时间序列平滑预测法

预 测 值 yˆ t α =0.5
219.1 223.4 216.95 212.775 218.7875 223.8438 230.2719 231.3359 237.468 237.934 244.567 243.7335 246.1667 246.2334
预 测 值 yˆ t α =0.8
219.1 225.98 213.596 209.5992 221.7598 227.472 234.8544 232.8909 241.4582 239.0116 248.7623 244.0725 247.6945 246.5789
• 时间序列:是指某一统计指标数值按时间先 后顺序排列而形成的数列 例如：
– 国内生产总值GDP按年度顺序排列起来的数列； – 某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列
等等都是时间序列
– 时间序列一般用y1;y2; …;yt; … – 表示;t为时间
在社会经济统计中;编制和分析时间序列 具有重要的作用：
在实用上;类似于移动平均法;多取几个α值进行试算;看哪 个预测误差较小;就采用哪个α值作为权重
初始值的确定
用一次指数平滑法进行预测;除了选择合适的 α外;还要确定初始值S01 初始值是由预测者估 计或指定的 当时间序列的数据较多;比如在20 个以上时;初始值对以后的预测值影响很小;可选 用第一期数据为初始值 如果时间序列的数据较 少;在20个以下时;初始值对以后的预测值影响 很大;这时;就必须认真研究如何正确确定初始值 一般以最初几期实际值的平均值作为初始值
例3 2 2 对于例3 2 1;试用加权移动平均法预测2003 年的利润
解：取w1=3;w2=2;w3=1;按预测公式：
yt13yt 32y2t1 1yt2
计算三年加权移动平均预测值;其结果列于表 3 2 2中 2003年某利润的预测值为：
3 1.5 6 4 2 1.7 4 1 6 9.6 41 8
表3 3 1 某利润及指数平滑预测值计算表 单位：万元
国 内 生 产 总 值 yt
227.7 210.5 208.6 224.8 228.9 236.7 232.4 243.6 238.4 251.2 242.9 248.6 246.3
预 测 值 yˆ t α =0.2
219.1 220.82 218.756 216.7248 218.3398 220.4519 223.7015 225.4412 229.073 230.9384 234.9907 236.5726 238.978 240.4424
一次指数平滑法
预测模型 ：
y t 1 y t 1 y t 3 3 4
也就是以第t期指数平滑值作为t+1期预测值
在进行指数平滑时;加权系数的选择是很重要的 由式3 3 4可以看出;α的大小规定了在新预测值中 新数据和原预测值所占的比重 α值越大;新数据所 占的比重就愈大;原预测值所占的比重就愈小;反之 亦然
第三章 时间序列平滑预测法
• 时间序列预测法;是将预测对象的历史数据 按照时间的顺序排列成为时间序列;然后分 析它随时间的变化趋势;外推预测对象的未 来值 这样;就把影响预测对象变化的一切因 素由时间综合起来描述了
• 时间序列分析预测可分为确定性时间序列 预测法和随机性时间序列预测法
第1节 时间序列概述
一次移动的平均数为：
M t1yt yt1 N ytN1
在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就 是二次移动平均;其计算公式为
它的递推公式为
M t2 M t 22 M t1 NM t 1N
326 327
利用趋势移动平均法进行预测;不但 可以进行近期预测;而且还可以进行远 期预测;但一般情况下;远期预测误差较 大 在利用趋势移动平均法进行预测时; 时间序列一般要求必须具备较好的线 性变化趋势;否则;其预测误差也是较大 的
第2节 移动平均法
• 移动平均法是根据时间序列资料 逐项推移;依次计算包含一定项数 的时序平均数;以反映长期趋势的 方法 当时间序列的数值由于受周 期变动和不规则变动的影响;起伏 较大;不易显示出发展趋势时;可用 移动平均法;消除这些因素的影响; 分析 预测序列的长期趋势
• 移动平均法有简单移动平均法;加 权移动平均法;趋势移动平均法等
循环变动 循环变动一般是指周期不固定的
波动变化;有时是以数年为周期变动;有时是以几 个月为周期变化;并且每次周期一般不完全相同 循环变动与长期趋势不同;它不是朝单一方向持 续发展;而是涨落相间的波浪式起伏变动 与季节 变动也不同;它的波动时间较长;变动周期长短不 一;
不规则变动 不规则变动是指由各种偶然性因素引起的无周 期变动 不规则变动又可分为突然变动和随机变 动 所谓突然变动;是指诸如战争 自然灾害 地震 意外事故 方针 政策的改变所引起的变动；随机 变动是指由于大量的随机因素所产生的影响 不 规则变动的变动规律不易掌握;很难预测
长期趋势 长期趋势是指由于某种根本性因素的影响;时间 序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升或 下降;以及停留在某一水平上的倾向 它反映了事 物的主要变化趋势
季节变动 季节变动是指由于受自然条件和社会 条件的影响;时间序列在一年内随着 季节的转变而引起的周期性变动 经 济现象的季节变动是季节性的固有规 律作用于经济活动的结果
3个月移动平均预测值 相对误差（%）
127.835
1.98
130.027
0.27
130.607
3.64
132.967
7.82
139.035
5.94
144.583
2.68
147.6
0.68
148.465
0.86
149.178
3.48
151.968
三 趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法;在时间序列没 有明显的趋势变动时;能够准确反映实际情况 但当 时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时;用简 单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现 滞后偏差 因此;需要进行修正;修正的方法是作二次 移动平均;利用移动平均滞后偏差的规律来建立直 线趋势的预测模型 这就是趋势移动平均法
t≥N 324
式M 中tw ：Mw 1ty wt为 w w 1 t期 2y加w t 2 1 权 移动 平w w N N 均y数tN ；1wi为yti+1的权数;它体现了
相应的yt在加权平均数中的重要性
利用加权移动平均数来做预测;其预测公式为：
325
即以第t期加权移动yt平1均数M 作为tw 第t+1期的预测值
利润
120.87 125.58 131.66 130.42 130.38 135.54 144.25 147.82 148.57 148.61 149.76 154.56
3年移动平均预测值
4年移动平均预测值
预测值
相对误差％ 预测值
相对误差％
126.0367
3.36
129.22
0.89
130.82
3.48
一 简单移动平均法
设时间序列为：y1; y2…;yt; …；简单移动平均公
式3 2 1为：
M t yt yt1N ytN1 t ≥ N 3 2 1
式中：Mt为t期移动平均数；N为移动平均的项 数 式3 2 1表明当t向前移动一个时期;就增加一个
新数据;去掉一个远期数据;得到一个新的平均数 由于它不断的吐故纳新;逐期向前移动;所以称为移 动平均法
148.69
3.8
150.375
160
150
140 原始值
130
三年移动平均
四年移动平均 120
110
100
1 3 5 7 9 11

图3 2 1某商店1991年2002年利润及移动平均预测值图
• 在实用上;一个有效的方法是取几个N值
进行试算;比较他们的预测误差;从中选 择最优的
• 简单移动平均法只适合做近期预测;即只 能对后续相邻的那一项进行预测
y 20 03
6
1.9 56 1
表3 2 2 某商店1991年2002年利润及加权移动平均预测值表 单位：万元
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003年预测值
利润 120.87 125.58 131.66 130.42 130.38 135.54 144.25 147.82 148.57 148.61 149.76 154.56
yt1
yt
yt1yt2 3
和
y t1yt yt14yt2yt3
计算3年和4年移动平均预测值 其结果列于表 3 2 1中;其预测曲线如图3 2 1
表3 2 1 某商店1991年2002年利润及移动平均预测值表 单位：万元
年份
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
由于移动平均可以平滑数据;消除周期变动和不 规则变动的影响;使长期趋势显示出来;因而可以用 于预测
预测公式为 yt132 3Mt
即以第t期移动平均数作为第t+1期的预测值
例3 2 1 ：某商店1991年2002年实现利润如表3 2 1所示 试用简单移动平均法;预测下一年的利润
解：分别取N=3和N=4;按预测公式
二 时间序列的组合形式
时间序列由长期趋势 季节变动 循环变动和不规则变 动四类因素组成 四类因素的组合形式;常见的有以下 几种类型：
1 加法型 yt = Tt + St + Ct + It 2 乘法型 yt = Tt·St·Ct·It 3 混合型 yt = Tt·St + Ct + It
yt = St + Tt·Ct·It 其中：yt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为 季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动
例 3 3 1 以例3 2 1为例;试预测2003年该利润
解：采用指数平滑法;并分别取α=0 2;0 5和0 8进行计算; 初始值
即 按预测模型
S01
y1y2 2
21.19
y t 1 y t 1 y t
y 1S0 121 .19
计算各期预测值;列于表3 3 1中
年份
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
132.1133
8.41
136.7233
7.51
142.5367
4.06
146.88
1.16
148.3333
0.95
148.98
3.61
150.9767
127.1325
2.49
129.51
4.45
132
8.49
135.1475
8.57
139.4975
6.11
144.045
3.07
147.3125
1.63
α值应根据时间序列的具体性质在01之间选 择 具体如何选择一般可遵循下列原则:
1如果时间序列波动不大;比较平稳;则α应取小一点;如0 10 3 以减少修正幅度;使预测模型能包含较长时间序列的信息
2如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向;则α应取大一 点;如0 60 8 使预测模型灵敏度高一些;以便迅速跟上数据 的变化
二 加权移动平均法
在简单移动平均公式中;每期数据在求 平均时的作用是等同的 但是;每期数据所 包含的信息量不一样;近期数据包含着更 多关于未来情况的信息 因此;把各期数据 等同看待是不尽合理的;应考虑各期数据 的重要性;对近期数据给予较大的权重;这 就是加权移动平均法的基本思想
设时间序列为：y1; y2…;yt; …；加权移动平均公式为：
第3节 指数平滑法
• §3 2介绍的移动平均法存在两个不足之处 一是存储数
据量较大;二是对最近的N期数据等权看待;而对tT期以
前的数据则完全不考虑;这往往不符合实际情况 指数 平滑法有效地克服了这两个缺点 它既不需要存储很多 历史数据;又考虑了各期数据的重要性;而且使用了全部 历史资料 因此它是移动平均法的改进和发展;应用极 为广泛 • 指数平滑法根据平滑次数的不同;又分为一次指数平滑 法 二次指数平滑法和三次指数平滑法等
它为分析研究社会经济现象的发展速度 发展趋 势及变化规律;提供基本统计数据 通过计算分析指标;研究社会经济现象的变化方 向 速度及结果 将不同的时间序列同时进行分析研究;可以揭示 现象之间的程度及动态演变关系 建立数学模型;揭示现象的变化规律并对未来进 行预测
一 时间序列的因素分析
时间序列分析是一种动态的数列分析;其目的在 于掌握统计数据随时间变化的规律 时间序列中每 一时期的数值都是由许多不同的因素同时发生作 用后的综合结果 在进行时间序列分析时;人们通常将各种可能发生 影响的因素按其性质不同分成四大类：长期趋势 季节变动 循环变动和不规则变动