扬州2009高三教学情况调查数学

江苏省扬州市2009高三教学情况调查（一）
数 学
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70 分。

1．若集合2{|90}A x x x =-<，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=*Z y Z y y B 4
|且
，则集合A B I 的元素个数为 2．已知a b ∈R 、，i 是虚数单位，若(2)a i i b i +=+，则a +b 的值是 3．式子22log sin
log cos
1212
π
π
+的值为
4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为____________.
5．在等比数列{n a }中，若271086=a a a ，则=8a _____. 6.如果实数x ,y 满足x 2
+y 2
=1,则（1+xy ）(1－xy )的最小值为
7．已知8)(3
5
-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f ____________
8．泰州实验中学有学生3000人，其中高三学生600人．为了解学生的身体素质情况， 采用按年级分层抽样的方法，从学生中抽取一个300人的样本． 则样本中高三学生的人数为 ．
9．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为____________________．
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．
11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，
，，，，． 如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时， 点P 的坐标是 ．
12．如图所示，在△OAB 中，OA ＞OB ，OC ＝OB ，设OA →＝a ，OB →＝b ，若AC →＝λ·AB →
，则实数λ的值为 （用向量a ，b 表示 ） 13． 若不等式
102x m x m -+<-成立的一个充分非必要条件是11
32
x <<，则实数m 的取值范
注意事项:考生答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、 本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部份。

本试卷满
分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并收回。

2、 答题前，请务必将自已的姓名、考试证号用书写黑色字的0。

5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3、 作答时必须用书写黑色字迹的0。

5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4、 如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

围是 。

14．在计算“)1(3221+++⨯+⨯n n Λ”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：
1
(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++---，由此得
1
12(123012)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，
1
23(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，
L
1
(1)[(1)(2)(1)(1)]3
n n n n n n n n +=++--+
相加，得1
1223(1)(1)(2)3
n n n n n ⨯+⨯+++=++L ．
类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯++++L ”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为 ．
二、 解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。

15．（本小题满分14分）
已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且与,6=⋅的夹角为α， （Ⅰ）求α的取值范围；
（Ⅱ）求ααααα2
2
cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最小值。

16．（本小题满分14分）
在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°，
平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（2）若平面PAB I 平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 请说明理由.
17．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L ．
（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
18．（本小题满分16分）
已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为8.1元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按．．10．．元．/．天支付．．．；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天．．．0.03．．．．元．/．千克支付．．．．
. （Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？ （Ⅱ）设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用．．．y （元）关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少?
19．（本小题满分15分）
如图，椭圆22221y x a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、
F 2，M 、N 是椭圆右准线上的两个动点，
且12
0F M F N ⋅=u u u u r u u u u r
.
（1）设C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为12，MN 的最小值为.
20．（本小题满分16分）
已知函数.32)(2
x x e x f x
-+=
（I ）求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；
（Ⅱ）求证函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相
应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e 0.3≈1.3）
（III ）当,1)3(2
5
)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥
x a x x f x x 试求实数a 的取值范围。

2009江苏省扬州市高三教学情况调查（一）参考答案
1．3； 2 ． -1； 3． -2；4．1: 5．3 6.4
3
7 ．26-
8. 1-
9. （0,1）
10. 10.5,10.5a b ==
11. 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
12．
2
2--；13．
3441≤≤m ；14． )3)(2)(1(4
1
+++n n n n ;
15．解：（Ⅰ）由题意知6cos ||||=⋅=⋅α
α
cos 6||||=
⋅Θ ααα
ααπtan 3sin cos 621sin ||||21)sin(||||21=⨯⨯=⋅=-⋅=
S ……………………3分
333≤≤S Θ
3tan 133tan 33≤≤≤≤∴αα即……………………4分 BC AB 与是αΘ的夹角 ],0[πα∈∴
]3
,4[π
πα∈∴……………………7分
（Ⅱ）=++=++=ααααααα2
22cos 22sin 1cos 2cos sin 2sin )(f )4
2(222cos 2sin 22π
ααα+
+=++……………………10分
]3,4[π
πα∈Θ
]1211,43[42πππ∈+∴a
)(3
121142απ
αππαf 时即当当==+∴有最小值。

)(αf 的最小值是2
3
3+……………………14分
16．解：（1）【证明】因为∠ABC =90°，AD ∥BC ，所以AD ⊥AB . 而平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB I 平面ABCD =AB ,
所以AD ⊥平面PAB , 所以AD ⊥PA . ………………3分 同理可得AB ⊥PA . ………………5分 由于AB 、AD ⊂平面ABCD ，且AB I AD=C ,
所以PA ⊥平面ABCD . ………………………7分 （2）【解】（方法一）不平行. ………………………9分 证明：假定直线l ∥平面ABCD ,
由于l ⊂平面PCD ，且平面PCD I 平面ABCD=CD , 所以l ∥CD. ……………… 11分 同理可得l ∥AB , 所以AB ∥CD . …………………… 13分 这与AB 和CD 是直角梯形ABCD 的两腰相矛盾,
故假设错误，所以直线l 与平面ABCD 不平行. …………………… 14分 （方法二）因为梯形ABCD 中AD ∥BC ,
所以直线AB 与直线CD 相交，设AB I CD =T . …………………… 11分 由T ∈CD ，CD ⊂平面PCD 得T ∈平面PCD .
同理T ∈平面PAB . …………………… 13分 即T 为平面PCD 与平面PAB 的公共点，于是PT 为平面PCD 与平面PAB 的交线. 所以直线l 与平面ABCD 不平行. …………………… 14分
17．解：（1）依题意数列{}n a 的通项公式是n a n =，
故等式即为1
122123(1)22n n n n b b b n b nb n +--++++-+=--L ， 同时有1232123(2)(1)21n
n n n b b b n b n b n ---++++-+-=--L ()2n ≥，
两式相减可得12121n
n n b b b b -++++=-L ………………………………3分
可得数列{}n b 的通项公式是1
2n n b -=，
知数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列。

………………………6分
（2）设等比数列{}n b 的首项为b ，公比为q ，则1
n n b bq -=，从而有：
1231123122n n n n n n bq a bq a bq a bqa ba n ---+-+++++=--L ，
又2
34123121n n n n n bq
a bq a bq a ba n ----++++=--L ()2n ≥，
故1
(21)22n n n n q ba n +--+=-- ……………………………9分
212
2n n q q q a n b b b
---=
⨯+⨯+
， 要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必需2q =， …………………………11分
即①当等比数列{}n b 的公比2q =时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n n
a b
=；
②当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列． ………………14分
18．解：（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
P=70+)21(20003.0+⨯⨯=88(元) ……………………………4分
（Ⅱ）（1）当x ≤7时
y=360x+10x+236=370x+236 ………………5分
（2）当 x>7时
y=360x+236+70+6[(7-x )+(6-x )+……+2+1] =43232132
++x x ………………7分
∴⎩⎨
⎧>++≤+=7
,43232137,2363702
x x x x x y ………………8分
∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧>++≤+=7,432
32137236370)(2x x x x x x x x f ， ………………11分 当x ≤7时
x x f 236
370)(+
= 当且仅当x=7时 f(x)有最小值40472826
≈（元）
当x ＞7时
x x x x f 4323213)(2++==321)144(3++x
x ≥393
当且仅当x=12时取等号
∵393<404
∴当x=12时 f(x)有最小值393元 ………………16分
19．解：（1）设椭圆22221y x a b
+=的焦距为2c (c >0)， 则其右准线方程为x ＝2
a c
，且F 1(－c , 0), F 2(c , 0). ……………2分 设M ()()
22
12,,a a y N y c c
，，
则1F M u u u u r ＝(
)
()
22
122,,a a c y F N c y c c
+=-u u u u r ，，
()
(
)
22
12,,a a OM y ON y c c
==u u u u r u u u r ，. ……………………4分 因为120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ，所以()()22120a a c c y y c c +-+=，即()2
2
2
12
a
y y c c
+=.
于是()
2
22120a OM ON y y c c
⋅=+=>u u u u r u u u r ，故∠MON 为锐角. 所以原点O 在圆C 外. ………………………7分 （2）因为椭圆的离心率为12
，所以a =2c ， ………………………8分
于是M ()()124,4,c y N c y ，，且()2
2
2
2
1215.a
y y c c c
=-=- ………………………9分
MN 2＝(y 1－y 2)2＝y 12+y 22－2y 1y 222
21212122460y y y y y y c =++=≥.………… 12分
当且仅当 y 1＝－y 2或y 2＝－y 1时取“=”号， ………………… 14分 所以(MN )min = 215c ＝215，于是c =1, 从而a ＝2，b ＝3，
故所求的椭圆方程是22143
y x +=. ………………… 16分
22．解：（Ⅰ）()()11,34+='-+='e f x e x f x
则，………………………………1分
又()11-=e f ，
()()()1,1f x f y 在点曲线=∴处的切线方程为
()()()021,111=--+-+=+-y x e x e e y 即………………………3分
（Ⅱ）()()011,02300
φπΘ+='-=-='e f e f ，
()(),010πf f '⋅'∴…………………………………………4分
令()()34-+='=x e x f x h x
，
则()()[]1,0,04在x f x e x h x
'∴+='φ上单调递增，
()[]10，在x f '∴上存在唯一零点，()[]1,0在x f ∴上存在唯一的极值点………6分
取区间[]1,0作为起始区间，用二分法逐次计算如下
由上表可知区间[]6.0,3.0的长度为0.3，所以该区间的中点45.02=x ，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x 的值。

()x f y =∴函数取得极值时，相应45.0≈x ………………………9分
（Ⅲ）由()()()1325
321325222+-+≥-++-+≥
x a x x x e x a x x f x 得， 即21,1212≥--≤x x e ax x
Θ，
x x e a x 1
21
2--≤
∴，………………………………………12分 令()()()2221
211,121x
x x e x g x x e x g x x +--='--=则 令()()()()
1,12
112-='+--=x
x e x x x x e x ϕϕ则
()()⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∞+∴'∴≥
，在21,0,21x x x ϕϕφΘ上单调递增， ()02
18721φe x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∴ϕϕ，
因此()()⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞',21,0在故x g x g φ上单调递增，
则()492211
81212
1-=--=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥e e g x g ， a ∴的取值范围是
4
9
2-≤e a ………………………………………16分。