高考数学全国各地名校重组卷02 理(教师版)课标版

2013年高考全国各地名校重组卷之数学理（课标版）02（教师版）
【组卷说明】本卷以各地名校2013届高三入学、月考、期中试题为主题、以课标卷为模板、以“高考考试大纲”为指导进行组卷，是高考复习必备的优秀试卷。

本卷针对高考考点，难易程度重新组合试题，内容覆盖各个章节，形式均按高考要求，由易到难，由简到繁。

能力要求上主要以几个知识点交汇命题考查考生理解问题、分析问题、解决问题的能力，综合所学知识解决数学问题的能力。

如：选择题的1、3、5、7，填空题的10以及解答题中的19，20，21均是两个或两个以上知识点交汇命题，考查考生的综合解题能力。

同时几何证明选讲、极坐标与参数方程以固有的形式分布在固定的题数14、15题上。

以各个知识点交汇处命题是近年高考的热点与趋势。

希望本卷对大家有所帮助
第一部分选择题(共 40 分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（山东师大附中，期中试题）
已知全集U R =，集合{}{}
()3021,log 0,x U A x B x x A C B =<<=>⋂=则（ ） A.{}1x x > B.{}0x x > C.{}01x x << D.{}
0x x < 2．（河北邯郸一中，期中）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M . 若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
A ．4 D
3.（浙江诸暨中学，期中）
“2a =”是 “函数()2x f x ax =-有 零点”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（黑龙江哈九中，第二次月考）已知函数3=3+y x x c -的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝
.A 11或- .B 93或- .C 22或- .D 31或-
5.（广东中山一中，第四次统测）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区
间[)+∞,0上是
增函数.令⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则( ) A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<
义是高考命题的热点，但几乎不单独命题，经常与其他知识点交汇命题。

6．（黑龙江哈三中，期中）已知函数()x x x x f cos 3sin cos )(-=，则（C ）
A ．函数()x f 的周期为π2
B ．函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
6,6ππ上单调递增 C ．函数()x f 的图象关于直线12π-=x 对称 D ．函数()x f 的图象关于点⎪⎭⎫
⎝⎛0,6π对称
7.设不等式组 1230x x y y x ≥,⎧⎪-+≥,⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线
3x-4y-9=0对称.对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B,|AB|的最小值等于
( )
A.285
B.4
C.125
D.2 [答案]：B
[解析]:画出不等式组所表示的平面区域如下图所示, 观察图
形可知,D(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离最小,故D 关于
8．（湖北黄州区一中，期中）已知集合{P =正奇数}和集合
{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（ ）
A ．加法
B ．除法
C ．乘法
D ．减法
第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

9. （江苏无锡市一中，期中试题）设向量)3,(k =，)2,0(k -=，OA ，OB 的夹 角为︒120，则实数=k ．
[答案]：3
[解析]：
[考点定位]：本题考查向量数量积、模、夹角等基本运算，是高考必考内容，一般以选择、
填空题形式考查，属容易题。

10.当)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，则a 的取值范围为 ．
11.（湖北部分重点中学，第一次联考试题）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则公比q 等于 。

1cos120323OA OB k OA OB ⋅︒===-∴=⋅
[答案]：31
11．（湖南师大附中，月考）某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次
为2：3:4，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，那么此样本容量n=
12．
13、（华南师大中山附中，月考）在平面中ABC ∆的角C 的内角平分线CE 分∆ABC 面积所成的比AEC BEC S AC S BC
∆∆=, 将这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD -中，平面DEC 平分二面角A CD B --且与AB 交于E , 则类比的结论为______________．
[考点定位]：本题考查类比推理，其结论是有待证明的，但可为证明提供方向。

高考中，
归
纳推理、类比推理、演绎推理均是高考的热点，前两者以填空、选择的形式考查，后 者主要体现在解答题中。

考查考生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力。

第14、15题为选做题，只能选做一题，全答的，只计前一题的得分．
（14、15广东惠阳一中，月考）
14、在极坐标系中，过
圆
=6cos 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程
为 。

15、如右图，直线与圆相切于点，割线
经过圆心
， 弦⊥于点，，，则 .。

[答案]：12
5
[解析]：
[考点定位]：本题考查几何图形中线段长度的计算，是近年高考考几何选讲内容时主要考查
的内容之一，属容易题。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（广东执信中学，期中）.（本小题共12分）今有4种股票和3种基金，李先生欲购买
其中的任意3种产品.
（1）求李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率；
2 3.25.1112..225PCO PC PB PA PB PCO PC OC S PC OC PO CE PO ∆-⋅∴=∴∆⋅∴=⋅=⋅=2依题意:连结OC,由切割线定理得:PC =PA PB,PA==2.则OC=OB=在Rt 中即CE=
（2）记购
买的3种产
品中，包含基金的种数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
解：（1）设事件A 表示“李先生所购买的3种产品中，恰好只含一种基金” …………1分
[解析]：随机事件的概率计算，离散型随机变量及其分布列及数学期望等基础知识。

[考点定位]：高考中，对离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的均值与方差等的考 查以基础内容为主，但能力要求较高，属中等偏难的题目。

17.（湖北省部分重点中学，第二次阶段测试）（本小题满分12分）
已知函数()sin(2)sin(2)233f x x x x m ππ
=++-+-，若()f x 的最大值为1 （1）求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间;
（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ,若()1f B =b c =+，
试判断三角形的形状.
[答案]：
[解析]：（1）利用正弦和角、差角公式把函数化为()sin()f x A ωϕ=+，然后求最值与单
调 区间。

（2）结合（1）的结果，利用正弦定理解三角形，进而确定三角形形状。

[考点定位]：本题考查①三角函数中的和、差角公式，函数()sin()f x A ωϕ=+的性质； ②利用正弦定理实现边角互化解三角形。

这两个知识点均是高考考查的热点，难度不 大，属中低档题。

18、（广东六校教研协作体，月考）（本小题满分14分）
在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ， PD CD ⊥，
底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，90ADC ∠=︒，1AB AD PD ===，2CD =．
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --的大小为45︒．
[解析]：（1）利用面面垂直的性质以及已知条件可以得到：DP，DA，DC两两互相垂直，故可建立空间直角坐标系，建立各点坐标，通过坐标运算得0,
⋅=⊥，再
BC DB BC DB 根据线面垂直的判定定理，易证得BC⊥平面PBD。

（2）结合图形可知：平面PBD
--的平面角的大小。

用待定系与平面QBD的法向量的夹角的大小就是两面角Q BD P
λ表示法向量，根据两法向量的夹角为45︒，建立关于λ的等式，从而求得λ的值。

数
[考点定位]：本题考查线面垂直的证明，求二面角的大小。

利用空间向量解决立体几何问题是高考的热点，是每年高考的必考内容。

主要涉及直线、平面位置关系的判定，空间角的求法和空间几何体体积的计算，以中低难度为主。

例如：【2012高考真题北京理16】（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
∴CM与平面
A BE所成角的大小45 。

1
19、（江苏南通中学，期中）（本题14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 n S ＝2,1,2,3,n a n -=…． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （III ）设(3)n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
得 211b b -= 3212b b -=
2431()2b b -= (2)
112
n n n b b ---=（）（2,3n =…）
将这1n -个等式相加1
2321111()1111121()()()22()12222212
n n n n b b -----=+++++==--…
又∵11b =，∴1
132()2n n b -=-（1,2,3n =…） …………… 10分
（Ⅲ）∵1
1(3)2()2
n n n c n b n -=-=
∴0221
111112[()2()3()(1)()()]22222
n n n T n n --=++++-+… ①
而2311111112[()2()3()(1)()()]222222
n n
n T n n -=++++-+… ② ①－②得：01211111112[()()()()]2()222222n n
n T n -=++++-…
11()1811244()84()8(84)(1,2,3,)1222212
n
n n n n n T n n n n -=-=--=-+=-…… 14分 [解析]：
[考点定位]：本题考查等比数列的定义，累加法求通项公式，错位相减法求通项公式。

等比数列
是每年高考的热点内容，主要考查等比数列的通项公式，前n 项和公式及等比数列的性质。

数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和与裂项相消法求和 等。

例如：【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和kn n S n +-=2
2
1，*N k ∈,且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求a n ； （2）求数列}229{n
n
a -的前n 项和T n 。

【答案】
1
(1),2
=n+1n+1n+1n n+1n n n+1n n+1n a 利用a =S -S 消去前n 项和S ,S 得到关于a ,a 的关系式从而确定a ,a 的关系,a 即数列的性质特点(等比数列),进而确定数列的通项公式.
{}{}1111
(2)
(),2
n n n n n n b b b b b -++-=∴-是等比数列,从而利用累加法可求得的通项公式.
{}{}{}n n c a n n (3)令d =2n,则数列中各项是等差数列d 与等比数列对应项的乘积的形式,故可用错位相减法求前n 项和.此处注意是(1)式两边乘以等比数列的公比q 得到(2),再与(1)相减.
20．（湖北黄冈中学，月考）（本小题满分14分）已知函数[)1
()ln 1,sin g x x x θ
=++∞⋅在上为
增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m e
f x mx x x
-+=-
-，m ∈R ． （1）求θ的值；
（2）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值；
（3）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围．
x (0,21)e -
21e -
(21,)e -+∞
/()f x
+
-
()f x
极大值
(21)1ln(21)f e e -=---
例如：【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足满足1
2
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+
； （1）求()f x 的解析式及单调区间；
（2）若2
1()2
f x x ax b ≥
++，求(1)a b +的最大值.
21.（浙江绍兴一中，第二次阶段性测试）（本题满分14 分）
已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之
积为12
-
． （1）求点M 轨迹C 的方程；
（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在D 、F 之
间），试求ODE ∆与ODF ∆面积之比的取值范围（O 为坐标原点）．
即()()()2222
2412,2122.21x k x k λλ-⎧+-=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩
22
22
2141,(1)8(1)2k k λλλλ+∴==-++即． 2102k <<
且2
14k ≠24110(1)22λλ∴<-<+且2
411(1)24
λλ-≠+．
解得33λ-<+且13
λ≠
01λ<<，1223<<-∴λ且13
λ≠
．
故△ODE 与△ODF 面积之比的取值范围是113,133⎛
⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．……………12分 [解析]：（1）根据题意有“12
AM BM k k ⋅=-
”，从而得到关于M 点坐标x,y 的方程
，整理后即得M 点的轨迹方程。

但要注意使条件成立的前提
是方程中的x 不能为0。

（2）根据“ODE ODF
S S λ∆∆=
，则||
||DE DF λ=”可以知λ是随着
直线的斜率k 的变化而变化，故建立关于λ，k 的关系式，根据k 的取值范围来确定 λ的取值范围。

[考点定位]：本题考查直线与椭圆的位置关系。

近几年看，直线与圆锥曲线是高考的热点，
尤其是定点问题、定值问题、最值（范围）问题、探索问题等是高考的侧重点。

与文科 数学相比，理科中这类问题思路反而相对简单，但理数中解析几何大题最难的部分大概 就在于运算量大，知道怎么算却算不出来。

故在计算类似的题时，要多运用几何性质， 多动脑筋考虑如何可简化运算。

例如：【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)
x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，
．已知(1)e ，
和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i
）若12AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
（i
）由①②得，12AF BF -
得2m =2。

∵注意到0m >
，∴m 。

∴直线1AF
的斜率为
1m （ii ）证明：∵1AF ∥2BF ，∴
211BF PB PF AF =，即2121
1111
11BF PB PF BF AF PB PF AF PF AF +++=+⇒=。

∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。

由点B
在椭圆上知，12BF BF +=
()
1
1212
=
AF PF BF AF BF +。