫ b a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ c b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a c 2≥⎝
⎛⎭
⎪⎫ a b
· b a
＋ b c
· c b
＋ c a
· a c 2＝9.
答案：B
2．设非负实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，
则y ＝
22－a 1＋22－a 2＋…＋22－a n
－n 的最小值为( ) A ．n 2n －1
B ．n
2n ＋1
C ．n ＋12n －1
D ．2n 2
2n －1
解析：因为(2－a 1)＋(2－a 2)＋…＋(2－a n ) ＝2n －(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2n －1， 所以(2n －1)⎝
⎛⎭⎪⎫12－a 1＋12－a 2
＋…＋12－a n
＝[(2－a 1)＋(2－a 2)＋…＋(2－a n )]
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－a 1＋12－a 2
＋…＋12－a n ≥
⎝
⎛
2－a 1·12－a 1＋2－a 2·12－a 2＋…＋2－a n ·
⎭
⎪⎫1
2－a n 2＝n 2. 所以y ＋n ≥2n 2
2n －1，即y ≥2n 2
2n －1－n ＝n
2n －1，
等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1
n
时成立．
从而y 有最小值n
2n －1.
答案：A 三、填空题
3．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ＋1c 2
的最小值是
________.
解析：原式＝13
(12＋12＋12
)
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2
＝ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2
＝ 13⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
1＋a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥
13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 22＝
13×(1＋32)2
＝1003
， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时取等号．
答案：1003
4．边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为1
4，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t
＝1a ＋1b ＋1
c
，则s 与t 的大小关系是________.
解析：S ＝
abc 4R ＝abc 4＝1
4
，即abc ＝1， 所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，则t 2
＝(ab ＋bc ＋ca )·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥(a ＋b ＋c )2＝s 2，
当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 因为a >0，b >0，c >0，所以s ≤t . 答案：s ≤t 三、解答题
5．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证： (a 2
＋b 2
＋c 2
)⎝
⎛⎭
⎪
⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.
证明：由正弦定理，得sin A ＝a
2R .
所以1sin 2A ＝4R 2
a
2.
同理1sin 2B ＝4R 2
b 2，1sin 2C ＝4R 2
c 2.
由柯西不等式，可得
左边＝(a 2
＋b 2
＋c 2
)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2
a
2＋4R 2
b 2＋4R 2
c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2
. 原不等式得证． 6．设x ，y ，z ∈R ，且
x －
2
16
＋
y ＋
2
5
＋
z －
2
4
＝1.
求x ＋y ＋z 的最大值和最小值． 解：根据柯西不等式，知
[42
＋(5)2
＋22
]⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝
⎛⎭⎪⎫z －322≥ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4·x －14＋5·y ＋25＋2·z －322
， 当且仅当
x －116
＝
y ＋25＝
z －3
4
，
即x ＝215，y ＝－1，z ＝195或x ＝－115，y ＝－3，z ＝11
5时等号成立．
∴25×1≥(x ＋y ＋z －2)2
， 即|x ＋y ＋z －2|≤5. ∴－3≤x ＋y ＋z ≤7.
故x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.。