仙居县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

仙居县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 的倾斜角为（ ）
10y -+=A ． B ． C ．
D ．150
120
60
30
2． 实数x ，y 满足不等式组
，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（
）
A ．（1，1）
B ．（0，3）
C ．（，2）
D ．（，0）
3． 已知为的三个角所对的边，若，则,,a b c ABC ∆,,A B C 3cos (13cos )b C c B =-sin :sin C A =（
）
A ．2︰3
B ．4︰3
C ．3︰1
D ．3︰2
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．4． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[0，3]
C ．（﹣3，0]
D ．（﹣3，+∞）
5． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量
，
，若
，则角B 的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
　6． 双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合，则m 的值等于（
）
A ．12
B ．20
C ．
D ．7． 已知，，那么夹角的余弦值（
）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．﹣
8． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为
( )。

A3B4C5
D6
9． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．13
2
3
1
2
10．设a ＞0，b ＞0，若是4a 与2b 的等比中项，则+的最小值为（ ）
A ．2
B ．8
C ．9
D ．10
11．如图框内的输出结果是（
）
A ．2401
B ．2500
C ．2601
D ．270412．函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log
x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆
的方程为 ．
14．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则__________.
h
15．已知△的面积为，三内角，，的对边分别为，，．若，ABC S A B C 222
4S a b c +=+则取最大值时
．
sin cos(4
C B π
-+
C =16．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．
17．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为__________.
18．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．　
三、解答题
19．（本小题满分12分）1111]
已知函数()()1
ln 0f x a x a a x =+≠∈R ，．
（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；
（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PA 的中点，M 在PD 上．
（I ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若
，则当λ为何值时，平面BEM ⊥平面PAB ？
（Ⅲ）在（II ）的条件下，求证：PC ∥平面BEM ．
21．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．
23．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．
24．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
仙居县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
，可得直线的斜率为，故选C.1
10y -+=k =tan 60αα=⇒= 考点：直线的斜率与倾斜角.2． 【答案】 D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y 化为y=﹣2x+u ，u 相当于直线y=﹣2x+u 的纵截距，故由图象可知，
使u=2x+y 取得最大值的点在直线y=3﹣2x 上且在阴影区域内，故（1，1），（0，3），（，2）成立，
而点（，0）在直线y=3﹣2x 上但不在阴影区域内，
故不成立；
故选D ．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．　
3． 【答案】C
【解析】由已知等式，得，由正弦定理，得，则
3cos 3cos c b C c B =+sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，所以，故选C ．
sin 3sin()3sin C B C A =+=sin :sin 3:1C A =4． 【答案】 D
【解析】解：令f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1=0，易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
5．【答案】B
【解析】解：若，
则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）=0，
由正弦定理可得：（a+b ）（b ﹣a ）﹣c （a+c ）=0，
化为a 2+c 2﹣b 2=﹣ac ，
∴cosB=
=﹣
，
∵B ∈（0，π），∴B=，
故选：B ．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．　
6． 【答案】A 【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得
=4，解得m=12．
故选：A ．　
7． 【答案】A 【解析】解：∵，
，
∴
=
，||=，
=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos ＜＞=
=
=﹣
，
故选：A ．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．　
8． 【答案】B
【解析】由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B 9． 【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为的正方体21111ABCD A B C D -中的一个四面体,其中，∴该三棱锥的体积为，选B ．1ACED 11ED =1
12
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=10．【答案】B 【解析】解：∵是4a 与2b 的等比中项，
∴4a ×2b =
=2．
∴2a+b=1．又a ＞0，b ＞0．
+=（2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．
故选：B．
11．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500，
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】解：A、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，A不正确；
B、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，B不正确；
C、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f（x）=log x在定义域上是增函数，C不正确；
D、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f（x）=log x在定义
域上是减函数，D正确．
【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．
二、填空题
13．【答案】　（x﹣1）2+（y+1）2=5　．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，
∴a+b=0，①
且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②
又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，
根据垂径定理得：r2﹣d2=，
即r2﹣（）2=③；
由方程①②③组成方程组，解得
；
∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y+1）2=5．
故答案为：（x ﹣1）2+（y+1）2=5．
14．【答案】
【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱底面，且为直角三角形，且
VA ⊥ABC ABC ∆，所以三棱锥的体积为，解得.5,,6AB VA h AC ===115652032
V h h =⨯⨯⨯==4h =
考点：几何体的三视图与体积.
15．【答案】
4
π【解析】
考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现 及ab 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为2b 2a 正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列
不同形式.111sin ,,(),2224abc ab C ah a b c r R
++16．【答案】﹣2
≤a ≤2【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，
则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需△=9a 2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2
≤a ≤2．
故答案为：﹣2≤a ≤2【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
17．【答案】8
71-
<<-d 【解析】
试题分析：当且仅当8=n 时，等差数列}{n a 的前项和n S 取得最大值，则0,098<>a a ，即077>+d ，087<+d ，解得：871-<<-d .故本题正确答案为8
71-<<-d .考点：数列与不等式综合.
18．【答案】　﹣1054　．
【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，
∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ，
∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．
则b 5=2×17×（﹣31）=1054．
故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
三、解答题
19．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，
；（2）()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝
⎭ ，，．【解析】
试题分析：（1）由1a =⇒()22111'x f x x x x
-=-
+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当10x a =<，
即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]
①若1e a
≤
，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减，则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11ln 0f e a e a e e =+=+>，显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立．
②若10e a <
<，即1a e >时，则有10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a 1e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()
'f x -0+()f x ↘极小值↗
所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭
，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，，
综上，由①②可知，()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝
⎭ ，，符合题意．……………………………………12分考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.
【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.
20．【答案】
【解析】（I ）证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，平面PAB ∩平面ABCD=AB ，
∴AD ⊥平面PAB ．又PB ⊂平面PAB ，
∴AD ⊥PB ．
（II ）解：由（I ）可知，AD ⊥平面PAB ，又E 为PA 的中点，
当M 为PD 的中点时，EM ∥AD ，
∴EM ⊥平面PAB ，∵EM ⊂平面BEM ，
∴平面BEM ⊥平面PAB ．此时，．
（III ）设CD 的中点为F ，连接BF ，FM
由（II ）可知，M 为PD 的中点．
∴FM ∥PC ．
∵AB ∥FD ，FD=AB ，
∴ABFD 为平行四边形．
∴AD ∥BF ，又∵EM ∥AD ，
∴EM ∥BF ．
∴B ，E ，M ，F 四点共面．
∴FM ⊂平面BEM ，又PC ⊄平面BEM ，
∴PC ∥平面BEM ．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．…
当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，
f′（x）=﹣2x﹣1=﹣．
令f′（x）=0，解得x=．…
当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．…（2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，
所以k=F′（x0）=≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…
所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]…
当x0=2时，﹣x02+x0取得最大值0．所以a≥0．…
（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴m=1+，…
设g（x）=1+，则g′（x）=．…
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，…1 0分
∴g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，…
所以m=1+，或1≤m＜1+．…
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA==，
又∵A∈（0，π），
∴A=；
（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），
∴sinB==，
由正弦定理=，得a===3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．　
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），
∴log a4=2，a=2，则g（x）=log2x．…
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，
∴．…
（Ⅱ）∵f（x﹣1）＞f（5﹣x），
∴，
即，解得1＜x＜3，
所以x的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，
∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，
又|F1F2|=2c=10，
∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．。