指数函数(2知识点+9题型+强化训练)(学生版) 2024-2025学年高一数学上学期必修第一册学案

4.2 指数函数
课程标准
学习目标
（1）通过具体实例, 了解指数函数的实际意义, 理解指数函数的概念;
（2）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

（1）理解指数函数的定义;（2）了解指数爆炸和指数衰减；（3） 掌握指数函数的图象与性质；
（4）掌握指数函数图象与性质的应用.（难点)
知识点01 指数函数的概念
（1）概念
一般地，函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 解释
(1)指数函数y =a x (a >0且a ≠1)中系数为1，底数是不为1的正实数的常数，指数是变量x .注意与幂函数的区别，如y =2x 是指数函数，y =x 3是幂函数.(2)指数函数中为什么要限制a >0且a ≠1
呢？
①
若a <0，则对于x 的某些值a x 无意义，如(―2)x ，此时x 取1
2、1
4…等没意义；其函数图象没明显特点；② 若a =0或a =1时，函数没研究价值.（2）指数爆炸和指数增长
①当底数a >1时，指数函数的值岁自变量的增长而增大，底数较大时指数函数的值增长速度惊人，被称为指数爆炸；
② 指数函数y =a x (a >0且a ≠1)在长为T 的周期区间[u,u +T]中函数值增长a u +T ―a u ，增长率为a u +T ―a u
a u
=
a T ―1，它是个常量，我们称之为指数式增长，也称指数增长。

（3）指数衰减
当底数a 满足0<a <1时，指数函数值岁自变量的增长而缩小以至无限接近于0，这叫做指数衰减.指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量.
【即学即练1】
若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为（ ）
A ．f (x )=x
B ．f (x )=x
13
C ．f (x )=2
x
D ．f (x )=
知识点02 指数函数的图象与性质
函数名称指数函数
定义
函数 y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数a >1
0<a <1
图象
定义域R 值域 (0,+∞)
过定点图象过定点(0,1)，即当x =0时，y =1．
奇偶性非奇非偶
单调性在R 上是增函数
在R 上是减函数
a 变化对图象的影响
在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
【即学即练2】
已知f(x)=x 2,g(x)=
(12
)x ―m ， 若对∀ x 1∈[―1,3]，∃ x 2∈[0,2]，f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是
（ ）
A ．[1
4,+∞)
B ．[―
354
,+∞)C ．[1,+∞)D ．[―8,+∞)
【题型一：指数函数的判定与求值】
例1．已知函数f(x)为指数函数，g(x)为幂函数，若ℎ(x)=f(x)+g(x)，且ℎ(1)=3，则f(―1)=．变式1-1．若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝.
变式1-2．已知指数函数f(x)图象过点(3,27)，则f(2)等于（）
A．3B．6C．9D．27
【方法技巧与总结】
1 一般地，函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
2 可用待定系数法求指数函数的解析式.
【题型二：指数型函数图像过定点问题】
例2．函数f(x)=a x+2―3的图象过定点A，且定点A的坐标满足方程mx+ny+2=0，其中m>0，
n>0，则1
m +4
n
的最小值为（）
A．6+B．9C．5+D．8
变式2-1．函数f(x)=a x―2+3(a>0且a≠1)的图象必经过定点（）A．(0,1)B．(1,1)C．(2,3)D．(2,4)
变式2-2．已知函数f(x)=a x―2+1(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=m x―n不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【方法技巧与总结】
指数型函数y=a x―m+n(m,n是常数)过定点(m,n+1)，过定点指的是该函数不管a取什么数，函数均过的点.
【题型三：根据指数型函数图像判断参数的范围】
例3．若直线y=2a与函数y=|a x―1|（a>0，且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值可以是（）
A．1
4B．1
2
C．2D．4
变式3-1．若函数y=2―x+1+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（）A．m≤―2B．m≥―2C．m≤―1D．m≥―1
变式3-2．若直线y=a
2
与函数y=|a x―1|（a>0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值不可以是（）
A．3
8B．3
4
C．3
2
D．3
变式3-3．已知函数f(x)=|2x―1|,x<2,
3
x―1
,x≥2,若函数y=f(x)图象与直线y=k有且仅有三个不同的交点，则实
数k的取值范围是（）
A．k>0B．0<k<1C．0<k<3D．1<k<3
【方法技巧与总结】
函数图象的变换
（1）平移变换，口诀：左加右减，上加下减
（2）对称变换
y =f (x )x 轴
y =―f(x)
例：y =―e x 图像可看成y =e x 图像关于x 轴对称得到.
y =f(x)y 轴
y =f(―x)例：y =e ―x 图像可看成y =e x 图像关于y 轴对称得到.（3） 翻折变换
y =f (x )去掉y 轴左边图像
保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称图像y =f(|x|)
例：y =e |x |的图像可看成由y =e x 图像对称变换得到.
y =f (x )保留x 轴上方图像
将x 轴下方图像翻折上去y = | f(x) |
例：y =|e x |的图像可看成由y =e x 图像对称变换得到.
【题型四：比较指数幂的大小】
例4．设a =0.1e 0.2,b =1
10,c =0.2e 0.1，则下列选项正确的是（ ）
A ．c <b <a
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．a <c <b
变式4-1．已知a=
b=
c
=a，b，c的大小关系是（）
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
变式4-2．已知a=0.32，b=20.1，c=30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<b<a
变式4-3．设a
=b=1.5―0.2，c=0.80.2，则（）
A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c
【方法技巧与总结】
比较指数幂数值大小的方法很多，当底数相等的指数幂可利用指数函数的单调性比较，当指数相等的指数幂可利用幂函数利用中间值(常常是0或1)比较，利用作差作商比较等等.
【题型五：求指数型函数的值域】
例5．已知f(x)=x2―2x+m,g(x)=e2x―1―1，若对∀x1∈
[0,3],∃x2∈
f(x1)=g(x2)，则实数
m的取值范围是（）
A．[2,e2―4]B．[1,e2―5]C．[2,e2―5]D．[1,e2―4]
变式5-1．已知函数f(x)=(2―a)x+3a,x<1
2x2+2x―2―1,x≥1的值域为R，则a的取值范围是（）
A．[―1,2)B．(―1,2)
C．―1
2,2D．―1
2
,2
变式5-2．已知函数f(x)=2ax2―x+1的值域为M．若(1,+∞)⊆M，则实数a的取值范围是（）
A
．―∞
B．0,C．
―∞,
∪+
∞D+∞
【方法技巧与总结】
利用指数函数的单调性可求指数型式子的值域。

【题型六：指数函数最值与不等式综合问题】
例6．已知g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数，且满足g(x)+ℎ(x)=2―x，若对任意的x∈[―1,1]都有不等式mℎ(x)―g(x)≥0成立，则实数m的最小值为（）.
A．1
3B．3
5
C．1D．―3
5
变式6-1．已知函数f(x)=22x―a⋅2x+4，若f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(―∞,4]B．(―∞,2]C．[4,+∞)D．[2,+∞)
变式6-2．已知函数f(x)=
e x+a,x<a
x2+2ax,x≥a，f(x)不存在最小值，则实数a的取值范围是（）
A．(―1,0)B+∞C．(―1,0)∪+∞D．―1
3
,0∪(1,+∞)
变式6-3．若x∈(―∞,―1]，不等式(m―m2)4x+2x+1>0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m<―2或m>3B．m≤0或m≥1
C．―2<m<3D．0≤m≤1
【方法技巧与总结】
1 恒成立问题常常可转化为最值问题:
①∀x∈D , f(x)<a恒成立，则f(x)max<a；
②∀x∈D , f(x)>a恒成立，则f(x)min>a；
③∀x∈D , f(x)<g(x)恒成立，则F(x)=f(x)―g(x)<0 ∴f(x)max<0；
④∀x∈D , f(x)>g(x)恒成立，则F(x)=f(x)―g(x)>0 ∴f(x)min>0;
2 处理恒成立问题方法很多，可直接求解函数最值或分类参数法等；
3 遇到求类似m a x+n
pa x+q
形式的最值，可用分离常数法活换元法处理.【题型七：指数型函数图象变换的应用】
例7．设函数f(x)=|3x+1―1|,x≤1
9―x,x>1，若实数p,q,r满足：p<q<r，且f(p)=f(q)=f(r)，则w=3
p+
3q+r的取值范围为（）
A．(2,9)B．(9,11)C D
变式7-1．对于函数f(x)=2|x|,g(x)=2|x―1|，则（）
A．f(x)与g(x)具有相同的最小值
B．f(x)与g(x)在(0,+∞)上具有相同的单调性
C．f(x)与g(x)都是轴对称图形
D．f(x)与g(x)在(―∞,0)上具有相反的单调性
变式7-2．已知函数f(x)=|3x―1|,a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是（）A．a<0,b<0,c<0B．a<0,b≥0,c>0
C．a<0,b=―c,c>0D．3b+3c>2
变式7-3．已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≤0时，f(x)=|e x+1―1|，则不等式f(x)―+1>0的解集为（）
A．0,B．―∞C+∞D．―∞
【题型八：指数函数的实际应用】
例8．有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水．现把桶A中的水注入桶B中，t分钟后，桶A的水剩余y1=am t（升），其中m为正常数．假设5分钟后，桶A和桶B中的水相等，要使桶A中的水只有a
16
升，必须再经过（）
A．12分钟B．15分钟C．20分钟D．25分钟
变式8-1．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种
倍，则再经过6周，该植物的长度大约植物每周以a%的增长率生长.若经过4周后，该植物的长度是原来的3
2
是原来的（）
A B C D
变式8-2．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR 法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加p%．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（）．（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．36.9B．41.5C．58.5D．63.1
【题型九：指数型函数的综合运用】
例9．（多选）已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(x+2)=―f(―x)，当x∈(1,2]时f(x)=2x―2，则下列结论正确的有（）
A．f(―1)=0
B．f(x)的图象关于点(3,0)成中心对称
C．f(2024)>f(2025)
D．≤
变式9-1．已知函数f (x )=
2x
2x―1+1
，则下列说法不正确的是（ ）A ．函数f (x )单调递增
B ．函数f (x )值域为(0,2)
C ．函数f (x )的图象关于(0,1)对称
D ．函数f (x )的图象关于(1,1)对称
变式9-2．若实数x 1，x 2，x 3满足x 1⋅2x 2=x 1⋅3x 3=5，则下列不等关系不可能成立的是（ ）
A ．x 1<x 2<x 3
B ．x 2<x 3<x 1
C ．x 1<x 3<x 2
D ．x 3<x 1<x 2
变式9-3．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f(x)=f(2―x)，当x ∈[0,1]时，f (x )=2x .函数g(x)=e ―|x―1|(―1<x <3)，则f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
变式9-4．已知f (x )=2x +a
2x +b 是定义在R 上的奇函数．(1)试判断函数f (x )的单调性；
(2)已知g (x )=1+f (x )
1―f (x )，若对任意x ∈R 且x ≠0，不等式g (2x )+1
g (2x )≥m g (x ―18恒成立，求实数
m 的取值范围．
变式9-5．设函数y =f (x )在区间D 上有定义，若对任意x 1∈D ，都存在x 2∈D 使得：x 1+f (x 2)
2
=m ，则称函
数y =f (x )在区间D 上具有性质p (m ).
(1)判断函数f (x )=2x 在R 上是否具有性质p (0)，并说明理由；
(2)若函数f (x )=3x ―1在区间[0,a ](a >0)上具有性质p (1)，求实数a 的取值范围；
(3)设t ∈[0,2]，若存在唯一的实数m ，使得函数f (x )=―x 2+2x +3在[0,2]上具有性质p (m )，求t 的值.
一、单选题
1．已知a=0.60.5，b=0.50.5，c=0.50.6.则（）
A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>c>a
2.已知实数a，b满足等式3a=6b，则下列关系式中不可能成立的是（）
A．a=b B．0<b<a C．a<b<0D．0<a<b
3.已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数m(t)=a⋅2kt，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（）名A．10000B．8000C．4000D．3500
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[―2.1]=―3，[3.1]=3，已
知函数f(x)=2x+4
2x+1
，则函数y=[f(x)]的值域为（）
A．{0,1,2,3}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{1,2}
5.设x∈R，若函数f(x)为单调函数，且对任意实数x，都有f(f(x)―2x)=1，则f(―2)的值等于（）
A．―1
2B．―1
4
C．1
2
D．1
4
6.已知函数f(x)=2x―1―1
2x―1+1
图象与函数g(x)=(x―1)3图象有三个交点，分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，则x1 +y1+x2+y2+x3+y3=（）
A．1B．3C．6D．9
7. 已知函数f(x)=3x+m
3x+1
，若对任意x1、x2、x3∈R，总有f(x1)、f(x2)、f(x3)为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（）
A,1B．[0,1]C．[1,2]D,2
8.设4m+3(m―1)⋅2m―1=0，4n+3n⋅2n+1―4=0，则m+n=（）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
9．已知函数y=a x―b（a>0且a≠1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a b>1B．a+b>1C．b a>1D．2b―a<1
10.设函数f(x)=2x―1+21―x，则下列说法错误的是（ ）
A．f(x)在(0,+∞)上单调递增
B．f(x)为奇函数
C．f(x)的图象关于直线x=1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
11.已知函数f(x)=|2x―1|，当a<b<c时，有f(a)>f(c)>f(b)．给出以下命题，则正确命题的有
（）
A．a+c<0B．b+c<0C．2a+2c>2D．2b+2c>2
三、填空题
12．指数函数y=a x（a>0且a≠1）的图像过点(2,4)，若x=2时，y=y1；x=4时，y=y2，则y1y2 =．
13.已知f(x)=2―x―2x―x，则f(x2―3)+f(2x)<0的解集为．
14.已知函数f(x)=x2―2x+2，g(x)=+1
―m，若对任意x1∈[0,3]，都存在x2∈[―2,―1]，使得f
(x1)≤g(x2)，则实数m的取值范围是．
四、解答题
15．已知函数f(x)=x+1,x≤0
2x,x>0
(1)求f f
(2)画出函数f(x)的图象，根据图象写出函数f(x)的单调区间；
(3)若f(x)≥2，求x的取值范围.
16.已知函数f(x)=b⋅a x（其中a，b为常量，且a>0，a≠1，b≠0）的图象经过点A(1,10)，B(2,50)．(1)求a，b的值;
(2)若关于x的不等式b x―≥m+3在[―2,2]上有解，求m的取值范围．
17.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=a x(a>0,a≠1)，且f(―2)=1
，
4
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若方程(f(x))²―4f(x)=m―1有两个不同的实数解，求实数m的取值范围;
18.已知函数f(x)=a⋅2x―2―x是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值，并证明：f(x)在R上单调递增；
(2)求不等式f(3x2―5x)+f(x―4)>0的解集；
(3)若g(x)=4x+4―x―2mf(x)在区间[―1,+∞)上的最小值为―2，求m的值.
19．已知f(x)=a x+b
a x―
b （a>0且a≠1）是R上的奇函数，且f(1)=1
3
(1)求f(x)的解析式；
(2)把区间(0,2)等分成2n份，记等分点的横坐标依次为x i, i=1,2,3,⋯,2n―1，g(x)=5
4―2
2x―1+1
，记F(n)
=g(x1)+g(x2)+g(x3)+⋯+g(x2n―1)(n∈N∗)，是否存在正整数n，使不等式f(2x)
f(x)
≥F(n)有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由；
(3)函数f(x)在区间[m,n](m<n)k∈R)，求k
a
的取值范围．。