2013年高考真题理科数学分类汇编：考点42 抛物线含解析

考点42 抛物线
一、选择题
1. （2013·四川高考文科·Ｔ5）抛物线
2
8y x =的焦点到直线0
x =的距离是( ) A 。

B.
2
C.
D.
1
【解题指南】本题考查的是抛物线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可。

【解析】选D ，抛物线
2
8y
x =的焦点(2,0)到直线0x =的距离，根
据点到直线的距离公式可得20
12
d -=
=，故选D.
2.（2013·北京高考理科·Ｔ7)直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）
A.43
B 。

2
C 。

83 D.3
【解题指南】把所求面积转化为一个矩形面积减去一个积分值。

【解析】选C 。

l 的方程是1y =，所以求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值：
232200
84242(|)4123
x x S dx =-=-=⎰
. 3.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ10)设抛物线2
:4C y
x =的焦点
为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

若||3||AF BF =，则l 的方程为( ）
A.1y x =-或1y x =-+
B.1)y x =-或1)y x =-
C 。

1)y x -或1)y x =-
D.(1)2y x =
-或1)2
y x =-- 【解题指南】设出A 、B 点的坐标，利用抛物线的定义表示出
,AF BF
，再利用||3||AF BF =，确立l 的方程。

【解析】选C. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则因为|AF ｜=3|BF ｜，所以x 1+1=3（x 2+1），所以x 1=3x 2+2，因为|y 1｜=3｜y 2|，x 1=9x 2，所以x
1=3,x 2=13
,当x 1=3时，2
1
12y
=，
所以此时1y =±，若1y =则1
(3,(,)33A B -，
此时AB k =此时直线方程为1)y x -。

若1y =-则1
(3,(,)33
A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-.
4。

（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T11)设抛物线C ：y 2=2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，｜MF ｜=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2）,则C 的方程为 （ ）
A 。

y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x
【解题指南】结合已知条件，设出圆心坐标，然后借助抛物线的定义，确定抛物线的方程.
【解析】选C.由题意知:F ,02
p ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，准线方程为2
p x =-,则由抛物线的定
义知,x M =52
p -,设以MF 为直径的圆的圆心为5,22M
y ⎛⎫
⎪⎝⎭
,所以圆的方程
为2
2525,224M y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭又因为过点(0,2),所以y M =4,又因为点M 在C
上，所以16=2p 52p ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，解得p =2或p =8，所以抛物线C 的方程为
y 2=4x 或y 2=16x,故选C.
5. (2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ12）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ11）相同 已知抛物线()2
:82,2,C C y
x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于A ，B 两点,
若0=⋅MB MA ，则=k （ )
A 。

1
2
B.
C 。

D 。

2
【解题指南】先求出抛物线的焦点，列出过焦点的直线方程，与抛物线联立,化简成关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系代入求解。

【解析】选D 。

由题意知直线AB 的方程为)2(-=x k y ，将其代入到
x y 82=得，
04)2(42222=++-k x k x k ，设),(1y x A ,),(22y x B ,
则2
221)
2(4k
k x x +=+，421=x x ① 又k x x k y y
4)(2121
-+=+,②
]4)(2[2121221++-=x x x x k y y ③
因为0=⋅MB MA ,所以0)2,2()2,2(2211
=-+⋅-+y x y x ，
即08)(2)(22121212
1=++-+++y y y y x x x
x 。

④
由①②③④得，2=k 。

二、 填空题
6。

(2013·北京高考文科·Ｔ9）若抛物线y 2=2px 的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____
【解题指南】利用抛物线的标准方程求解。

【解析】1,2,12
p p x ===-所以准线方程为.
【答案】2,1x =-
7.（2013·浙江高考理科·T15)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过点P(-1,0）的直线l 交抛物线C 于A,B 两点,点Q 为线段AB 的中点，若|FQ ｜=2,则直线l 的斜率等于 。

【解题指南】由抛物线方程可知F 的坐标,再利用待定系数法表示A,B 两点的坐标，根据｜FQ|=2求解. 【解析】设直线l ：y=k （x+1）,由2(1),
4,=+⎧⎨=⎩
y k x y x 消去
y 得,k 2x 2+（2k 2—
4)x+k 2=0, 设
A(x 1,y 1）,B(x 2,y 2）,则212224
k x x k
-+=-,x 1·x 2=1,设
AB 的中点Q （x 0,y 0),
则2022
k x k -=-,002(1)y k x k =+=,因为|FQ|=2，F （1,0）,
所以2
2221k k ⎛⎫--- ⎪⎝⎭2
24k ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，所以
k 2=1,k=±1.
【答案】±1. 三、解答题
8。

(2013·福建高考理科·T18)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点,点A 的坐标为()0,10,点C 的坐标为()10,0，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1,A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，
连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点*(,19)∈≤≤i P i N i
(1）求证：点*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，并求抛物线E 的方程.
(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M,N ,若△OCM 与△OCN 的面积之比为4∶1,求直线l 的方程.
【解析】（1）依题意，过A i (i ∈N ＊，1≤i ≤9）且与x 轴垂直的直线方程为x=i ，
因为B i (10,i),所以直线OB i 的方程为y=10
i x,
设
P i 坐标为（x ，y ）,由,
,10=⎧⎪⎨
=⎪⎩
x i i y x 得：y=110x 2
,即x 2=10y ，
所以P i （i ∈N ＊，1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2=10y.
（2)依题意:直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=kx+10,
由2
10,10,
=+⎧⎨
=⎩y kx x y 得x 2
—10kx —100=0. 此时Δ=100k 2+400〉0,直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N ，
设:M(x 1，y 1),N （x 2，y 2）,则1
2
12
10,100.①
②+=⎧⎨
⋅=-⎩x x
k x x
因为S △OCM =4S △OCN ，所以1
2
4=x
x ,又因为x 1·x 2<0，所以x 1=-4x 2,
分别代入①②,解得3
2=±k 。

直线l 的方程为3
+102
=±y x ,即3x —2y+20=0或3x+2y-20=0。

9.（2013·福建高考文科·T20)如图,抛物线E ：y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A 。

点C 在抛物线E 上,以C 为圆心， CO
为半径作圆,设圆C 与准线l 交于不同的两点M,N.
(1）若点C 的纵坐标为2,求MN . （2）若
2
AF AM AN
=,求圆C 的半径.
【解题指南】垂径定理求圆的弦长MN ，第（2）问,先设C 的坐标，写出圆方程,联立方程，然后结合已知条件列式求解。

【解析】（1)抛物线y 2=4x 的准线l 的方程为x=—1， 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为（1，2）, 所以点C 到准线l 的距离d=2，又｜CO ｜=. 所以22||2||2542MN CO d =--。

（2)设
2
0(,)4y C y ，则圆C 的方程为
24222
0000
()()416
y y x y y y -+-=+，
即x 2-2
02
y x+y 2
—2y 0y=0.
由x=—1,得y 2
—2y 0y+1+202
y =0， 设M （—1，y 1)，N （—1,y 2）,则：
2
220002
01244(1)240,21,2⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
y y y y y y
由|AF ｜2=｜AM ｜·|AN ｜，得|y 1y 2|=4， 所以2
02
y +1=4,解得y 0=±此时Δ>0，
所以圆心C 的坐标为3
(2
或3
(,2
，
从而｜CO|2=
334
,|CO|=
，即圆C 的半径为。

10。

(2013·陕西高考理科·Ｔ20）已知动圆过定点A (4，0）， 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2） 已知点B （－1，0）， 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ， Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线， 证明直线l 过定点.
【解题指南】由弦长的一半，半径和弦心距构成直角三角形列出方程，化简后得出轨迹C 的方程；直线过定点可抓住该题的关键
x 轴是PBQ ∠的角平分线，即0=+PB Q B
k k
解之.
【解析】(1） A (4，0）,设圆心，设圆心C （x ，y),线段MN 的中点为E,由几何图像知2
222
MN ME ,CA
CM ME EC 2
===+x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（
（2) 设直线l 的方程为y =kx+b ，联立
{
2y 8222y kx b
k x 2kbx b 8x x
得==+++=.
)0(0
)28(222>∆=+--其中b x kb x k
设),()
,(221
1
b kx x Q b kx x P ++，
则22
212
21)
2
8(k
b x x k kb x x =-=+
若x 轴是PBQ ∠的角平分线，则
)
1)(1()
1)(()1)((112112212211+++++++=
+++++=
+x x x b kx x b kx x b kx x b kx k k PB QB
=0)
1)(1()
(8)1)(1(2))((21221212
1=+++=++++++x x k b k x x b x x b k x
kx 即
k=—b,
故直线l 的方程为y =k (x -1）, 直线l 过定点(1,0）。

11。

（2013·湖南高考理科·Ｔ21）过抛物线2
:2(0)E x py p =>的焦点
F 作斜率分别为1
2
,k k 的两条不同的直线12,l l ，且1
22k
k +=，1l E 与相交于
点A ，B ，2
l E 与相交于点C,D 。

以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l 。

(1）若1
20,0k
k >>,证明；22p FN FM <•；
（2）若点M 到直线l
的距离的最小值为5
，求抛物线E 的方程。

【解题指南】（1)先写出过抛物线焦点的直线方程，然后和抛物线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系以及向量的坐标运算可得到结果.
（2)利用抛物线的焦点弦长公式求出|AB ｜,此即圆M 的直径,进而可求出圆M 的方程,同理可求出圆N 的方程，再把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，于是代入条件即可求解。

【解析】（1）由题意,抛物线E 的焦点为)2
,0(p
F ,直线1
l 的方程为2
1p
x k y +
=。

由⎩
⎨⎧+==2
212p
x k y py x ，得02212=--p x pk x ，设A,B 两点坐标分别为),(11y x ，),(22y x ,
则2
1
,x x 是上述方程的两个实数根，从而121
2pk x x
=+，
2121121y y k (x x )p 2pk p +=++=+，所以点M 的坐标为)2
,(21
1
p
pk
pk +
，),(211pk pk FM =，同理可得点N 的坐标为)2
,(2
22p pk pk
+
， ),(222pk pk FN =,于是 )(2
221212k k k k p FN FM +=•,由题设，122k k +=，2121,0,0k k k k ≠>>，
所以1)2
(022121=+<<k k k k ，故2222)11(p p FN FM =+<•.
（2)由抛物线的定义得2||1p y FA +=，2
||2p y FB +=，
所以p pk p y y AB 22||2121
+=++=，从而圆M 的半径p pk
r +=2
1
1
,故圆M 的方程
为2212
212
1
)()2
()
(p pk p pk y pk x +=-
-+-， 化简得22221132pk k 10.4
x y x p （2）y-p ++--+=
同理可得圆N 的方程为2
222
22
32pk k 104
x
y x p （2）y-p ++--+=。

于是圆M ，圆
N 的公共弦所在直线l 的方程为0)()(212
212
=-+-y k k x k k
，
又012≠-k k ，122k k +=,则l 的方程为02=+y x ，因为0>p ，所以点M 到直线l 的距离
5
|2|12
1
p pk pk d ++=5|87
)41(2|5|12|21121
++=
++=k p k k p ，故当4
11
-
=k
时,d 取最小值
5
87p ，
由题设，
55
75
87=p ，解得8=p ，故所求抛物线E 的方程为y x
162
=。