原创1：3.1.1 函数的概念（一）
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定义域为{0，1，2}，值域为{0, 2，4}
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应
关系f 把 R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R,值域 B {y| 4ac b2 } 4a
是B.当a＞0时,
思考： f (x)与f (a) (a为常数)的区别和联系. 当a为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对应的函数值，是一个常数. 思考：在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数 的定义域，集合B是函数的值域吗？
例如：A {0,1, 2} , B {0, 2, 4,5} , f : A B ，f (x) 2x
1. A，B是非空的数集. 2.任意性和唯一性. 3.确定的对应关系，对应关系可以是解析式，图像，表格.
思考：“确定的的对应关系 f ”是什么意思？ f 可以看作是对“x”施加的某种运算或法则 例如：f (x) x2，f 就是对自变量x求平方.
思考：如何理解“ y f (x)”？ 符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示 y等于f与x的乘积.不同函数中的f表示的含义不一样.
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念（第一课时）
学习目标： 1.从集合与对应的观点出发，加深对函数概念的理解； 2.理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则； 3.理解函数符号的含义. 重点及难点：函数的概念及y=f(x)的理解与深化.
知识点回顾：初中阶段我们都学过哪些函数呢？
根据实例一的条件，我们不能判断列车半小时后的运行情况，所以 上述说法不正确，其原因是没有关注到t的变化范围.
时间t的变化范围是数集A t 0 t 0.5
路程S的变化范围是数集B S 0 S 175
对于数集A中的任意一个时刻t,按照对应关系S=350t,在数集S
中都有唯一确定的路程S和它对应.
探究新知 实例一，实例二，实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？ 实例一是用解析式表示对应关系， 实例二是用图象表示对应关系， 实例三是用表格表示对应关系.
以上三个实例有什么共同点？ (1)都有两个非空数集A，B； (2)两个数集间都有一种确定的对应关系； (3)对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
课堂小结 1.函数的概念. 2. 函数符号y=f(x). 3. 函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系. 4.函数三要素：(1) 定义域 (2) 对应法则 (3) 值域
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恩格尔系数r(%) 36.7 36.8 38.1 35.7 35.2 33.5 33.8 29.9 29.4 28.6
思考：你认为按照表格给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的 函数吗？
A={2006,2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015} B={36.7，36.8，38.1，35.7，35.2，33.5，33.8，29.9，29.4，28.6} A中的任意一个时间t,按照表格,在数集B中都有唯一确定的 系数和它对应.
归纳概括 满足以上共同点的两个数集的对应关系我们把它叫做什么呢？
函数的定义 设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x) ,x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相 对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意
创设情境：实例一 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时，这 段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h） 的关系可以表示为
S=350t.
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一 确定的值与之对应，所以S是t的函数. 思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就 前进了350km.你认为这个说法正确吗？
函数三要素： (1) 定义域 (2) 对应法则 (3) 值域
1.下列说法中,不正确的是( B ) A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应. B.函数的定义域和值域一定是无限集合. C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定. D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.
2.对于函数y=f(x),以下说法正确的有( B ) ①y是x的函数； ②对于不同的x, y的值也不同； ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量； ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.给出四个命题中,正确有( D ) ①函数就是定义域到值域的对应关系； ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素； ③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而变化,所以f(0)=5也成立； ④定义域和对应关系确定后,函数值也就确定了.
一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
反比例函数：y
k x
(k为常数且k≠0)
复习回顾：初中学习的函数的定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， 那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.
创设情境：实例三 国际上常用恩格尔系数r（r=食物支出金额/总支出金额）反映一个 地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表 是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城 镇居民的生活质量越来越高.
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是R,值域是B={y | y≤25}.对应 关系f把R中的任意一个数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x).如果对x的取值 范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10},那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝x(10-x).其中,x的取值范围 是A={x｜0<x<10},y的取值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长方 形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).
创设情境：实例二 下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index简称 AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数 (AQI)的 值I?你认为这里的I是t的函数吗？
从图中的曲线可知,t的变化范围是数集A={t|0≤t≤24}, AQI的值I都在数集 B={I｜0＜I＜150} 中.对于数集A中的任一时刻t,按照图中曲线所给 定的对应 关系,在数集B中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此,这里的I是t的函数．BLeabharlann {y|4ac 4a
b2 };当a<0时,
.对应关系f
把
R中的任意
一个数x,对应到R中唯一确定的数ax2+bx+c(a≠0)．
思考：
反比例函数
y
k x
(k
0)
的定义域、对应
关系和值域各是什么?请用函数定义描述这个函数．
例1. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个 量之间的对应关系,可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如,正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、 一定密度的物体的质量与体积的关 系、圆的周长与半径的关系等. 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应
关系f 把 R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R,值域 B {y| 4ac b2 } 4a
是B.当a＞0时,
思考： f (x)与f (a) (a为常数)的区别和联系. 当a为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对应的函数值，是一个常数. 思考：在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数 的定义域，集合B是函数的值域吗？
例如：A {0,1, 2} , B {0, 2, 4,5} , f : A B ，f (x) 2x
1. A，B是非空的数集. 2.任意性和唯一性. 3.确定的对应关系，对应关系可以是解析式，图像，表格.
思考：“确定的的对应关系 f ”是什么意思？ f 可以看作是对“x”施加的某种运算或法则 例如：f (x) x2，f 就是对自变量x求平方.
思考：如何理解“ y f (x)”？ 符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示 y等于f与x的乘积.不同函数中的f表示的含义不一样.
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念（第一课时）
学习目标： 1.从集合与对应的观点出发，加深对函数概念的理解； 2.理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则； 3.理解函数符号的含义. 重点及难点：函数的概念及y=f(x)的理解与深化.
知识点回顾：初中阶段我们都学过哪些函数呢？
根据实例一的条件，我们不能判断列车半小时后的运行情况，所以 上述说法不正确，其原因是没有关注到t的变化范围.
时间t的变化范围是数集A t 0 t 0.5
路程S的变化范围是数集B S 0 S 175
对于数集A中的任意一个时刻t,按照对应关系S=350t,在数集S
中都有唯一确定的路程S和它对应.
探究新知 实例一，实例二，实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？ 实例一是用解析式表示对应关系， 实例二是用图象表示对应关系， 实例三是用表格表示对应关系.
以上三个实例有什么共同点？ (1)都有两个非空数集A，B； (2)两个数集间都有一种确定的对应关系； (3)对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
课堂小结 1.函数的概念. 2. 函数符号y=f(x). 3. 函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系. 4.函数三要素：(1) 定义域 (2) 对应法则 (3) 值域
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恩格尔系数r(%) 36.7 36.8 38.1 35.7 35.2 33.5 33.8 29.9 29.4 28.6
思考：你认为按照表格给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的 函数吗？
A={2006,2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015} B={36.7，36.8，38.1，35.7，35.2，33.5，33.8，29.9，29.4，28.6} A中的任意一个时间t,按照表格,在数集B中都有唯一确定的 系数和它对应.
归纳概括 满足以上共同点的两个数集的对应关系我们把它叫做什么呢？
函数的定义 设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x) ,x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相 对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意
创设情境：实例一 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时，这 段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h） 的关系可以表示为
S=350t.
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一 确定的值与之对应，所以S是t的函数. 思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就 前进了350km.你认为这个说法正确吗？
函数三要素： (1) 定义域 (2) 对应法则 (3) 值域
1.下列说法中,不正确的是( B ) A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应. B.函数的定义域和值域一定是无限集合. C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定. D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.
2.对于函数y=f(x),以下说法正确的有( B ) ①y是x的函数； ②对于不同的x, y的值也不同； ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量； ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.给出四个命题中,正确有( D ) ①函数就是定义域到值域的对应关系； ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素； ③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而变化,所以f(0)=5也成立； ④定义域和对应关系确定后,函数值也就确定了.
一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
反比例函数：y
k x
(k为常数且k≠0)
复习回顾：初中学习的函数的定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， 那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.
创设情境：实例三 国际上常用恩格尔系数r（r=食物支出金额/总支出金额）反映一个 地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表 是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城 镇居民的生活质量越来越高.
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是R,值域是B={y | y≤25}.对应 关系f把R中的任意一个数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x).如果对x的取值 范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10},那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝x(10-x).其中,x的取值范围 是A={x｜0<x<10},y的取值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长方 形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).
创设情境：实例二 下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index简称 AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数 (AQI)的 值I?你认为这里的I是t的函数吗？
从图中的曲线可知,t的变化范围是数集A={t|0≤t≤24}, AQI的值I都在数集 B={I｜0＜I＜150} 中.对于数集A中的任一时刻t,按照图中曲线所给 定的对应 关系,在数集B中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此,这里的I是t的函数．BLeabharlann {y|4ac 4a
b2 };当a<0时,
.对应关系f
把
R中的任意
一个数x,对应到R中唯一确定的数ax2+bx+c(a≠0)．
思考：
反比例函数
y
k x
(k
0)
的定义域、对应
关系和值域各是什么?请用函数定义描述这个函数．
例1. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个 量之间的对应关系,可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如,正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、 一定密度的物体的质量与体积的关 系、圆的周长与半径的关系等. 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.