北部湾中考数学课件热考题型突破篇2-2

痕为MN,则AM与BM的数量关系为
;
[思考说理]
(2)如图②,在三角形纸片ABC中,AC=BC=6,AB=10,将△ABC折叠,使点B与点C重合,
折痕为MN,求 AM 的值;
BM
[拓展延伸] (3)如图③,在三角形纸片ABC中,AB=9,BC=6,∠ACB=2∠A,将△ABC沿过顶点C的 直线折叠,使点B落在边AC上的点B′处,折痕为CM. ①求线段AC的长; ②若点O是边AC的中点,点P为线段OB'上的一个动点,将△APM沿PM折叠得到 △A′PM,点A的对应点为点A′,A′M与CP交于点F,求 PF 的取值范围.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠DAE=90°,AB=AD=BC,
∵点E,F分别是AB,BC的中点,
∴AE= 1 AB,BF= 1 BC,
2
2
∴AE=BF,∴△ABF≌△DAE(SAS).
(2)在正方形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AD=CD=2, ∴AC= AD2 CD2 22 22 2 2， ∵AB∥CD,∴△AGE∽△CGD,
略
3.(2020·辽阳)如图,射线AB和射线CB相交于点B,∠ABC=α(0°<α<180°),且 AB=CB.点D是射线CB上的动点(点D不与点C和点B重合),作射线AD,并在射线AD上 取一点E,使∠AEC=α,连接CE,BE. (1)如图①,当点D在线段CB上,α=90°时,请直接写出∠AEB的度数; (2)如图②,当点D在线段CB上,α=120°时,请写出线段AE,BE,CE之间的数量关 系,并说明理由;
°;
(2)探究证明:如图2,当AD≠AF时,请探究∠ACE的度数是否为定值,并说明理由;
(3)拓展运用:如图3,在(2)的条件下,当 EF 1 时,过点D作AE的垂线,交AE于
AF 3
点P,交AC于点K,若CK= 16，求DF的长.
3
略
(三)动面问题
1.(2020·淮安)[初步尝试]
(1)如图①,在三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,将△ABC折叠,使点B与点C重合,折
3.(2020·常德)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB=90°,∠ABC=30°,过点D 作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接 BE,FP,BP,设BC与DE交于M,PB与EF交于N. (1)如图1,当D,B,F共线时,求证: ①EB=EP; ②∠EFP=30°;
(3)如图3,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,(1)中的结论是否成 立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
【解析】(1)∵G是△ABC的重心,∴ DG 1，
AG 2
又EF∥BC,∴ BE DG 1，CF DG 1，
AE AG 2 AF AG 2
则 BE CF 1 1 1.
BE 1，则 BE CF 1,
AE
AE AF
同理:当点E在AB的延长线上时, BE CF 1，
AE AF
∴结论不成立.
2.(2019·常德)在等腰三角形△ABC中,AB=AC,作CM⊥AB交AB于点M,BN⊥AC交 AC于点N. (1)在图1中,求证:△BMC≌△CNB. (2)在图2中的线段CB上取一动点P,过P作PE∥AB交CM于点E,作PF∥AC交BN于 点F,求证:PE+PF=BM.
∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,
∴ 1·AB·CG= 1·AB·DE+ 1·AC·DF,
2
2
2
∵AB=AC,∴CG=DE+DF.
(3)结论不变:CG=DE+DF. 理由:如图,连接AD.
∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,
又BM+CM=BM+CD+DM, 而D是BC的中点,即BD=CD, ∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM, ∴ BE CF 2DM，
AE AF AN
又∵ DM DG 1， BE CF 2 1 1，
AN AG 2 AE AF 2
故结论成立;
(3)(1)中结论不成立,理由如下: 当F点与C点重合时,E为AB中点,BE=AE, 点F在AC的延长线上时,BE>AE,
联系拓展: (3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC 上,且点F与点C不重合)时,请你判断(2)中的猜想是否仍然成立?(不用证明)
【解析】(1)∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠CAG,AB=AC, ∴△FAB≌△GAC(AAS),∴FB=CG. (2)结论:CG=DE+DF. 理由:如图,连接AD.
PF CF
【解析】(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到, ∴AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE, 在Rt△ABD中,∠B=∠ADB=45°, ∴∠ADE=∠B=45°, ∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.
(2)①DF=PF. 证明如下:由旋转的性质可知,AC=AE,∠CAE=90°, 在Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°, ∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°, ∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD, 即∠FPD=∠FDP, ∴DF=PF如下: 如图2,过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE、CB的延长线相交于点M,
则△BME∽△ANE,△CMF∽△ANF,
BE BM，CF CM， AE AN AF AN
BE CF BM CM BM CM， AE AF AN AN AN
(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上,类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点 E,作PF∥AC交NB的延长线于点F,求证:AM·PF+OM·BN=AM·PE.
【证明】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵CM⊥AB,BN⊥AC,∴∠BMC=∠CNB=90°,
MBC NCB
在△BMC和△CNB中,BMC CNB，
AG AE ，即 AG 1，AG＝2 2 .
CG CD 2 2 AG 2
3
(3)当BF=
8 3
时,AG=AE,理由如下:
如图所示,设AF交CD于点M,
若使AG=AE=1,则有∠1=∠2, ∵AB∥CD,∴∠1=∠4,
又∵∠2=∠3,∴∠3=∠4,∴DM=MG,
在Rt△ADM中,AM2-DM2=AD2,即(DM+1)2-DM2=22,
BC CB
∴△BMC≌△CNB(AAS).
(2)∵△BMC≌△CNB,∴BM=NC, ∵PE∥AB,∴△CEP∽△CMB,∴ PE CP ，
BM CB
∵PF∥AC,∴△BFP∽△BNC,
PF BP ， PE PF CP BP 1， NC BC BM BM CB CB
∴PE+PF=BM. (3)同(2)的方法得到,PE-PF=BM, ∵△BMC≌△CNB,∴MC=BN,
∴ ·1 AB·CG= 1·AB·DE+1 ·AC·DF,
2
2
2
∵AB=AC,∴CG=DE+DF.
3.(2020·福建)如图,△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到,且点B 的对应点D恰好落在BC的延长线上,AD,EC相交于点P. (1)求∠BDE的度数; (2)F是EC延长线上的点,且∠CDF=∠DAC. ①判断DF和PF的数量关系,并证明; ②求证: EP PC .
又 EP DH， PF HF
EP PC . PF CF
4.(2020·十堰)如图1,已知△ABC≌△EBD,∠ACB=∠EDB=90°,点D在AB上,连
接CD并延长交AE于点F.
(1)猜想:线段AF与EF的数量关系为
;
(2)探究:若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转,当∠CBE小于180°时,得到图
∵∠ANB=90°,∴∠MAC+∠ABN=90°, ∵∠OMB=90°,∴∠MOB+∠ABN=90°, ∴∠MAC=∠MOB,又∠AMC=∠OMB=90°, ∴△AMC∽△OMB,∴ AM OM，
MC MB
∴AM·MB=OM·MC, ∴AM·(PE-PF)=OM·BN, ∴AM·PF+OM·BN=AM·PE.
2.几何类比探究题
【类型一】 以三角形为题面的有关问题 (一)动点问题 1.(2020·牡丹江市)在等腰△ABC中,AB=BC,点D,E在射线BA上,BD=DE,过点E作 EF∥BC,交射线CA于点F.请解答下列问题:
(1)当点E在线段AB上,CD是△ACB的角平分线时,如图①,求证:AE+BC=CF;(提示:
延长CD,FE交于点M)
(2)当点E在线段BA的延长线上,CD是△ACB的角平分线时,如图②;当点E在线段
BA的延长线上,CD是△ACB的外角平分线时,如图③,请直接写出线段AE,BC,CF之
间的数量关系,不需要证明;
(3)在(1)、(2)的条件下,若DE=2AE=6,则CF=
.
略
2.(2020·武汉)问题背景
②过点P作PH∥ED交DF于点H, ∴∠HPF=∠DEP, EP DH，
PF HF
∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP, ∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC, ∴∠DEP=∠DAC, 又∵∠CDF=∠DAC, ∴∠DEP=∠CDF, ∴∠HPF=∠CDF,
又∵FD=FP,∠F=∠F, ∴△HPF≌△CDF(ASA), ∴HF=CF, ∴DH=PC,
2,连接CD并延长交AE于点F,则(1)中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不
成立,请说明理由;
(3)拓展:图1中,过点E作EG⊥CB,垂足为点G.当∠ABC的大小发生变化,其他条件 不变时,若∠EBG=∠BAE,BC=6,直接写出AB的长.
略
【类型二】 以四边形为题面的有关问题 (一)动点问题 1.(2020·海南)四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连接DE,点F是射 线BC上一动点(不与点B重合),连接AF,交DE于点G. (1)如图1,当点F是BC边的中点时,求证:△ABF≌△DAE; (2)如图2,当点F与点C重合时,求AG的长; (3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由.
(2)如图2,当D,B,F不共线时,连接BF,求证:∠BFD+∠EFP=30°. 略
4.(2020·襄阳)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,DE⊥DA且DE=DA,
AE交边BC于点F,连接CE.
(1)特例发现:如图1,当AD=AF时,
①求证:BD=CF;
②推断:∠ACE=
MF
略
2.(2020·青海)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.
特例感知: (1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条 直角边与AC重合,另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度,得 到BF=CG.请给予证明. 猜想论证: (2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边重合,另一 条直角边交BC于点D,过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE,DF与 CG的长度,猜想并写出DE,DF与CG之间存在的数量关系,并证明你的猜想.
如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;
尝试应用
如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相
交于点F,点D在BC边上,
AD＝ BD
3， 求
DF CF
的值;
拓展创新 如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=2 3，直接 写出AD的长.
(3)当α=120°,tan∠DAB= 1 时,请直接写出 CE 的值.
3
BE
略
(二)动线问题 1.(2019·乐山)在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线 分别交AB,AC于点E,F. (1)如图1,当EF∥BC时,求证: BE CF =1.
AE AF
(2)如图2,当EF和BC不平行,且点E,F分别在线段AB,AC上时,(1)中的结论是否成 立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.