3.2半角公式课件高一下学期数学北师大版(1)

sin ,cos ,tan 的值.
2
2
2

sin
2
=
8 2 15
- 17 =-17.
1-cos
2
=
15
17 = 4√17,
1+
2
15

sin
17=-√17,tan =
2 =-4.

2
17
2
cos
2
1-
17
规律方法

已知θ的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤是:(1)利用
2
同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算
【例 2】 化简:
(-π<α<0).
2-2cos

2

2

2

2

2=

2

2

2

2 sin
2

2

2
(2sin2 -2sin cos )(sin +cos ) 2sin (sin -cos )(sin +cos )
解 原式=

2

2

sin
2
2×2sin2

2


-sin cos
2 =
2
.
的面积为100,则cos 2α=
7
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
,


sin -cos
2
2
=
-
√10
5
.
解析 由已知得 a2+b2=100,(a+b)2=196,且 a>b,解得 a=8,b=6,所以
cos
8
α=10
所以
=

sin
2
=
=
4
,所以
5
cos 2α=2cos
1-cos
;
60°=
2
1+ta n 30°
②sin
2tan60 °
120°=1+ta n 2 60°,请根据以上规律写出符合题意的一个等式

2tan15°
2 且有意义即可)
sin 30°=1+tan2 15°(只要符合公式 sin α=

1+tan2
2
2tan
(答案不唯一)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7.化简:

co s 2
2
2sin(π-)+sin2
解析

cos2
2
= 4sin α .
=
2sin+2sincos
1(1+cos)
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
=
4sin(1+cos)
=4sin α.
1+cos
B级
关键能力提升练
8.化简


sin2 +cos2
A.2+sin α
C.2
解析
2
+2sin
2
π
4

−
2
得( C )
B.2+√2sin
π
α-4
D.2+√2sin
π
α+ 4


原式=1+2sin2cos2+1-cos
2
=2+sin α-sin α=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
π

−
4
2
=2+sin α-cos
π
-α
2
9.已知 sin
2
2
4
4
8
8



∴cos2>0,cos4<0,cos8>0,
∴ 2- 2 + √2 + 2cos =
= 2-

2 + 2cos
2
=
2-
2- 2 +

2
4cos =
4
<
π
,
2

2
4cos
2

2 + 2cos
4
=


2
4cos =2cos .
8
8
探究点三
【例3】 求证:
证明
利用半角公式证明
1
-tan
2
α 成立.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
【例 1】 已知 sin
解 因为 sin

已知θ的三角函数值求 的三角函数值
8
α=- ,且
17
8
α=- ,且
17
3π
π<α< ,求
2
Hale Waihona Puke 3ππ<α< ,
2
所以 cos α=- 1-sin2 =- 1π
又
2
<

2
<
3π
,所以
4

1+cos
cos2==2


sin +cos 的值为
2
2
π

θ∈(π,2π),所以 ∈ 2,π
2
=
1-cos
2
=
.
,
4

1+cos
3
,cos == - ,所以
5
2
2
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
5


sin +cos
2
2
=
1
.
5
11.某同学在一次研究性学习中发现以下规律:
①sin
2tan30 °
复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思
想.
(2)证明恒等式的一般步骤:①先观察,找出角、函数名称、代数式结构等
方面的差异;②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”
等原则,设法消除差异,达到证明目的.
变式训练 3 求证:
co s 2

-tn


sin
2
sin (sin2 -cos2 )
=
π
因为-π<α<0,所以-2
<

<0,所以
2

2
-sin cos

sin2<0,所以原式=

-sin
2
=cos α.
规律方法
三角函数式化简时要注意:
(1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽
量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角
即可.
变式训练1求下列各式的值:
π
(1)sin ;
8
5π
(2)tan .
12
解
π
(1)sin8
=
1-cos
2
π
4=
1-
2
2 =
2
5π
3
1+
5π
6 =
2 =2+ 3.
(2)tan12 =
√
1
5π
sin
2
6
1-cos
2-√2
4
=
2-√2
2
;
探究点二
利用半角公式化简

2

2
(1-sin -cos )(sin +cos )
.
2
2
α
1- α
3.tan2 =± 1+α
=
正负的取舍根据
α
1+ α
=
1- α
.
α

所在象限
2
名师点睛
对半角公式的理解
(1)半角公式中的“半角”是相对的;
α
α
α
α
(2)在半角公式中,sin2 ,cos2 ,tan2 的符号由2 所在的象限确定;
(3)对于
α
α
4
α=-5.又

∴sin2
=

sin =
2
3√10
10

,tan =
2
4
α=5,

90°<2<135°,
1-cos
2
=
4
5 = 3√10,tan=-
1+
2
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
1-cos
=1+cos
4
5=-3.
4
15
1+
-3
.
2sin (π-)+sin2

cos2 =(

135°<2<180°,
1
3=-√6.
1+
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
√6
D.3
2.已知
1
cos(π+θ)=3,若
A.2√2
θ 是第二象限角,则
B.√2
解析 因为
1
cos(π+θ)= ,所以
3
又 θ 是第二象限角,所以 sin
所以

tan2
=
1-cos
C.√2
=
D.2
cos20°+sin20° √2cos25°
=
=
cos25°
cos25°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
√2.
5.(多选)已知函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1在[0,m]上单调递增,则m可取( AC )
π
A.
4
π
B.
2
3π
C.
8
D.π
解析 ∵函数 f(x)=sin 2x+2sin x-1=sin 2x-cos 2x=√2sin
11 √130
A.130
3
5
α=5,cos(α+β)=13 ,α,β
均为锐角,则
11 √130
B.
130
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3√130
C.
130

cos 2 =(
B )
3√130
D.130
10.已知 cos
解析 因为
所以

sin
2
7
θ=- ,θ∈(π,2π),则
25
.
C级
学科素养创新练
12.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理,成为我
国古代数学的骄傲,后人称之为“赵爽弦图”.如图,它是由四个全等的直角
三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,设直角三
角形AFB中AF=a,BF=b,较小的锐角∠FAB=α.若(a+b)2=196,正方形ABCD
2
π
在[0,m]上,2x-4∈
π
π
-4,2m-4
,函数
π
f(x)单调递增,∴2m-4
故选 AC.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
π
24
≤
,
π
,
求得
2
3π
8
0<m≤ .
6.已知 180°<α<270°且
4
sin(α+270°)= ,则
5
解析 ∵sin(α+270°)=-cos
∴cos
2.方法归纳:构造法、整体代换法.
3.常见误区:(1)半角公式符号的判断;(2)对于根式的处理.
成果验收·课堂达标检测
A级
必备知识基础练
1.若 cos
√3
A.
3
1
θ=3,且
270°<θ<360°,则
√6
B.
3

1+cos
cos2==2
D )
√6
C.±
3
解析 因为 270°<θ<360°,所以
所以
4

sin4=-
1-cos
2
2
1-
2
<

5π
<3π, 4
2

2=- 1-.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4
< <
3π
,
2
cos40 °
4.
的值为( C )
cos25 ° 1-sin40 °
A.1
解析
B.√3
cos2 20°-sin2 20°
原式=
cos25°(cos20°-sin20°)
2
t n
2
证明 左边=
1
cos2
1+cos-1-cos
sin
sin
∴原式成立.
=
1
sin
4
=
cos2 sin
2cos
2α.
=
1
sin
2
αcos
1
α=4sin
2α=右边,
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)半角公式及其生成过程;
(2)利用半角公式求值、化简或证明;
(3)公式的正用、逆用、变形用.
sin

tan2 =(
C.-√2
cos
1
θ=- .
3
2√2
θ= ,
3
= √2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B )
√2
D.
2
3.设

5π<θ<6π,cos =a,则
2
B.-
1+
2
D.-
解析 若
5π
5π<θ<6π,则 2
则
D )
1-
√1+
A.- 2
C.-

sin 等于(
北师大版 数学 必修第二册
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
成果验收·课堂达标检测
课程标准
1.能用二倍角公式推导半角公式.
2.能熟练运用半角公式求值、化简或证明.
基础落实·必备知识全过关
知识点 半角公式
α
1- α
1.sin =±
.
2
2
α
1+α
2.cos =±
sin ,cos 中
2
2
α 为任意角,但
α
tan 中
2
α≠(2k+1)π(k∈Z).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)sin 15°=±

(2)cos
2
π
(3)cos8
=
=
1-cos30 °
.(
2
1+cos
.(
2
1+cos