第二部分 方程与不等式 第3课时 分式方程及其应用
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第二部分 方程与不等式 第3课时 分式方程及其应用
1．[2023·恩施州]分式方程x－x 3＝xx＋－11的解是( B )
A. x＝3
B. x＝－3
C. x＝2
D. x＝0
2．[2022·恩施州]一艘轮船在静水中的速度为30 km/h，它沿江 顺流航行144 km 与逆流航行96 km 所用时间相等，江水的 流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是
答案： 4
11．[2023·山西]解方程：x－1 1＋1＝2x3－2. 解：方程两边同乘2(x－1)，得2＋2(x－1)＝3， 解得x＝32． 检验：当x＝32时，2(x－1)＝1≠0， ∴原方程的解为x＝32．
12．[2023·珠海]某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学 校12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速 度是乙的1.2 倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行 车的速度．
(1)更新设备后每天生产 _1_._2_5_x__件产品(用含x 的式子表示)；
(2)更新设备前生产5 000 件产品比更新设备后生产6 000 件产品 多用2 天，求更新设备后每天生产多少件产品．
解：由题意得5 0x00－2＝61.0205x0 . 去分母，得6 250－2.5x＝6 000，解得x＝100. 经检验，x＝100是所列分式方程的解，且符合题意. 1.25x＝1.25×100＝125. 答：更新设备后每天生产125 件产品．
点拨：解不等式组，得1＋a2≤x≤5. ∵不等式组至少有2个整数 解，∴ 1＋a2≤4，解得a≤6. 解分式方程，得y＝a－2 1. ∵关于y的分 式方程ay－－21＋2－4 y＝2有非负整数解，∴a－2 1≥0且a－2 1≠2，解得 a≥1且a≠5. ∴ a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5. ∴ a可以取1，3(a＝ 2，4，6时，y不是整数，舍去). ∵ 1＋3＝4，∴所有满足条件的 整数a的值之和为4.
A. 2x5＝3x－100.1 B. 2x5＝3x＋100.1 C. 3x＋250.1＝1x0 D. 3x－250.1＝1x0
7．[中考·金华]若分式x－2 3的值为2，则x 的值是____4____.
8．[2023·永州]若关于x 的分式方程x－1 4－4－m x＝1(m 为常数)有 增根，则增根是__x_＝__4__.
解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行 车的速度为1.2x km/h.
根据题意，得1x2－1600＝11.22x，解得x＝12． 经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意. 答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h．
13．[2023·贵州]为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根 据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产 设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25 %，设更新 设备前每天生产x 件产品．解答下列问题：
－(1＋15206%0 )m＝6，
解得m＝60.
经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意.
答：购买牛肉面60份.
15．[新趋势·数学文化]《九章算术》中有一道关于古代驿站送信 的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的 城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需 时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2 倍，求规 定时间. 设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( B )
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费 1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品. 已知 购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每 份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份.
解：设购买牛肉面m份，则购买杂酱面(1＋50%)m份.
根据题意，得1
200 m
14．[2023·重庆A卷]某公司不定期为员工购买某预制食品厂生 产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份， 此时每份杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购 买两种食品各多少份.
解：设购买杂酱面x份，牛肉面y份. 根据题意，得ቊ1x5＋x＋y＝201y7＝0，3 000，解得ቊxy＝＝9800.， 答：购买杂酱面80份，牛肉面90份.
9．[2023·眉山]关于x的方程xx＋－m2 －3＝x2－－1x的解为非负数，则m 的取值范围是_m__≥__－__5_且__m__≠_－__3_.
10．[2023·重庆A卷]若关于x
的一元一次不等式组ቐ
x＋3 2
≤
4，
2x－a≥2
至少有2个整数解，且关于y 的分式方程ay－－21＋2－4 y＝2有非 负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______.
A. x9＋003＝2×x9－001
B. x9－003＝2×x9＋001
C. x9－001＝2×x9＋003
D. x9＋001＝2×x9－003
A. 0
B. 4 或6
C. 6
D. 0 或4
6．为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施. 如 图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位： 元)与行驶路程s(单位：千米)的关系，已知燃油汽车每千米 所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3 倍少0.1元， 设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为( D )
C. y2＋5y＋1＝0
D. y2－5y＋1＝0
4．[2023·齐齐哈尔]如果关于x的分式方程2xx＋－1m＝1的解是负
数，那么实数m 的取值范围是( D )
A. m﹤－1
B. m﹥－1 且m≠0
C. m﹥－1
D. m﹤－1 且m ≠－2
5．[中考·遂宁]若关于x 的方程2x＝2xm＋1无解，则m 的值为( D )
(A)
A. 3104＋4v＝309－6 v
B. 3104－4v＝9v6
C. 3104－4v＝309＋6 v
D. 14v4＝309＋6 v
3．[2023·上海]在分式方程2xx－2 1＋2xx－2 1＝5中，设2xx－2 1＝y， 可得到关于y 的整式方程为( D )
A. y2＋5y＋5＝0
B. y2－5y＋5＝0
1．[2023·恩施州]分式方程x－x 3＝xx＋－11的解是( B )
A. x＝3
B. x＝－3
C. x＝2
D. x＝0
2．[2022·恩施州]一艘轮船在静水中的速度为30 km/h，它沿江 顺流航行144 km 与逆流航行96 km 所用时间相等，江水的 流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是
答案： 4
11．[2023·山西]解方程：x－1 1＋1＝2x3－2. 解：方程两边同乘2(x－1)，得2＋2(x－1)＝3， 解得x＝32． 检验：当x＝32时，2(x－1)＝1≠0， ∴原方程的解为x＝32．
12．[2023·珠海]某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学 校12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速 度是乙的1.2 倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行 车的速度．
(1)更新设备后每天生产 _1_._2_5_x__件产品(用含x 的式子表示)；
(2)更新设备前生产5 000 件产品比更新设备后生产6 000 件产品 多用2 天，求更新设备后每天生产多少件产品．
解：由题意得5 0x00－2＝61.0205x0 . 去分母，得6 250－2.5x＝6 000，解得x＝100. 经检验，x＝100是所列分式方程的解，且符合题意. 1.25x＝1.25×100＝125. 答：更新设备后每天生产125 件产品．
点拨：解不等式组，得1＋a2≤x≤5. ∵不等式组至少有2个整数 解，∴ 1＋a2≤4，解得a≤6. 解分式方程，得y＝a－2 1. ∵关于y的分 式方程ay－－21＋2－4 y＝2有非负整数解，∴a－2 1≥0且a－2 1≠2，解得 a≥1且a≠5. ∴ a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5. ∴ a可以取1，3(a＝ 2，4，6时，y不是整数，舍去). ∵ 1＋3＝4，∴所有满足条件的 整数a的值之和为4.
A. 2x5＝3x－100.1 B. 2x5＝3x＋100.1 C. 3x＋250.1＝1x0 D. 3x－250.1＝1x0
7．[中考·金华]若分式x－2 3的值为2，则x 的值是____4____.
8．[2023·永州]若关于x 的分式方程x－1 4－4－m x＝1(m 为常数)有 增根，则增根是__x_＝__4__.
解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行 车的速度为1.2x km/h.
根据题意，得1x2－1600＝11.22x，解得x＝12． 经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意. 答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h．
13．[2023·贵州]为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根 据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产 设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25 %，设更新 设备前每天生产x 件产品．解答下列问题：
－(1＋15206%0 )m＝6，
解得m＝60.
经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意.
答：购买牛肉面60份.
15．[新趋势·数学文化]《九章算术》中有一道关于古代驿站送信 的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的 城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需 时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2 倍，求规 定时间. 设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( B )
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费 1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品. 已知 购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每 份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份.
解：设购买牛肉面m份，则购买杂酱面(1＋50%)m份.
根据题意，得1
200 m
14．[2023·重庆A卷]某公司不定期为员工购买某预制食品厂生 产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份， 此时每份杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购 买两种食品各多少份.
解：设购买杂酱面x份，牛肉面y份. 根据题意，得ቊ1x5＋x＋y＝201y7＝0，3 000，解得ቊxy＝＝9800.， 答：购买杂酱面80份，牛肉面90份.
9．[2023·眉山]关于x的方程xx＋－m2 －3＝x2－－1x的解为非负数，则m 的取值范围是_m__≥__－__5_且__m__≠_－__3_.
10．[2023·重庆A卷]若关于x
的一元一次不等式组ቐ
x＋3 2
≤
4，
2x－a≥2
至少有2个整数解，且关于y 的分式方程ay－－21＋2－4 y＝2有非 负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______.
A. x9＋003＝2×x9－001
B. x9－003＝2×x9＋001
C. x9－001＝2×x9＋003
D. x9＋001＝2×x9－003
A. 0
B. 4 或6
C. 6
D. 0 或4
6．为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施. 如 图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位： 元)与行驶路程s(单位：千米)的关系，已知燃油汽车每千米 所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3 倍少0.1元， 设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为( D )
C. y2＋5y＋1＝0
D. y2－5y＋1＝0
4．[2023·齐齐哈尔]如果关于x的分式方程2xx＋－1m＝1的解是负
数，那么实数m 的取值范围是( D )
A. m﹤－1
B. m﹥－1 且m≠0
C. m﹥－1
D. m﹤－1 且m ≠－2
5．[中考·遂宁]若关于x 的方程2x＝2xm＋1无解，则m 的值为( D )
(A)
A. 3104＋4v＝309－6 v
B. 3104－4v＝9v6
C. 3104－4v＝309＋6 v
D. 14v4＝309＋6 v
3．[2023·上海]在分式方程2xx－2 1＋2xx－2 1＝5中，设2xx－2 1＝y， 可得到关于y 的整式方程为( D )
A. y2＋5y＋5＝0
B. y2－5y＋5＝0