2021年上海市杨浦区高考数学二模试卷-教师用卷

1
2019年上海市杨浦区高考数学二模试卷
副标题
题号 一 二 三 总分 得分
1. 若x 、y 满足{x −y ≥0
x +y ≤2y ≥0
，则目标函数f =x +2y 的最大值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域， 由z =x +2y ，得y =−1
2x +z
2，平移直线y =−1
2x +z
2，由图象可知当直线经过点A 时， 直线y =−1
2x +z
2的截距最小，此时z 最小， 由{x =y x+y=2
，得A(1,1)
此时z =1+2×1=3． 故选：C ．
作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
2. 已知命题α：“双曲线的方程为x 2−y 2=a 2(a >0)”和命题β：“双曲线的两条渐
近线夹角为π
2”，则α是β的( )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】解：若双曲线的方程为x 2−y 2=a 2(a >0)，
则双曲线为等轴双曲线，则双曲线的渐近线为y =±x ，双曲线渐近线的夹角为π
2，即充分性成立，
双曲线y 2−x 2=1的渐近线为y =±x ，满足双曲线渐近线的夹角为π
2，但双曲线的方程为x 2−y 2=a 2(a >0)不成立，即必要性不成立， 即α是β的充分不必要条件， 故选：A ．
根据等轴双曲线渐近线的夹角关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件判断，结合等轴双曲线的渐近线的夹角关系是解决本题的关键．
3. 对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样
的过程称为一次“镂空操作“，设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操
2
作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设A n 是第n 次挖去的小三角形面积之和(如A 1是第1次挖去的中间小三角形面积，A 2是第2次挖去的三个小三角形面积之和)，S n 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，则n →∞lim
S n =( )
A. √3
4 B. √33 C. √32
D. 1
2
【答案】A
【解析】解：依题意，A 1=√3
12
，当n ≥2时，A n+1=2A n
×1
3=2
3A n−1，
所以{A n }是以√3
12
为首项，以2
3为公比的等比数列，有因为公比不为1，
所以S n =
√3
12[1−(23
)n ]1−23
=
√34[1−(2
3)n ]，
所以：n →∞lim
S n =n →∞lim
√3
4[1−(2
3)n ]=√3
4．
故选：A ．
A 1=√3
12，当n ≥2时，A n+1=2A n ×1
3=2
3A n−1，故数列{A n }是等比数列，求其前n 项
和的极限即可．
本题考查了等比数列的定义，前n 项和公式，数列极限等知识，属于基础题．
4. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cosA =7
8，I 为△ABC 内部的
一点，且a IA ⃗⃗⃗⃗ +b IB ⃗⃗⃗⃗ +c IC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若AI ⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的最大值为( ) A. 5
4
B. 1
2
C. 5
6
D. 4
5
【答案】D
【解析】解：∵a IA ⃗⃗⃗⃗ +b IB ⃗⃗⃗⃗ +c IC
⃗⃗⃗⃗ =0， ∴a AI ⃗⃗⃗⃗ =b IB ⃗⃗⃗⃗ +IC ⃗⃗⃗⃗ ， ∴AI ⃗⃗⃗⃗ =b a (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AI ⃗⃗⃗⃗ )+c a (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AI ⃗⃗⃗⃗ )， ∴
a+b+c a
AI ⃗⃗⃗⃗ =b a AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c
a AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AI ⃗⃗⃗⃗ =b
a+b+c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c
a+b+c AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， {
x =b
a+b+c y =c a+b+c
.∴x +y =b+c
a+b+c =
1
a
b+c
+1．
又∵a 2=b 2+c 2−2bccosA 且cosA =7
8．
∴a 2=b 2+c 2−74bc =(b +c)2−15
4
bc
3
又∵(a b+c
)2
=
a 2(b+c)2
=
(b+c)2−154
bc
(b+c)2
≥
(b+c)2−154×14(b+c)2
(b+c)2
=
116
．
∴
a b+c
≥1
4
.∴x +y =
1
a
b+c
+1≤11
4
+1
=4
5． 故选：D ．
利用平面向量基本定理，向量的线性运算可求出x ，y 与a ，b ，c 的数量关系； 再利用整体思想及基本不等式就能求出x +y 的最大值．
本题考查了向量的线性运算，基本不等式求最值，注意整体代换的运用．
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 函数f(x)=1−2sin 2x 的最小正周期是______． 【答案】π
【解析】解：f(x)=1−2sin 2x =cos2x ∴函数最小正周期T =
2π2
=π
故答案为：π．
先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．
本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法.考查了三角函数的基础的知识的应用．
6. 方程组{2x +5y −4=0x−3y+1=0
的增广矩阵为______． 【答案】(1−3−1
254
)
【解析】解：由题意，可将题中方程组转化为下面的形式： {2x +5y =4x−3y=−1
，
∴方程组的增广矩阵为(1−3−1
254)，
故答案为：(1−3−1
254
)．
本题可以先将方程组转化成常数在等于号右边的形式，然后即可根据增广矩阵的定义写
出这个方程组的增广矩阵．
本题主要考查增广矩阵的定义，属基础题．
7. 若幂函数f(x)=x k 的图象过点(4,2)，则f(9)=______． 【答案】3
【解析】解：∵幂函数f(x)=x k 的图象经过点(4,2)， ∴4k =2； 解得k =1
2．
故f(x)=√x ，则f(9)=3， 故答案为：3．
求出幂函数的解析式，从而求出f(9)的值即可．
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
8. 若(1+3x)n 的二项展开式中x 2项的系数是54，则n =______．
4
【答案】4
【解析】解：(1+3x)n 的二项展开式中，
x 2项的系数是C n 2
⋅32=54， 化简得n 2−n −12=0，
解得n =4或n =−3(不合题意，舍去)， ∴n =4．
故答案为：4．
根据二项展开式定理求得x 2项的系数， 列方程求得n 的值．
本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．
9. 若复数z 满足(a +bi)2=3+4i(i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a 2+b 2=______． 【答案】5
【解析】解：由(a +bi)2=a 2−b 2+2abi =3+4i ，
得{2ab =4a 2
−b 2
=3，解得{b =1a=2或{b =−1a=−2
．
∴a 2+b 2=5． 故答案为：5．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
10. 函数y =−1+log a (x +3)(a >0且a ≠1)的反函数为f −1(x)，则f −1(−1)=______． 【答案】−2
【解析】解：由互为反函数的函数定义域值域互换知，y =−1+log a (x +3)=−1，得x +3=1，x =−2． 故答案为：x =−2．
由题意知y =−1+log a (x +3)=−1，得x =−2即为所求． 本题考查反函数性质属于简单题．
11. 函数y =∣∣∣arcsinx 2x −11∣
∣∣
的值域是______． 【答案】[
1−π2
,
π+42
]
【解析】解：∵函数y =∣∣∣arcsinx
2x −11
∣∣∣=arcsinx +2x ， ∵x ∈[−1,1]， ∴函数y =∣∣∣arcsinx
2x −11∣
∣∣的值域为[1−π2,π+42]． 故答案为：[
1−π2
,
π+42
]．
由二阶行列式展开式先展开二阶行列式，再由反正弦弦数的性质能求出函数的值域． 本题考查函数的值域的求法，考查二阶行列式展开式、反正弦弦数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8=3+5，在
不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是______(用分数表示)．
5
【答案】2
3
【解析】解：设A ={两素数和为偶数}．
不超过13的素数有2，3，5，7，11，13.从中任取两个，
共包含(2,3)，
(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，
(7,11)，(7,13)，(11,13)共15个．
事件A 包含(3,5)，
(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)共10个基本事件． 故p(A)=1015=2
3．
本题也可用组合数计算.p(A)=C 5
2C 62=1015=2
3．
故填：2
3．
本题可以列举出从不超过13的素数中取两个的所有和的情况，以及和为偶数的情况，代入概率公式即可．
本题考查了古典概型的概率计算，得到事件A 包含的基本事件个数和基本事件的总数是计算的关键，属于基础题．
13. 若定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)={1−2−x
x >0
2x
+m x <0
是奇函数，则实数m 的值为______． 【答案】−1
【解析】解：根据题意，函数f(x)={1−2−x
x >0
2x
+m
x <0
， 当x >0时，f(x)=1−2−x ，此时−x <0，有f(−x)=2−x +m ， 又由f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，即2−x +m =−(1−2−x )， 变形可得：m =−1； 故答案为：−1
根据题意，结合函数的解析式可得当x >0时，f(x)=1−2−x ，此时−x <0，有f(−x)=
2−x +m ，结合函数的奇偶性可得f(−x)=−f(x)，即2−x +m =−(1−2−x )，变形可得m 的值，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的定义以及判定，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
14. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在
平面上给定两点A(−a,0)，B(a,0)，动点P 满足|PA|
|PB|=λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为______． 【答案】2aλ
|λ2−1|
【解析】解：设P(x,y)，由动点P 满足|PA|
|PB|=λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)， ∴√(x +a)2+y 2=λ√(x −a)2+y 2． 平方化为：x 2+
2a(1+λ2)1−λ2
x +a 2+y 2=0． ∴该圆的半径r =√
a (1+λ)(1−λ2)2
−a 2=2aλ
|1−λ2|．
6
故答案为：2aλ
|1−λ2|．
设P(x,y)，由动点P 满足|PA|
|PB|=λ(其中a 和λ是正常数，且λ≠1)，可得√(x +a)2+y 2=λ√(x −a)2+y 2.化简整理即可得出． 本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则cosC 的最
小值为______． 【答案】4
5
【解析】解：因为G 为△ABC 的重心，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×1
2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13
(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )； BG
⃗⃗⃗⃗⃗ =13
(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13
(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 因为GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，
即19(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，整理得5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，
所以5|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =2(|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2)≥4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以cosC ≥4
5， 故答案为4
5．
将向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分表表示AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解．
本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，属于中档题目，有一定难度．
16. 定义域为集合{1,2，3，…，12}上的函数f(x)满足：①f(1)=1；②|f(x +1)−f(x)|=
1(x =1,2，…，11)；③f(1)、f(6)、f(12)成等比数列；这样的不同函数f(x)的个数为______． 【答案】155
【解析】解：经分析，f(x)的取值的最大值为x ，最小值为2−x ，并且成以2为公差的等差数列，
故f(6)的取值为6，4，2，0，−2，−4．
f(12)的取值为12，10，8，6，4，2，0，−2，−4，−6，−8，−10，
所以能使f(x)中的f(1)、f(6)、f(12)成等比数列时，f(1)、f(6)、f(12)的取值只有两种情况：
①f(1)=1、f(6)=2、f(12)=4；②f(1)=1、f(6)=−2、f(12)=4． |f(x +1)−f(x)|=1(x =1,2，…，11)，f(x +1)=f(x)+1，或者f(x +1)=f(x)−1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．
(1)当f(1)=1、f(6)=2、f(12)=4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f(1)变化到f(6)，第二步：从f(6)变化的f(12)．
从f(1)变化到f(6)时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，
剩余的两次减1.对应的方法数为C 53
=10种．
从f(6)变化到f(12)时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次
增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为C 64
=15种． 根据分步乘法原理，共有10×15=150种方法．
(2)当f(1)=1、f(6)=−2、f(12)=4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第
7
一步：从f(1)变化到f(6)，第二步：从f(6)变化的f(12)． 从f(1)变化到f(6)时有5次变化，函数值从1变化到−2，故应从5次中选择1步加1，
剩余的4次减1.对应的方法数为C 51
=5种．
从f(6)变化到f(12)时有6次变化，函数值从−2变化到4，故应从6次变化中选择6
次增加1，对应的方法数为C 66
=1种．
根据分步乘法原理，共有5×1=5种方法． 综上，满足条件的f(x)共有：150+5=155种． 故填：155．
分析出f(x)的所有可能的取值，得到使f(x)中f(1)、f(6)、f(12)成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f(x)的个数即可．
解决本题的难点在于发现f(x)的取值规律，并找到使f(1)、f(6)、f(12)成等比数列所对应的三项.然后用计数原理计算种类.本题属于难题．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. 已知函数f(x)=(1+tanx)⋅sin2x ．
(1)求f(x)的定义域；
(2)求函数F(x)=f(x)−2在区间(0,π)内的零点． 【答案】(本题满分为14分)
解：(1)由正切函数的性质可求f(x)的定义域为：{x|x ∈R,x ≠π
2+kπ,k ∈Z}；…4分 (2)∵f(x)=(1+
sinx cosx
)⋅2sinxcosx =sin2x +2sin 2x =sin2x −cos2x +1=
√2sin(2x −π
4)+1，
∴F(x)=f(x)−2=√2sin(2x −π
4)−1=0，
解得：2x −π4=2kπ+π4，或2x −π4=2kπ+3π4
，k ∈Z ，
即：x =kπ+π
4，或x =kπ+π
2，k ∈Z ， 又x ∈(0,π)，
∴k =0时，x =π
4.或x =π
2，
故F (x)在(0,π)内的零点为π4，或x =π
2.…10分 【解析】(1)由正切函数的性质可求f(x)的定义域；
(2)利用三角函数恒等变换的应用可求F(x)=√2sin(2x −π
4)−1=0，解得x =kπ+π
4，或x =kπ+π
2，k ∈Z ，
又x ∈(0,π)，即可解得F(x)在(0,π)内的零点．
本题主要考查了正切函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18. 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间
间隔t(单位：分钟)满足：2≤t ≤20，t ∈N ，经测算，地铁载客量p(t)与发车时间
间隔t 满足p(t)={
1200−10(10−t)
2
2≤t <10
1200
10≤t ≤20
，其中t ∈N ．
(1)请你说明p(5)的实际意义；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q
=6p(t)−3360
t
−360(元)，问当发车时间间隔为多少
时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
【答案】解：(1)由分段函数的表达式得p(5)的实际意义，发车间隔为5，载客量为950；
(2)当2≤x<10时，p(t)=−10t2+200t+200，
Q=6p(t)−3360
t
−360=−60t2+1200t+1200−3360
t
−360=840−60(t+36
t
)≤840−
60×2√t⋅36
t
=840−60×12=120，当且仅当t=36
t
，即t=6时取等号．
当10≤t≤20，Q=6p(t)−3360
t
−360=6×1200−3360
t
−360=3840
t
−360≤3840
10
−360= 384−360=24．
则当t=6，Q max=120．
即发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益为120元．【解析】(1)根据分段函数的表达式进行判断即可．
(2)求出Q的表达式，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求最值即可．
本题主要考查函数的应用问题，利用基本不等式以及函数的单调性求最大值是解决本题的关键．
19.我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩
形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．
(1)某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；
(2)在堑堵ABC−A1B1C1中，如图2，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B−AA1C1C
的体积最大时，求二面角C−A1B−C1的大小．
【答案】解：(1)由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为√2，
直三棱柱的高为2，
8
9
则其体积为V =1
2×√2×√2×2=2；
(2)解：∵A 1A =AB =2，阳马B −A 1ACC 1的体积：
V =1
3S 矩形A 1ACC 1⋅BC 1
3×A 1A ×AC ×BC =2
3AC ×BC ≤1
3(AC 2+BC 2)=1
3×AB 2=4
3， 当且仅当AC =BC =√2时，V max =4
3，
以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1(0,√2,2)，B(√2,0，0)，C 1(0,0，2)，
∴CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,2)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，0)，C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，−2)， 设平面CA 1B 的法向量n
⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +2z =0n
⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x =0，取y =√2，得n ⃗ =(0,√2,−1)，
设平面C 1A 1B 的法向量m
⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2b =0m ⃗⃗⃗ ⋅C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2a −2c =0，取a =√2，得m ⃗⃗⃗ =(√2,0，1)，
设当阳马B −A 1ACC 1体积最大时，二面角C −A 1B −C 1的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |
|m
⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |
=√3×√
3=1
3
，
∴当阳马B −A 1ACC 1体积最大时，二面角C −A 1B −C 1的大小为arccos 1
3． 【解析】(1)由三视图还原原几何体，再由棱柱体积公式求解；
(2)阳马B −A 1ACC 1的体积V =1
3S 矩形A 1ACC 1⋅BC 1
3×A 1A ×AC ×BC =2
3AC ×BC ≤
1
3(AC 2+BC 2)=13×AB 2=43，当且仅当AC =BC =√2时，V max =4
3，以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角．
本题考查由三视图求面积、体积，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20. 已知椭圆Ω：
x 24
+
y 23
=1的左右两焦点分别为F 1、F 2．
(1)若矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点C 、D 均在Ω上，求该矩形绕y 轴旋转一周所得圆柱侧面积S 的取值范围；
(2)设斜率为k 的直线l 与Ω交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M(1,m)(m >0)，求证：k <−1
2；
(3)过Ω上一动点E(x 0,y 0)作直线l ：
x 0x 4
+
y 0y 3
=1，其中y 0≠0，过E 作直线l 的垂
线交x 轴于点R ，问是否存在实数λ，使得|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)解：设D(x,y)，由D 在椭圆Ω：
x 24
+
y 23
=1上，
得1=x 2
4+y 2
3≥2√x 2
4⋅y 2
3=√
3
，得|xy|≤√3，
当且仅当
x 24
=
y 23
=1
2，即|x|=
√6
2
，|y|=√2时取“=”．
10 矩形绕y 轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S 侧=2π⋅|BC|⋅|AB|=4π|xy|， ∴S 侧=4π|xy|≤4√3π； (2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则
x 1
24
+
y 1
23
=1，x 22
4+
y 2
23
=1，
两式作差可得：k =y 1−y 2x 1
−x 2
=−3
4⋅x 1+x
2
y 1
+y 2
=−34⋅1
m ，
由M(1,m)在椭圆内部，得1
4+
m 23
=1，即m 2<9
4，
又m >0，∴0<m <3
2，得k =−3
4m <−1
2； (3)解：直线l ：
x 0x 4
+
y 0y 3
=1的斜率为−3x 04y 0
，则k ER =4y
3x 0
，
又k EF 1=y
0x 0+1，k EF 2=y
x 0−1，
设直线EF 1到直线ER 的角为α，直线ER 到直线EF 2的角为β， 则tanα=4y 03x 0−y
0x 0+11+4y 03x 0⋅y 0
x 0+1=
x 0y 0+4y 012+3x 0
=
y 03
，
tanβ=
y 0x 0−1−4y
03x 0
1+y 0x 0−1⋅4y 0
3x 0
=
4y 0−x 0y 012−3x 0
=
y 03
．
∴tanα=tanβ，则α=β，即ER 为∠F 1EF 2的角分线， ∴|EF 1||EF 2
|=|RF 1|
|RF 2
|，即|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|，
∴存在实数λ=1，使得|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|恒成立． 【解析】(1)设D(x,y)，由D 在椭圆Ω：
x 24
+
y 23
=1上，可得|xy|≤√3，再由矩形绕y
轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S 侧=2π⋅|BC|⋅|AB|=4π|xy|求解；
(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用点差法可得k =y 1−y 2x 1
−x 2
=−34⋅x 1+x 2
y 1
+y 2
=−34⋅1
m ，再由M(1,m)
在椭圆内部，得m 2<94，即0<m <3
2，由此证明结论； (3)直线l ：
x 0x 4
+
y 0y 3
=1的斜率为−3x 04y 0
，则k ER =4y
3x 0
，求出k EF 1=y 0
x
0+1
，k EF 2=y
x 0−1，再由到角公式可得ER 为∠F 1EF 2的角分线，得到|EF 1||EF 2
|=|RF 1|
|RF 2
|，即|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅
|RF 1|，可知存在实数λ=1，使得|EF 1|⋅|RF 2|=λ|EF 2|⋅|RF 1|恒成立．
本题是直线与椭圆的综合题，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了到角公式的应用，是中档题．
21. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=1
8a n
2
+m ，其中n ∈N ∗，m ∈R ． (1)若a 1、m 、a 2成等差数列，求m 的值；
(2)若m =0，求数列{a n }的通项a n ；
(3)若对任意正整数n ，都有a n <4，求m 的最大值．
【答案】解：(1)a1=1，a2=1
8×a1+m=1
8
+m，
若a1、m、a2成等差数列，则a1+a2=2m，
即1+1
8+m=2m，得m=9
8
；
(2)若m=0，则a n+1=1
8
×a n2，
两边取2为底的对数，得log2a n+1=log2(1
8
×a n2)=2log2a n−3，即log2(a n+1−3)=2(log2a n−3)，
即数列{log2a n−3}是以−3为首项，2为公比的等比数列，
则log2a n−3=−3⋅2n−1，得a n=23−3⋅2n−1，即a n=8(1−2n−1)；
(3)①当m=2时，a n+1=1
8×a n2+2，由a1=1，则由a n+1=1
8
×a n2+2得当n≥2时，
a n>2，则4+a n>0，
若a n<4，则必有a n+1−4=1
8×(a n2−16)=1
8
×(a n−4)(a n+4)<0，即a n+1−4<0，
即m=2满足条件．
②下证m>2时，不符合题意，
假设存在m>2，则a n+1−a n=1
8a n2+m−a n=1
8
×(a n−4)2+m−2≥m−2>0，
应用累加法得a n+1−a1≥(n−1)(m−2)，即a n≥1+(n−1)(m−2)，
取N=[3
m−2
]+2，([x]表示不超过x的最大整数)，
则当n≥N，n∈N⋅，a n≥4与题设条件a n<4矛盾，即m>2时，不符合题意，
综上m的最大值为2．
【解析】(1)根据等差数列的定义建立方程进行求解即可．
(2)当m=0时，利用取对数法结合数列的递推关系构造等比数列进行求解．
(3)讨论当m=2时，结合数列的递推关系证明成立，然后当m>2时，不等式不成立即可．
本题主要考查递推数列的应用，结合等差数列的定义，以及数列递推关系，利用取对数法以及构造法是解决本题的关键．
11。