《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练 2-2 Word版含解析

分段函数的单调性的创新应用
[典例] (2022·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(3a －1)x ＋4a ，x <1，
log a x ，x ≥1满足对任意的
实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(0,1) B.⎝
⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
17，13 D.⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
17，1 [审题视角] 既考虑到使各段函数在相应定义域内为减函数，又要考虑在R 上为减函数．
[解析] 据题意使原函数在定义域R 上为减函数，只需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
3a －1<0，0<a <1，(3a －1)×1＋4a ≥log a
1，
解得17≤a <1
3.
[答案] C
一般地，若函数f (x )在区间[a ，b )上为增函数，在区间[b ，c ]上为增函数，则不
愿定说明函数f (x )在[a ，c ]上为增函数，如图：，由图像可知函数f (x )在
[a ，c ]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f (x )在[a ，c ]上为增函数，若图像满足如
图：，即可说明函数在[a ，c ]上为增函数，即只需f (x )在[a ，b )上的最
大值不大于f (x )在[b ，c ]上的最小值即可，同理减函数的状况依据上述思路也可推
得相应结论．
1．(2022·汉中调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )
的递减区间是( )
A ．(－∞，0]
B ．[0,1)
C ．[1，＋∞)
D ．[－1,0]
解析：f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1 x >10 x ＝1
－1 x <1
∴g (x )＝x 2
·f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2 x >1
0 x ＝1
－x 2 x <1
作出g (x )的图像如下：
则g (x )的递减区间为[0,1)．
答案：B。