第十七章 勾股定理章末核心要点分类整合课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

∵∠MAB＋∠ABM＝90°，∠NBC＋∠ABM＝90°，
∴∠MAB＝∠NBC.∴△AMB≌△BNC.∴BM＝CN＝2.
在 Rt△ ABM 中，由勾股定理得 AB2＝AM2＋BM2，∴AB＝ 5.
1
5
∴S△ ABC＝ AB·BC＝ .
2
2
好题必解
③当∠ACB＝90°，CA＝CB 时，如图③所示．
5
同理可得，S△ ABC＝ .
2
5
综上所述，△ ABC 的面积为 1 或 .
2
好题必解
类型 6 巧用勾股定理解方案问题
7. 【发现问题】
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠
萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
【提出问题】
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含
着什么数学道理呢？
好题必解
∴BC＝ AB2－AC2＝ 242－122＝12 3(千米)．
在 Rt△ ACD 中，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝45°.
∴CD＝AC＝12 千米．∴BD＝BC－CD＝(12 3－12)千米．
∵在 Rt△ BDE 中，∠ABC＝30°，
1
∴DE＝2BD＝(6 3－6)千米．
答：输油管道的最短长度是(6 3－6)千米．
滴蜜糖，一只小虫从E 处沿盒子表面爬到C
处去吃. 那么小虫爬行的最短路程为________.
25 cm
好题必解
方法2 对称法
4. [中考·广州]如图，正方形ABCD的边长为4，点E 在边BC
上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，
17
则CF＋EF的最小值为_______.
好题必解
竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，虫伤有病，一阵风
将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部
三尺远，问：原处还有多高的竹子？(
A．4尺
B．4.55尺
C．5尺
D．5.55尺
)
知识必学
解题秘方：竹子折断后刚好构成一个直角三角形，利用勾
股定理建立等量关系求解.
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10－x)尺.
定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形.
通过线段的数量关系来研究线段的位置关系，证明中经常
用到. 勾股定理的逆定理在中考中很少单独考查，一般作
为解答题的某一条件出现.
知识必学
例 2 [中考·北京] 如图17－2所示的网格是正方形网格，则
∠PAB＋ ∠PBA＝_____°(点A，B，P
是网格线交点).
度、长度等可以转化为求线段长度的问题时，首先看所求
线段能否看成某直角三角形的一边，若不能，可以先构造
直角三角形，然后再利用勾股定理进行求解.
知识必学
例 3 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一
个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去
本三尺，问折者高几何？”意思是：如图17－3，一根
解：∵ Rt△DAH≌Rt△ABE，∴ DH＝AE＝ 4，AH＝BE＝3.
∴ EH＝AE－AH＝ 4 －3＝1.
∵四边形EFGH 是正方形，
∴∠DHE＝90°.
∴ DE＝ 2＋2＝ 42＋12＝ 17 .
答案：C
知识必学
专题
2 勾股定理的逆定理
链接中考 >>勾股定理的逆定理是直角三角形的判定
＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作
PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，
则PD＋PE的长是 (
)
A. 4.8
B. 4.8 或3.8
C. 3.8
D. 5
方法必会
解题秘方：过点A作AF⊥BC于点F，连接AP，根据等腰三
角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，根据S△ABC＝
S△ABP＋S△ACP，代入数值计算即可．
好题必解
(2)使三角形的周长为 10＋ 5＋ 17.
解：如图②中的△ ABC 的三边长分别为 10， 5， 17，
周长为 10＋ 5＋ 17.
好题必解
类型 2 巧用勾股定理解折叠问题
2. [中考·徐州]如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使
C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图②是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为
(n－1)d
______ ， 共 铲 ______
2k 行 ， 则 铲 除 全 部 籽 的 路 径 总 长 为
2(n－1)dk
_________；
好题必解
方案2：图③是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总
2(k－1)dn
长为_________；
∴S△ ABC＝2AB·AC＝1.
好题必解
②当∠ABC＝90°，BA＝BC 时，如图②所示．
分别过点 A，C 作直线 l1 的垂线，垂足为 M，N，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°.
好题必解
∵l∥l1∥l2，直线 l1 与 l2 间的距离为 2，且 l 与 l1 间的距离等
于 l 与 l2 间的距离，∴CN＝2，AM＝1.
在l，l1 ，l2 上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的
面积．
好题必解
解：①当∠BAC＝90°，AB＝AC 时，如图①所示．
∵l∥l1∥l2，直线 l1 与 l2 间的距离为 2，且 l 与 l1 间的距离等
于 l 与 l2 间的距离，根据图形的对称性可知 BC＝2，
∴AB＝AC＝ 2.
1
好题必解
方案3：图④是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除
全部籽的路径总长．
好题必解
d2＋d2
2d
解：由图得斜着铲每两个点之间的距离为
＝ 2 ，
2
根据题意得一共有 2n 列，2k 行，
斜着铲相当于有 n 条线段长，共有(2k－1)个，
2
∴铲除全部籽的路径总长为 2 ×(2k－1)nd.
45
知识必学
解题秘方：延长AP 交格点于点D，连接BD，设每个小正
方形的边长为1，根据勾股定理的逆定理得∠PDB＝90 °，
最后根据三角形外角的性质得出结论．
知识必学
解： 如图17－2，延长AP交格点于点D，连接BD，设每个
小正方形的边长为1，则PD2＝BD2＝12＋22＝5，
PB2＝12＋32＝10，
∴ PD2＋DB2＝PB2.
∴ △PDB是等腰直角三角形，且
∠PDB＝90°.
∴∠DPB＝∠PAB＋∠PBA＝45°.
知识必学
专题 3
勾股定理的应用
链接中考 >>勾股定理作为直角三角形中最重要的性
质之一，描述了直角三角形三边之间的关系，主要用来求
线段的长度.在实际生活中，当我们遇到求距离、高度、宽
第十七章 勾股定理
章末核心要点分类整合
结构必知
核心必读
1. 勾股定理及其应用 勾股定理是反映直角三角形中三边关
系的性质定理，是求线段长度的常用依据之一，是数学
中从形到数的一个重要体现.
2. 勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是判定直角
三角形的重要方法之一. 题目中若告诉三角形三边的数
量关系，就需要借助勾股定理的逆定理加以判断.
类型 4 巧用勾股定理解实际问题
5. [中考·潍坊] 如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔
B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘
勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯
塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测
发现位于码头A北偏东15°方向的D处
石油资源丰富．
好题必解
若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最
根据勾股定理，得x2＋32＝(10－x)2，解得x＝4.55．
故原处还有4.55尺高的竹子．
答案：B
方法必会
专题
4 面积法
链接中考 >>利用三角形的面积之间的关系得到三角
形中边之间的关系的方法叫做面积法. 利用面积法可将三
角形的面积关系转化为三角形中底边或高线的关系.
方法必会
例 4 [中考·黑龙江龙东地区]如图17－4，在△ABC中，AB
∵∠BCB′＝ ∠C＝2＝3.
∴ B′C＝DC－B′D＝5－3＝2 .
∵ B′C2＋CP2＝B′P2，且B′P＝BP＝4－CP，
∴ 22＋CP2＝ (4－CP)2，
3
2
解得CP＝ .
方法必会
③ ∵ ∠B′BC 是等腰三角形B′PB的底角，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＋BE2＝AE2，
即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.
由(1)可得AF＝AE＝5，
∴FD＝AD－AF＝BC－AF＝8－5＝3.
好题必解
类型 3 巧用勾股定理解最短距离问题
方法1 展开法
3. 如图，桌子上有一个长方体盒子，长、宽、高分别是
12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一
的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接
BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP的长
3
2或
2
为_______．
方法必会
解： ∵ 四边形ABCD 是长方形，AB＝5，BC＝ 4，
∴ DC＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠D＝∠DCB＝90°.
由折叠得AB′＝AB＝5，B′P＝BP.
分以下三种情况讨论：①如图17－5 ①，
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
好题必解
证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，由长方形性质
可得AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF.
∴∠AEF＝∠AFE.
∴AE＝AF，即△AEF为等腰三角形．
好题必解
(2)求线段FD的长．
解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC－CE＝8－x.
△BCB′为直角三角形，且∠BB′C＝90°，
∴ ∠PB′C＋∠PB′B＝90°，∠PCB′＋∠PBB′＝90°.
易知∠PB′B＝∠PBB′，∴∠PB′C＝ ∠PCB′.
∴ B′P＝CP. ∴
1
1
CP＝BP＝ BC＝ ×4＝2.
2
2
方法必会
②如图17－5 ②，△BCB′为直角三角形，且∠BCB′＝90°，
答案：A
方法必会
专题
5 分类讨论思想
链接中考 >>当被研究的问题包含多种情况，不能一
概而论时，必须按可能出现的所有情况来分类讨论，得出
各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分
类讨论思想.
方法必会
例 5 [中考·齐齐哈尔]已知长方形纸片ABCD，AB＝5，
BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在
直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一
个小正方形EFGH组成，连接DE．
若AE＝4，BE＝3，则DE＝(
A．5
B．2 6
C． 17
D．4
)
知识必学
解题秘方： 本题综合考查全等三角形的性质和勾股
定理，利用Rt△DAH ≌ Rt△ABE 求出DH 和EH 的长
是解题关键.
知识必学
∴∠B′BC ≠ 90°.
3
2
综上所述，线段CP的长为2或 .
好题必解
类型 1 巧用勾股定理解网格问题
1. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每
个小正方形的顶点叫做格点. 以格点为顶点画三角形.
(1)使三角形的三边长分别为
3，2 2， 5 ；
好题必解
解：如图①中的△ABC即为所求的三角形．
短长度是多少千米(结果保留根号)？
解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，
∠BCF＝30°，AB∥FG，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°.
∴∠ACB＝180°－∠ACG－∠BCF＝90°.
好题必解
1
∵AB＝24 千米，∴AC＝2AB＝12 千米．
【分析问题】
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉
的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个
点表示不同的籽. 该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律
排列，每行有n个籽，每列有k个籽，
行上相邻两籽、列上相邻两籽的间
距都为d(n，k均为正整数，n＞k ≥ 3，
d＞0)，如图①所示．
好题必解
好题必解
类型 5 巧用勾股定理解面积问题
6. [中考·福建] 如图，已知直线l1∥l2．
(1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1
间的距离恰好等于l与l2 间的距离(要求：尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹)；
好题必解
解：如图，直线l就是所求作的直线．
好题必解
(2)在(1) 的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别
方法必会
解：如图17－4，过点A作AF⊥BC于点F，连接AP.
∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴ BF＝4 .
∴ AF＝ 2－2＝3.
∵ S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，
1
1
1
∴ ×8×3＝ ×5×PD＋ ×5×PE，
2
2
2
1
2
即12＝ ×5× (PD＋PE). ∴ PD＋PE＝ 4 .8．
知识必学
专题
1 勾股定理
链接中考 >>勾股定理是直角三角形的性质，可结合
直角三角形的其他性质，解决求线段的长、判断线段的数
量关系等问题，有时还需综合特殊直角三角形的性质解题.
勾股定理单独考查时，一般以填空题、选择题的形式出现.
知识必学
例 1 [中考·浙江]如图17－1，正方形ABCD由四个全等的