备战高考十高考文数分项新课标2专专题09 圆锥曲线解析 含解析

【2015,2016】
1.【2016新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k
x
（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =
（A ）
12 （B ）1 （C ）3
2
（D ）2 【答案】D 【解析】
【考点】 抛物线的性质，反比例函数的性质
【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对于函数y =
k
x
(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.
2. 【2016新课标2文数】(本小题满分12分)
已知A 是椭圆E ：22
143
x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，
点N 在E 上，MA NA ⊥.
(Ⅰ)当AM AN =时，求AMN △的面积 (Ⅱ) 当2AM AN =32k <. 【答案】（Ⅰ）14449
；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π
4
. 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.
将2x y =-代入22
143
x y +=得27120y y -=.
解得0y =或127y =
，所以112
7
y =
. 因此AMN ∆的面积11212144
227749
AMN S ∆=⨯⨯⨯
=.
【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系
【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.
3. 【2015新课标2文数】已知双曲线过点(3,且渐近线方程为1
2
y x =±,则该双曲线的
标准方程为 ．
【答案】2
214
x y -=
【解析】
试题分析：根据双曲线渐近线方程为1
2
y x =±,可设双曲线的方程为224x y m -= ,把()
4,3代入
22
4
x y m -=得1m =.所以双曲线的方程为2214x y -=. 【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.
【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x 轴上,还是在y 轴上.一般的结论是：以()0,0b
y x a b a
=±
>>为渐近线的双曲线的方程可设为()22
22
0x y m m a b -=≠. 4. 【2015新课标2文数】（本小题满分12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>> 的离
心率为
2
2
,点()
2,2在C 上. （I ）求C 的方程；
（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
【答案】（I ）22
22184
x y +=（II ）见试题解析
【解析】
试题解析：
解：（I 2222242
,1,2a b a b
-=+= 解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为
22
22
184x y +=. （II ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b =+代入
2222184x y += 得()222
214280.k x kbx b +++-=
故12222,,22121
M M M x x kb b
x y kx b k k +-=
==+=++ 于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k ==-
即1
2
OM k k ⋅=-
,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 【考点定位】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.
【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于2
2
,a b 的两个方程,通过解方程组求出
22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常
有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.
一．基础题组
1. 【2013课标全国Ⅱ，文5】设椭圆C ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )．
A
．13 C ．1
2
D
【答案】：D
∴
3
3
2
a x c
==，∴
3
3
c
e
a c
===.
2.【2012全国新课标，文4】设F1，F2是椭圆E：22
221
x y
a b
+=(a＞b＞0)的左、右焦点，P
为直线
3
2
a
x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A．1
2
B．
2
3
C．
3
4
D．
4
5
【答案】C
3.【2010全国新课标，文5】中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A.6
B.5
C.62
D.5
2
【答案】：D
【解析】b a ＝24＝12＝22
2
c a a
－＝21e －e ＝
5
2
. 4. 【2006全国2，文5】已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2
213
x y +=上，顶点A 是椭圆的一
个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( ) （A ）3 （B ）6 （C ）43 （D ）12 【答案】C
【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为
443a =，所以选C.
5. 【2005全国2，文5】抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离
为（ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
【答案】D
【解析】由题意知(4,4)A ±，抛物线的焦点坐标为(0,1)， 所以点A 2
2
(40)(41)5±-+-=.
6. 【2005全国2，文6】双曲线22
149
x y -=的渐近线方程是（ ）
(A) 2
3y x =±
(B) 4
9y x =±
(C) 3
2y x =±
(D) 9
4
y x =±
【答案】C
【解析】由题意知：2,3a b ==，∴双曲线22
149x y -=的渐近线方程是32
y x =±.
7. 【2014全国2，文20】（本小题满分12分）
设12,F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂
直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为
3
4
，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N ，求,a b .
【答案】见解析
8. 【2013课标全国Ⅱ，文20】(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x
轴上截得线段长为22在y 轴上截得线段长为3(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 2
P 的方程． 【答案】见解析
9. 【2010全国新课标，文20】设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2
＋2
2y b
＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，
过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB|；
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
【解析】：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝
4
3
. (2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c 21b －
10. 【2005全国3，文22】 (本小题满分14分)
设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线2
2x y =上，l 是AB 的垂直平分线， （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 【解析】：（Ⅰ）∵抛物线2
2x y =，即4
1
,22=∴=
p y x ， ∴焦点为1
(0,)8
F ………………………………………………………1分
（1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b 即直线l ：y=kx+b 由已知得：
121212122
21k b
k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨
-⎪=-⎪
-⎩
……………5分
22
1
21222
121
22212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪
⎪
⇒⎨-⎪=-⎪-⎩
221
21212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨
⎪+=-⎪⎩
……………7分 22
12104
b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥
即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1
(0,)8
F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x +=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………………………9分
二．能力题组
1. 【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C
于A ,B 两点，则 AB =（ ）
（A ）30
3
（B ）6 （C ）12 （D ）3【答案】C
【解析】由题意，得3
(,0)4
F ．又因为0
k tan 303==
，故直线AB 的方程为3
y )34
=
-，与抛物线2
=3y x 联立，得2
1616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，
12x x AB p =++= 1683
12162
+=，选C ． 2. 【2013课标全国Ⅱ，文10】设抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，
B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )．
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y ＝
1)3x -或y ＝(1)3x --
C ．y ＝
1)3x -或y ＝(1)3x --
D ．y ＝
(1)2x -或y ＝(1)2
x -- 【答案】：C
3. 【2012全国新课标，文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y
2
＝16x 的准线交于A ，B 两点，||43AB C 的实轴长为( ) A 2 B ．22 C ．4 D ．8 【答案】 C
4. 【2006全国2，文9】已知双曲线22
22
1x
y a b
-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( ) （A ）
53 （B ）43 （C ）54 （D ）3
2
【答案】A
5. 【2005全国3，文9】已知双曲线12
2
2
=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且
120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为
（ ）
A ．
4
3
B ．
5
3
C ．
23
3
D 3
【答案】C
【解析】∵点M 在双曲线上，∴12||||||22MF MF a -==，12||223F F c ==，又∵
120MF MF •=，
∴12MF F ∆为直角三角形，∴222
1212||||||12MF MF F F +==，∴12||||4MF MF =，
设点M 到x 轴的距离为
d ，∵120MF MF •=，∴
12MF MF ⊥，∴12121211
||||||22
MF F S MF MF F F d ∆=
=•， ∴1212||||23
||23
MF MF d F F =
==
6. 【2012全国新课标，文20】设抛物线C ：x 2
＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上
一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点． (1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；
(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值． 【答案】见解析
(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝
1
2
|AB |， 所以∠ABD ＝30°，m 33当m 3时，由已知可设n ：y 3x ＋b ，代入x 2＝2py ，得x 223
px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故∆＝43
p 2
＋8pb ＝0， 解得6
p b =-
. 因为m 的截距12p b =
，
1||
3||
b b =，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为3
m ，n 距离的比值为3.
三．拔高题组
1.【2010全国2，文12】已知椭圆C ：2
2
x
a ＋
2
2
y
b
＝1(a＞b＞0)的离心率为
3
，过右焦点F
且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A、B两点，若AF＝3FB，则k等于( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2
【答案】：B
∴|AM|＝|AA1|－|MA1|＝|AA1|－|BB1|＝2FB
e
，而|AB|＝|AF|＋|FB|＝4|FB|，
在Rt△BAM中，cos∠BAM＝AM
AB
＝
2
4
FB
e
FB
＝
1
2e
＝
3
3
，
∴sin∠BAM＝
6
3
，∴k＝tan∠
BAM＝2.
2.【2007全国2，文11】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为( )
(A)
1
3(B)
3
3
(C)
2
1
(D)
2
3
【答案】：D
3.【2007全国2，文12】设F1,F2分别是双曲线1
9
2
2=
-
y
x 的左右焦点，若点P在双曲线
上,且
12
PF PF
•=，则
12
||
PF PF
+=( )
(A)10(B)10
2(C) 5(D) 5
2
【答案】：B
【解析】∵
12
PF PF
•=，∴
12
PF PF
⊥，∴22
1212
||||4(19)40
PF PF F F
+==+=，
∴
12
||210
PF PF
+=
4.【2006全国2，文11】过点（－1，0）作抛物线21
y x x
=++的切线，则其中一条切线为( )
（A）220
x y
++=（B）330
x y
-+=（C）10
x y
++=（D）10
x y
-+=
【答案】D
【解析】
5.【2005全国3，文10】设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（）
A．2
B
．
21
2
- C．22
-D．21
-
【答案】D
6.【2010全国2，文15】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________.
【答案】：2
【解析】：l：x＝－
2
p
，过M(1,0)3y3 (x－1)，联立得
2
3(1)
p
x
y x
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
解得
2
3(1)
2
p
x
p
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
∴A(－
2
p
3 (
2
p
＋1))．
又∵AM ＝MB ，∴M 点为AB 的中点．∴B 点坐标为(2p ＋2，3 (2
p
＋1))． 将B (2p ＋2，3 (2p ＋1))代入y 2＝2px (p ＞0)，得3(2p ＋1)2
＝2p (2
p ＋2)，
解得p ＝2或p ＝－6(舍)．
7. ）【2010全国2，文22】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：2
2x a
－22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)
相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；
(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
(2)由①②知，C 的方程为3x 2
－y 2
＝3a 2
，
A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－2
432
a +＜0，
故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a .
|BF |2
2
11(2)x a y -+2
2
2
11(2)33x a x a -+-a －2x 1， |FD |2
2
22(2)x a y -+2
2
2
22(2)33x a x a -+-＝2x 2－a .
|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a ) ＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2
＝5a 2
＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17， 故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝－
9
5
(舍去)．
故|BD ||x 1－x 2|＝6.
连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆心，
MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切．
所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． 8. 【2006全国2，文22】
（本小题满分１２分） 已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（I ）证明FM AB 为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22
．
解出两条切线的交点M 的坐标为(
x 1＋x 22
，
x 1x 2
4
)＝ (
x 1＋x 2
2
，－1)． ……4分
所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12
)－2(14x 22－14x 12)＝0
所以FM →·AB →
为定值，其值为0． ……7分
9. 【2005全国2，文22】(本小题满分14分)
P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2
2
12y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．
【解析】：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ ⊥MN ，直线PQ 、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为K ，又PQ 过点F(0,1)，故PQ 的方程为y =kx +1
将此式代入椭圆方程得(2+2k )2
x +2kx －1=0
设P 、Q 两点的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则 221222
222222k k k k x x k k -+-++==++ 从而22
222
1212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+ 亦即22
22(1)||2k PQ k +=+。