2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高三(下)开学数学试卷(2月份)

2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高三（下）开学数学试卷
（2月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞1}，B＝{x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）
2．（5分）已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）二项式（x+2）7的展开式中含x5项的系数是（）
A．21B．35C．84D．280
4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．16B．26C．32D．20+
5．（5分）已知2x＝72y＝A，且，则A的值是（）
A．7B．C．D．98
6．（5分）若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）
A．m≥0B．m≤3C．m≥l D．m≥3
7．（5分）随机变量ξ的分布列如下，且满足E（ξ）＝2，则E（aξ+b）的值（）
A．0B．1
C．2D．无法确定，与a，b有关
8．（5分）已知a，b为正实数，若直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则的取值范围为（）
A．（0，）B．（0，1）C．（0，+∞）D．[1，+∞）
9．（5分）已知共面向量，，满足||＝3，+＝2，且||＝|﹣|．若对每一个确定的向量，记|﹣t|（t∈R）的最小值d min，则当变化时，d min的最大值为（）
A．B．2C．4D．6
10．（5分）已知f（x）＝ax2+（b﹣a）x+c﹣b（其中a＞b＞c），若a+b+c＝0，x1、x2为f （x）的两个零点，则|x1﹣x2|的取值范围为（）
A．（，2 ）B．（2，2 ）C．（1，2）D．（1，2 ）
二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）
11．（6分）双曲线x2﹣＝1的焦距是，离心率是．
12．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
则C＝；若，△ABC的面积为，则a+b＝．
13．（6分）在等差数列{a n}中，a2＝5，a1+a4＝12，则a n＝；设
，则数列{b n}的前n项和S n＝．
14．（6分）已知函数f（x）＝ln（e2x+1）﹣mx为偶函数，其中e为自然对数的底数，则m ＝，若a2+ab+4b2≤m，则ab的取值范围是．
15．（4分）有3所高校欲通过三位一体招收24名学生，要求每所高校至少招收一名且人数各不相同的招收方法有种．
16．（4分）已知x∈[﹣，]，y∈R+，则（x﹣y）2+（﹣）2的最小值为．
17．（4分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与C2：x2+y2＝b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是．
三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．（14分）设函数
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
19．（15分）已知：在数列{a n}中，a1＝，a n+1＝a n+．
（1）令b n＝4n a n，求证：数列{b n}是等差数列；
（2）若S n为数列{a n}的前n项的和，S n+λna n≥对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．
20．（15分）如图，在三棱柱中ABC﹣DEF，点P，G分别是AD，EF的中点，已知AD⊥平面ABC，AD＝EF＝3，DE＝DF＝2．
（Ⅰ）求证：DG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求PE与平面BCEF所成角的正弦值．
21．（15分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0），过点P（0，3）的直线l交抛物线于点A，B，过点P与l垂直的直线交抛物线于点C，D．
（1）若，求抛物线C的方程；
（2）设M为AB中点，N为CD中点，求△PMN面积S的最小值．
22．（15分）已知函数f（x）＝2aln（1+x）﹣x（a＞0）．
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）求证：（n∈N*）．
2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高三（下）开学数
学试卷（2月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．【解答】解：∵集合A＝{x|x＜﹣2或x＞1}，
∴∁R A＝{x|﹣2≤x≤1}，
集合BB＝{x|x＞2或x＜0}，
∴（∁R A）∩B＝{x|﹣2≤x＜0}＝[﹣2，0），
故选：B．
2．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q＝的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{a n}的公比q＜1，不能得出数列{a n}是递减数列；
而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q＝，所以，由数列{a n}是递减数列，不能得出其公比
q＜1．
所以，“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．
故选：D．
3．【解答】解：二项式（x+2）7的展开式中含x5项的系数×22＝84．故选：C．
4．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为4，如图所示；
其中SC⊥平面ABC，SC＝3，AB＝4，BC＝3，AC＝5，SC＝4，∴AB⊥BC，
由三垂线定理得：AB⊥SB；
S△ABC＝×3×4＝6，
S△SBC＝×3×4＝6，
S△SAC＝×4×5＝10，
S△SAB＝×AB×SB＝×4×5＝10，
∴该几何体的表面积S＝6+6+10+10＝32．
故选：C．
5．【解答】解：∵2x＝72y＝A，且，
∴log2A＝x，log49A＝y，
∴
＝log A98＝2，
∴A2＝98，
∵A＞0
解得A＝7．
故选：B．
6．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）
设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值＝F（4，2）＝0
当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值＝F（3，3）＝﹣3
因此，z＝x﹣2y的取值范围为[﹣3，0]，
∵存在实数m，使不等式x﹣2y+m≤0成立，即存在实数m，使x﹣2y≤﹣m成立∴﹣m大于或等于z＝x﹣2y的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得m≤3
故选：B．
7．【解答】解：∵E（ξ）＝2，
∴由随机变量ξ的分布列得到：a+2b+3c＝2，
又a+b+c＝1，
解得a＝c，∴2a+b＝1，
∴E（aξ+b）＝aE（ξ）+b＝2a+b＝1．
故选：B．
8．【解答】解：函数的导数为y′＝＝1，x＝1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，
∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），
则＝，
令g（a）＝，则g′（a）＝＞0，
则函数g（a）为增函数，
∴∈（0，）．
故选：A．
9．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，
∵+＝2，
∴M为BD的中点，
∴S△ABD＝•3d•2＝3d，
∵||＝|﹣|，
∴AD＝BD，
设AB＝c，AD＝b，
∴在▱ABCD中，2[（AB）2+（AD）2]＝AC2+BD2，
∴b2+2c2＝36，①，
∵S△ABD＝•c•＝•c•，
将①代入可得，S△ABD＝•c•＝c，
∴3d＝c，
∴d＝c≤＝2，当且仅当c2＝8时，取等号，故选：B．
10．【解答】解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，∴＜0，
由根与系数的关系可知x1+x2＝＝＝2+，x1x2＝＝＝
1+，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2+）2﹣4（1+）＝（）2﹣＝（﹣2）2﹣4，
由x1+x2＝＞0得2+＞0，即﹣2＜＜0，
由x1x2＝＜0得1+＜0，即＜﹣．
∴﹣2＜＜﹣．
∴（﹣2）2﹣4∈（，12），
∴|x1﹣x2|∈（，2）．
故选：A．
二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）
11．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，
其中a＝1，b＝，
则c＝＝2，
则该双曲线的焦距2c＝2×2＝4，
其离心率e＝＝2；
故答案为：4，2．
12．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，∴由正弦定理可得，
解得，
∴，解得ab＝6，
∵，cos C＝，
∴，解得a＝1，b＝6或a＝6，b＝1，
∴a+b＝7．
故答案为：，7．
13．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a2＝5，a1+a4＝12 可得，
解得，
故a n＝3+（n﹣1）2＝2n+1．
∵＝＝[﹣]，
∴数列{b n}的前n项和S n＝[1﹣+++…+]＝
＝，
故答案为2n+1，．
14．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝ln（e﹣2x+1）+mx＝ln（e2x+1）﹣mx，∴2mx＝ln（e2x+1）﹣ln（e﹣2x+1）＝2x，
∴m＝1，
∵a2+ab+4b2≤m，
∴4|ab|+ab≤1，
∴﹣≤ab≤，
故答案为1，[﹣，]．
15．【解答】解：采用隔板法，从24名学生排列所形成的23个间隔，任插入2个隔板，分成三组，共有C232＝253种，
其中人数都相同的（8，8，8）有1种，有2个相同的（1，1，22），（2，2，20），（3，3，18），（4，4，16），（5，5，14），（6，6，12），（7，7，10），（9，9，6），（10，10，4），（11，11，2），共有10×3＝30，
故每所高校至少招收一名且人数各不相同的招收方法有253﹣1﹣30＝222，
故答案为：222
16．【解答】解：分别作y＝，y＝的图象，
分别取点（x，），（x，），视为两图象上各取一点的距离的平方，
设P为y＝x与y＝的交点，
∴PO2＝x2+≥2＝18，即PO＝．
当且仅当x＝3时，取等号．
故得的最小值为（OP﹣）2＝．
故答案为：．
17．【解答】解：由题意，如图
若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，
即sin∠APO＞sin45°，
即＞，
则e＝＝＜＝．
∴椭圆C1的离心率的取值范围是．
故答案为：．
三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．【解答】解：函数
（Ⅰ）＝＝
故周期T＝．
（Ⅱ）由，
可得，
取k＝0，则，
取k＝1，则，
又∵x∈[0，π]，
∴f（x）的单调递增区间为和．
19．【解答】解：（1）由a n+1＝a n+，
得4n+1a n+1＝4n a n+2．
所以b n+1＝b n+2，即b n+1﹣b n＝2．
故数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）因为数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
因为b n＝4n a n，
所以a n＝．
则S n＝+++…++．
又S n＝+++…++．
所以S n＝+2（+++…+）﹣
＝+2×﹣．
所以S n＝﹣×﹣×．
因为S n+λna n≥对任意n∈N*恒成立，
所以﹣×﹣×+λ×≥对任意n∈N*恒成立．
即λ≥×+对任意n∈N*恒成立
因为n≥1，2n﹣1≥1，
所以×≤，当且仅当n＝1时取等号．
又因为≤，当且仅当n＝1时取等号．
所以×+≤，当且仅当n＝1时取等号
所以λ≥，所以λ的最小值为．
20．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥DG，
又BF∥AD，∴BF⊥DG．
∵DE＝DF，G是EF的中点，∴EF⊥DG．
又BF∩EF＝F，∴DG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）解：取BC的中点H，连接HG，取HG的中点O，连接OP，OE，
∵PO∥DG，∴PO⊥平面BCEF，
∴∠OEP是PE与平面BCEF所成的角．
由AD＝EF＝3，DE＝DF＝2，解得，，
∴．
21．【解答】解：（1）设直线AB的方程为y＝kx+3，则k＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消y可得x2﹣2pkx﹣6p＝0，
∴x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣6p
∴|AB|＝•＝2•，
∵过点P与l垂直的直线交抛物线于点C，D，将上式的k换为﹣，
∴|CD|＝2•，
∵，
∴2•＝2•＝8，
解得k2＝1，p＝2，
∴抛物线C：x2＝4y，
（2）∵设M为AB中点，N为CD中点，
由（1）可得x M＝（x1+x2）＝pk，则y M＝pk2+3，
则M（pk，pk2+3），
∵P（0，3）
∴|PM|＝＝pk
将k换为﹣，
∴|PN|＝•
∴△PMN面积S＝|PM|•|PN|＝p2••＝p2（k+）≥p2，当且仅当k＝1时取等号
故△PMN面积S的最小值p2．
22．【解答】解：（I）定义域为（﹣1，+∞）
令f'（x）＞0⇒﹣1＜x＜2a﹣1，令f'（x）＜0⇒x＞2a﹣1
故f（x）的单调递增区间为（﹣1，2a﹣1）
f（x）的单调递减区间为（2a﹣1，+∞）
f（x）的极大值为2aln2a﹣2a+1
（II）证：要证
即证
即证
即证
令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减
故f（x）＜f（0）＝0
即ln（1+x）＜x
令
故
累加得，
故，得证。