湘教版高中数学选择性必修第一册课后习题 第2章 平面解析几何初步 两条直线平行与垂直的判定

2.3 两条直线的位置关系
2.3.1 两条直线平行与垂直的判定
A级必备知识基础练
1.下列各组直线中,互相垂直的一组是( )
A.2x-3y-5=0与4x-6y-5=0
B.2x-3y-5=0与4x+6y+5=0
C.2x+3y-6=0与3x-2y+6=0
D.2x+3y-6=0与2x-3y-6=0
2.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是( )
A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
3.(多选题)(山东五莲高二期中)已知直线l:x-2y-2=0,( )
A.直线x-2y-1=0与直线l平行
B.直线x-2y+1=0与直线l平行
C.直线x+2y-1=0与直线l垂直
D.直线2x+y-2=0与直线l垂直
4.(四川成都七中高二入学测试)已知A(3,1),B(1,-2),C(1,1),则过点C 且与线段AB平行的直线方程为( )
A.3x+2y-5=0
B.3x-2y-1=0
C.2x-3y+1=0
D.2x+3y-5=0
5.如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )
A.1
a
B.a
C.-1
a D.-1
a
或不存在
6.(河北唐山五十九中高二月考)已知△ABC三个顶点坐标分别为
A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),则AB边上的高所在直线的斜率
为.
7.若直线l1,l2的斜率是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,若直线l1,l2垂直,则t= .
8.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是
A(1,2),B(n-1,3),C(-1,3-n).
(1)若∠A是直角,求实数n的值;
(2)求过坐标原点,且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程.
B级关键能力提升练
+y=1,则实9.已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是x
2
数m的值是( )
A.-2
B.-7
C.3
D.1
10.(广州大学附属中学高二月考)已知直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2为2x+y-1=0,直线l3为+n的值为( )
A.-10
B.-2
C.0
D.8
11.(多选题)(山东济南山师附中高二期中)已知直线l1:-2)=-1或m=3
B.若l1∥l2,则m=-1
C.若l1⊥l2,则m=-1
2
D.若l1⊥l2,则m=1
2
12.(多选题)(湖北荆州高二期末)已知直线l1:3y+1=0,则下列表述正确的有( )
A.直线l2的斜率为-6
m
B.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-18
C.直线l1倾斜角的正切值为3
D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=2
13.点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程
为,线段MH的垂直平分线的方程为. 14.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,试求点D的坐标.
15.若△ABC的顶点A的坐标为(2,3),三角形其中两条高所在的直线方程为x-2y+3=0和x+y-4=0,试求此三角形的边AB,AC所在直线的方程.
C级学科素养创新练
16.已知直线l1:xcos2α+√3y+2=0,若l1⊥l2,则直线l2的倾斜角的取值范围是( )
A.[π
3,π
2
) B.[0,π
6
)
C.[π
3,π
2
] D.[π
3
,5π
6
]
17.(多选题)(河北高二学情监测)已知直线l1:xsin α+y=0与直线l2:x+3y+c=0,则下列结论中正确的是( )
A.直线l1与直线l2可能相交
B.直线l1与直线l2可能重合
C.直线l1与直线l2可能垂直
D.直线l1与直线l2可能平行
参考答案
2.3 两条直线的位置关系 2.
3.1 两条直线平行与垂直的判定
1.C 对于A,k 1k 2=2
3
×4
6
=4
9
≠-1,因此l 1与l 2不垂直;
对于B,k 1k 2=23×(-46)=-4
9≠-1,因此l 1与l 2不垂直;
对于C,k 1k 2=(-2
3)×3
2
=-1,因此l 1⊥l 2; 对于D,k 1k 2=(-2
3)×2
3=-4
9
≠-1,因此l 1与l 2不垂直.故选C. 2.ABC 与直线2x-y-3=0平行的直线都可以化为2≠-3)的形式,因此选项A,B,C 符合,故选ABC.
3.ABD 直线l:x-2y-2=0的斜率k=1
2,在y 轴上截距为-1.
对于A,直线x-2y-1=0的斜率为12
,在y 轴上截距为-1
2
,∴直线x-2y-1=0与
直线l 平行,故A 正确;
对于B,直线x-2y+1=0的斜率为1
2
,在y 轴上截距为1
2
,∴直线x-2y+1=0与直
线l 平行,故B 正确;
对于C,直线x+2y-1=0的斜率为-1
2,∴直线x+2y-1=0与直线l 不垂直,故C
错误;
对于D,直线2x+y-2=0的斜率为-2,∴直线2x+y-2=0与直线l 垂直,故D 正确. 故选ABD. 4.B 由题可知,k AB =
-2-11-3
=32
,则过点C 且与线段AB 平行的直线的斜率为3
2
.
又该直线过点(1,1),则该直线方程为y-1=32
(x-1),整理得3x-2y-1=0. 5.D 当a≠0时,由l 1⊥l 2得k 1·k 2=a·k 2=-1,解得k 2=-1
a ;当a=0时,l 1与x
轴平行或重合,则l 2与y 轴平行或重合,故直线l 2的斜率不存在.故直线l 2的斜率为-1
a 或不存在.
6.-45
由题可得k AB =
6-(-4)6-(-2)
=5
4
.
设AB 边上高线的斜率为k,则k·k AB =-1, 即k·5
4
=-1,解得k=-4
5
.
所以AB 边上的高所在直线的斜率为-4
5
.
7.-1 设直线l 1,l 2的斜率分别是k 1,k 2.因为k 1,k 2是一元二次方程x 2-7x+t=0的两根,则k 1·k 2=t.又直线l 1,l 2垂直,所以k 1·k 2=-1.故可得t=-1.
8.解(1)当n=2时,∠A 不是直角,不合题意; 当n≠2时,∵∠A 是直角,∴k AB ·k AC =-1, 即
3-2n -1-1
·
3-n -2-1-1
=-1,解得n=5
3
.
综上所述,实数n的值为5
3
.
(2)∵直线l与△ABC的高AD垂直,∴直线l与直线BC平行或重合.
∵B,C不重合,∴n≠0,∴直线l的斜率k=k BC=3-(3-n)
n-1-(-1)
=1,
又直线l过坐标原点,∴直线l的方程为x-y=0.
9.C 由题知直线x
2+y=1的斜率为-1
2
,则直线MN的斜率为2,即k MN=4
m-1
=2,
解得m=3.
10.A 由题意可得直线l1,l2,l3的斜率存在,分别设为k1,k2,k3.
因为l1∥l2,所以k1=k2,即4-m
m+2
=-2,解得m=-8.
因为l2⊥l3,所以k2·k3=-1,即(-2)×-1
n
=-1,解得n=-2.所以
m+n=-8+(-2)=-10.故选A.
11.AD 若l1∥l2,则1×3-m(m-2)=0,解得m=3或m=-1,故A正确,B不正确;
若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=1
2
,故C不正确,D正确.故选AD. 12.BD 当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误;
当直线l1垂直于直线l2,则有3×6+1×m=0,解得m=-18,故B正确;
由题知,直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误;
当直线l1平行于直线l2,则-3=-6
m ,且3≠-1
m
,解得m=2,故D正确.
故选BD.
13.在直线l 上的射影是点H,则直线l 与直线MH 垂直,所以直线l 的斜率为k=1.故直线l 的方程为y-4=H 的中点.
由题知,线段MH 的中点为(0,3),且垂直平分线的斜率等于直线l 的斜率,所以垂直平分线的方程为y-3=x,整理得x-y+3=0.
14.解设D(x,y),则k AB =
23-1=1,k BC =4-20-3=-23,k CD =y -4x ,k DA =y x -1.
因为AB ⊥CD,AD ∥BC,
所以k AB ·k CD =-1,k DA =k BC ,即{1×y -4x =-1,y x -1=-23, 解得{x =10,y =-6.
故点D 的坐标为(10,-6). 15.解因为点A 的坐标不满足所给的两条高所在直线的方程,所以所给的两条直线方程是过顶点B,C 的高所在直线的方程.又所给两条直线的斜率分别为12,-1,若k AB =-2,则k AC =1,则直线AB 的方程为y-3=-2(x-2),整理得2x+y-7=0,直线AC 的方程为y-3=x-2,整理得x-y+1=0.
同理,若k AC =-2,则k AB =1,则直线AC 的方程为2x+y-7=0,直线AB 的方程为
x-y+1=0.
16.C 当cos 2α≠0时,k 1=-√3cos 2α3
. ∵l 1⊥l 2,∴k 1·k 2=-1,∴k 2=
√3cos 2α. ∵0<cos 2α≤1,∴k 2=√3cos 2α≥√3.
设l 2的倾斜角为θ,θ∈[0,π),
则tanθ≥√3,∴π3≤θ<π2; 当cos 2α=0时,直线l 1的斜率为0,倾斜角为0. ∵l 1⊥l 2,∴l 2的倾斜角θ=π2. 综上,直线l 2的倾斜角的取值范围为[π3,π2]. 故选C.
17.ABD 由题知,直线l 1:xsinα+y=0的斜率为k 1=-sinα,过定点(0,0),直线l 2:x+3y+c=0斜率为k 2=-13,过点(-c,0). 若直线l 1与直线l 2相交,则sinα≠13,而-1≤sinα≤1,即sinα≠13成立,故选项A 正确;
若直线l 1与直线l 2重合,则c=0,且sinα=13,而-1≤sinα≤1,故选项B 正确;
若直线l 1与直线l 2垂直,则k 1k 2=13sinα=-1,则sinα=-3,与-1≤sinα≤1矛盾,则直线l 1与直线l 2不可能垂直,故选项C 错误; 若直线l 1与直线l 2平行,则sinα=13且c≠0,而-1≤sinα≤1,可以有sinα=13,故选项D 正确. 故选ABD.。