圆中常见辅助线归类
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。
求证：PO平分/ APD。
=> OE=OF ]/ OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF0OP=OP=> / OPE= / OPF => PO 平分/ APD分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD,进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。
证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F(=>(=AB CDAC=BD A C B D=> AB=CDOE丄AB, OF/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPDODP B图1-1证法2:连结OA, OD。
/ CAP= / BDP/ APC= / DPB => △ACP^A DBPAC=BD=>AP=DP、OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
(完整版)初中几何辅助线——圆常用辅助线
初中几何辅助线——圆常用辅助线题型 1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例1如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，P A = 4cm .求⊙O 的半径.题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,求证：证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴题型3.有弦中点时常连弦心距例3如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o －∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例4如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B .求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M ,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例5如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的 中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴»»AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例6如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12 AP练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：BC CF BE EF=题型6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC（提示如图）题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线例7已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =12 AD证明：作直径CF，连结DF、BF ∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴»»AD BF=∴AD = BF∵OE⊥BC O为圆心CO = FO ∴CE = BE∴OE =12 BF∴OE =12ADP2题图A1题图BA题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例8如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠F AC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB ·AC= AD ·AE证明：连结BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE ∽△ADC∴AE AB AC AD∴AB ·AC = AD ·AE题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例9如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F .求证：CE ∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴∠C ＋∠D = 180o ∴CE ∥DF题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例10如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结P A 、PB .求证：P A 、PB 为⊙O 的切线 证明：连结OA ∵PO 为直径∴∠P AO = 90o ∴OA ⊥P A∵OA 为⊙O 的半径 ∴P A 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例11如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于F ∵OE 为半径，AB 为小圆的切线∴OE ⊥AB ∵OF ⊥CD , AB = CD∴OF = OE ∴CD 为小圆的切线P练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E , 求证：PE 是⊙O 的切线题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例12如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o ，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长.解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC∴OE AOBC AB=在Rt △ABC 中，AB= 15==∴15915OE AB OB OEAB --==∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CDCC AE。
圆中常用辅助线
圆中常用辅助线遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量.例1 如图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.求证：AC BD =. 证明 过O 作OE AB ⊥于E∵ O 为圆心，OE AB ⊥∴ ,AE BE CE DE == ∴ AC BD =练习 如图2，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，10AB cm =，4AP cm =.求⊙O 的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2 如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥,DN AB ⊥. 求证： AC BD =证明：（一）连结OC 、OD ∵ M 、N 分别是AO 、BO 的中点, ∴ 12OM AO =、12ON BO =. ∵ OA OB =, ∴ OM ON =. ∵ CM AB ⊥,DN AB ⊥、OC OD =, ∴Rt △COM ≌Rt △DON . ∴COA DOB ∠=∠. ∴ AC BD =.3.有弦中点时常连弦心距图1图2BA图3（二）连结AC 、OC 、OD 、BD （如图3）.请自己完成证明过程.例3 如图4，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB CD =，求证：AMN CNM ∠=∠. 证明 连结OM 、ON .(其余证明过程略，请自己补充完整) 4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径；⑵连结等弧所对的弦；⑶连结等弧所对的圆心角例4 如图5，已知D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD CE =. 证明 连结OC ∵ C 为弧AB 的中点∴ AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵ D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO,∴ 1122OD OE AO BO ===. ∴ △ODC ≌△OEC. ∴CD = CE.5.有直径．．时常作直径所对的圆周角．．．．．．．．，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例5 如图6，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC PC =,PB 的延长线交⊙O 于D ，求证：AC DC =.证明 连结AD.∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADP = 90o.∵AC = PC, ∴AC = CD =12AP . 例6 如图7，P 是⊙O 的弦CB 延长 线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C . 求证：PA 是⊙O 的切线.证明 作⊙O 的直径AD ，连BD ，则∠=∠∠=︒C D ABD ,90，即∠+∠=︒D BAD 90.所以∠+∠=︒C BAD 90.因为∠=∠C PAB ，所以∠+∠=︒BAD PAB 90，即AP AD ⊥.图4 图5P图6图7所以PA为⊙O的切线.6.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦；⑵作等弧所对的圆心角；⑶作等弧所对的圆周角.练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC.7.有弦中点时，常构造三角形中位线.例7已知如图8，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=12AD.证明作直径CF，连结DF、BF.∵CF为⊙O的直径, ∴CD⊥FD.又∵CD⊥AB , ∴AB∥DF.∴AD BF. ∴AD = BF∵OE⊥BC,O为圆心, CO = FO.∴CE = BE. ∴OE =12BF. ∴OE =12AD.图8。
园中常做辅助线的做法
几何证明一般都离不开作辅助线，能否迅速、准确地作出所需的辅助线，往往成为成败的关键。
本文就圆中常见辅助线的作法归纳如下，供参考。
一、作弦心距证明圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的在于利用垂径定理来沟通弦、弦、弦心距之间的关系，或构造半径、弦心距、弦为边的直角三角形。
例1：求证：经过相交两圆的一个交点的那些直线，被两圆所截得的线段中，平行于连心线的那一条线段最长。
分析：如图1，PQ ∥OO′，要证明PQ 最长，只须证明PQ 大于过A 点的任意一条不平行于OO ′的割线P′Q′，这是证明与圆的弦有关的问题，因此过O 、O′分别作PQ 、P′Q′的垂线，垂足分别为C 、D ；C′、D′。
由垂径定理知AC= AP 、AD= AQ ，所以CD=PQ 。
同理C′D′= P′Q′，又OO′=CD ，于是问题转化为证明OO′> C′D′，而OO′D′C′为直角梯形，显然有OO′> C′D′。
从而问题可证。
图1二、作过切点的半径或弦当所证问题含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径或弦，利用该半径与切线垂直或弦切角定理来沟通题设与结论之间的联系。
例2：已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥MN ，BD ⊥MN ，MN 切⊙O 于K ，求证：（1）AC+BD=AB（2）BK2=AB·BD分析：（1）AC 、BD 为直角梯形的上、下底边，其和必与梯形的中位线有关，由MN切⊙O 于K ，想到需连结OK ，则OK 为梯形的中位线且OK= （AC+BD ），而AB=2OK ，所以有AC+BD=AB 。
（2）要证BK =AB·BD ，即AB ：BK=BK ：BD ，所以需连结AK ，由弦切角定理知∠KAB=∠BKD ，又∠AKB=∠KDB=90°，所以△AKB ∽△KDB，故问题可以获证。
图2 三、过已知点作圆的切线过已知点作圆的切线是圆中常作的辅助线之一，其目的在于利用切线的性质来沟通题中各元素间的联系。
(完整版)圆中常见辅助线作法分类大全
1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或许连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用： 1 、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙ O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 订交于点 M ，求证：PM ?PN=2PO 2.剖析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC =PO 2，过 O 点作 OC⊥PN 于 C，依据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2只需证明 Rt△ POC∽Rt △ PMO.1证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=PN2∵PO⊥ AB, OC ⊥PN ，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° .又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.∴ PO PC即∴ PO2 = PM?PC.∴ PO2= PM ?1PN，∴ PM ?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如图，已知△ ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。
AOB C【例 2】如图，⊙ O的直径为10，弦 AB＝8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________ ．【例 3】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C 在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.2． 碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。
例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1） 求证： BA · BM=BC · BN ；（ 2） 假如 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．剖析：要证 BA · BM=BC · BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，因此需要△ NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，因此连结 MN 可得∠ BMN=90 °。
圆中常用辅助线2
圆中常用辅助线（2）——直径巧对圆周角圆是中考的重点，也是初中几何学习中最大的难点. 该如何去学习这一章呢？如果整章去讲，内容涉及面广，学生接受起来依然很困难. 所以我们把圆的问题分解，再对它们逐个“攻破”. 先来给大家讲讲添加辅助线的技巧.辅助线的添加向来是同学们比较头疼的问题，尤其到了圆这一章，问题更综合，思考方向更多，“为什么会想到添那条线？我怎么想不到？”是很多同学的疑问. 其实辅助线的添加还是有其自身的特点的. 所以我用四个小专题来帮同学们把圆中常用的辅助线作个归纳总结. 本文是之二：直径所对圆周角.先体验一下，再做归纳：体验1看题如图，AB 是⊙O 直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O 交AC 于D ． 求证：AD ·AC=AO ·AB ． 析题 有直径，和一弦，且两线交于圆上. 证比例，用相似. 有一垂直条件，所以构造直径所对圆周角，因其为直角，故可得相似三角形. 解题 连结BC ，∵AB 为直径，∴∠C=90°. ∵OD ⊥AB ，∴∠C=∠AOD又∵∠A=∠A ，∴ABC ∽△ADO ，∴AD ·AC=AO ·AB.体验2看题已知：如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径． 求证：AB ·AC=AE ·AD ． 析题有直径、和直径有公共端点的弦. 证比例，想到用相似. 而又已知垂直，所以构造直径所对圆周角，从而得相似三角形. 解题 连结EB ，∵AE 为直径，∴∠ABE 为直角. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABE=∠ADC.∵∠BEA=∠DCA ，∴△ABE ∽△ADC ．∴AB ·AC=AE ·AD 体验3看题 已知：如图，以△ABC 的BC 边为直径的圆交AB 于D ，交AC 于E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，且BF ∶FC=5∶1，AB=8，AE=2，求EC 的长。
圆中常用的辅助线
圆中常用的辅助线在解决圆中的有关问题时，常需添加辅助线。
使分散的条件相对集中，让图形的性质充分显露出来，从而找出解决问题的途径。
添加的方法主要有以下几种：一、遇到弦时，常作弦心距、或者垂直于弦的半径（或直径），再连接圆心和弦的端点。
作用：1、利用垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质。
2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。
例1：在半径为10cm 的圆柱形油管内装入一些油后，截面如图所示。
若油面宽AB=16cm ，则油的最大深度为 cm例1 例2 例3二、遇到直径时，常作直径所对的圆周角作用：利用直径所对的圆周角是直角例2：如图、AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°、∠D=50°求∠CEB 的度数？注意：在圆中构造同弧或等弧所对的圆周角可得到相等的角，也是常用的辅助线。
三、遇到90°的圆周角时，常作圆周角所对的弦作用：90°的圆周角所对的弦是直径四、遇到切线时，常作经过切点的半径作用：圆的切线垂直于过切点的半径五、遇到证明某一直线是圆的切线时1、已知直线与圆有公共点时，常连接公共点和圆心。
然后证明这个半径垂直于直线，简称为“有点连半径，证垂直”。
2、若直线与圆的公共点没有明确指出时，常过圆心作直线的垂线段。
然后证明垂线段的长等于半径，简称为“无点作垂直，证d=r ”。
例4、如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由；（2）若2OB BG ==，求CD 的长．例5.在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC 于D,以D 为圆心,DB 长为半径作⊙D.试说明:AC 是⊙D 的切线.六、遇到两圆相切时，常作公切线和连心线作用：1、利用相切的性质。
2、相切两圆的连心线，必经过切点例6：如图所示，图中各圆两两相切，⊙O 的半径为6，⊙A 和⊙B 的半径相等，求⊙C 的半径七、遇到两圆相交时，常作公共弦和连心线作用：1、利用圆内接四边形的性质。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
例谈圆中常见作辅助线的方法
例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。
解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。
例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。
圆中常用辅助线
详细描述
切线长定理指出，从圆外一点引出的两条切线，它们的切线长相等。为了证明这个定理，我们可以作 过圆心和圆外一点的连线，这条连线将平分两条切线的切点。因此，在解题时，如果需要证明切线长 相等或证明某条线段被平分，可以考虑通过作辅助线来应用切线长定理。
离等于半径得$frac{| kr|}{sqrt{k^{2} + 1}} = r$，解得 $k = - frac{1}{2}$，切线方程为
$2x + y - r = 0$。
练习题三
题目：过圆外一点作圆的两 条切线，求两切点的连线所 在直线的方程。
答案与解析
当两切点的连线所在的直线 斜率不存在时，即直线垂直 于x轴，方程为$x = a$。
03 圆中常用的辅助线作法
作半径，连接半径
总结词
通过作半径，我们可以连接圆中的任意两个点，从而利用圆的性质来解决问题。
详细描述
在圆中，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。通过作半径，我们可以将圆中 的两个点连接起来，从而利用圆的性质，如半径相等、圆心角等于圆周角等来解 决问题。
作直径所对的圆周角，构造直角三角形
总结词
通过作直径所对的圆周角，我们可以构造直角三角形，从而 利用勾股定理等来解决与圆相关的问题。
详细描述
在圆中，直径所对的圆周角是直角。通过作直径所对的圆周 角，我们可以构造一个直角三角形，从而利用勾股定理、三 角函数等数学知识来解决问题。
作切线，构造全等三角形
总结词
通过作切线，我们可以构造全等三角 形，从而利用三角形的性质来解决与 圆相关的问题。
详细描述
在圆中，切线与半径垂直。通过作切 线，我们可以构造一个与圆相切的全 等三角形，从而利用三角形的性质， 如SAS全等定理、中位线定理等来解 决问题。
关于圆中常用的辅助线作法
图2A B 关于圆中常用的几种辅助线有关圆的中考，题目变化灵活，在历年各地中考题中均占有较大比例。
在解答与圆有关的题目时，常常需要作辅助线，以便在已知和结论之间“牵线搭桥”，从而使分散条件集中化，隐含条件明显化，难点分散简易化，达到解决问题的目的。
1、有弦时，可从圆心作与弦垂直的线段；或连结半径。
例1：(2006·广东)如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明。
解析：解法1，有弦，可从圆心作与弦垂直的线段，用垂径定理。
OE=OF 。
过点O 作OM ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，又AE=BF ，故EM=FM ，从而OM 垂直平分EF ，所以OE=OF 。
解法2，此题也可利用全等来证明。
连结半径OA 、OB ，则OA=OB ，故∠A=∠B ，又AE=BF ，所以△AOE ≌△BOF(SAS)，由此OE=OF ； 本题源于课本，巧妙地加以变化，成了一道开放性试题，学生解题时因为有基础铺垫，既增加了自信，又可以提高数学素养。
2、遇到直径时，可作直径所对的圆周角。
例2：(2006·烟台)如图2，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙O 直径BD=6，连结CD 、AO 。
⑴求证：CD ∥AO ； ⑵设CD=ｘ，AO=ｙ，求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围。
解析：有直径，可作直径所对的圆周角得直角。
⑴连结BC 交AO 于点E 。
∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴AB=AC ，∠CAO=∠BAO ，∴AO ⊥BC ，∴∠BEO=90°，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠BEO ，∴CD ∥AO ；⑵∵CD ∥AO ，∴∠D=∠AOB ，∵AB 是⊙O 的切线，BD 是直径，∴∠BCD=∠ABO=90°∴△BCD ∽△ABO ，∴BD ∶AO=CD ∶BO ，∴6∶y=x ∶3，∴y=x18，0＜x ＜6。
潍坊市第六中学九年级数学上册第二十四章圆专题训练(十四)圆中常见辅助线归类课件新版新人教版3
类型4 遇切线添加过切点的半径
5．如图所示，已知 MN 是⊙O 的直径，直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点，NP 平分∠MNQ. (1)求证：NQ⊥PQ； (2)若⊙O 的半径 R＝3，NP＝3 3 ，求 NQ 的长．
解：(1)证明：连接 OP.∵直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点，OP 是⊙O 的半 径，∴OP⊥PQ.又∵NP 平分∠MNQ，∴∠MNP＝∠QNP，∵OP＝ ON，∴∠OPN＝∠MNP，∴∠OPN＝∠QNP，∴OP∥NQ，∴NQ⊥ PQ (2)连接 MP，在 Rt△MNP 中，∵MN＝2R＝6，NP＝3 3 ，∴ MP＝ MN2－PN2 ＝3，则∠MNP＝30°，∴∠QNP＝30°，∴PQ
2．(凉山州中考)将抛物线y＝(x－3)2－2 向左平移__3__个单位后经过点A(2 , 2).
3．已知函数y＝－2(x＋1)2－1 , 其图象是( C )
4．(2020·甘孜州)如下图 , 二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴 交于A(－3 , 0) , B两点 , 以下说法错误的选项D是哪一项：( ) A.a＜0 B．图象的対称轴为直线x＝－1 C．点B的坐标为(1 , 0) D．当x＜0时 , y随x的增大而增大
＝3
3 2
.故 NQ＝
PN2－PQ2 ＝92
6．(郴州中考)已知BC是⊙O的直径 , 点D是BC延长线上一点 , AB＝AD , AE是⊙O的弦 , ∠AEC＝30°.
(1)求证 : 直线AD是⊙O的切线 ; (2)假设AE⊥BC , 垂足为M , ⊙O的半径为4 , 求AE的长．
解：(1)证明：如图，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝ AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD ＝120°，连接 OA，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠ OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∵点 A 在⊙O 上， ∴直线 AD 是⊙O 的切线 (2)连接 OA，∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAM＝30
金乡县六中九年级数学上册第二十四章圆专题课堂(十一)圆中常见的辅助线归类课件新版新人教版6
类型二：遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2019·聊城)如图，BC 是半圆 O 的直径，D， E 是 BC 上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A， 连接 OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE 的度 数为( C ) A．35° B．38° C．40° D．42°
第5题图
6．(2019·包头)如图，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙ O 外一点，点 C 在⊙O 上，AC 与⊙O 相切于点 C，∠CAB＝90°，若 BD＝6，AB＝4，∠ABC ＝∠CBD，则弦 BC 的长为_2__6_____．
解：(1)BC 与⊙O 相切．证明：连接 OD.
∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠CAD＝ ∠ODA.∴OD∥AC.∴∠ODB＝∠C＝90°，即 OD⊥BC.又∵BC 过半径 OD 的外端点 D，∴BC 与⊙O 相切
(2)设 OF＝OD＝x，则 OB＝OF＋BF＝x＋2，根 据勾股定理得 OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2 ＋12，解得 x＝2，即 OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2
所以 x－1＝0或mx－2＝0 , 解得 x1＝1 , x2＝2 .
m
当m为正整数1或2时 , x2为整数 , 即抛物线与x轴总
圆辅助线
圆中常用的辅助线1. 连半径由圆的半径相等，想到：连半径，构造直角三角形或等腰三角形。
例1. 如图1，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则OD的长是（）图1（A）3cm。
（B）2.5cm。
（C）2cm。
（D）1cm。
例2.如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC 交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。
求证：DE是⊙O的切线。
图2证明：（1）连接CO，则AO=BO=CO，所以∠CAO=∠ACO。
又因为∠EAC=∠CAO，所以∠ACO=∠EAC，于是AE∥OC。
又AE⊥DE，所以∠OCD=∠AED=90°，即OC⊥DE。
所以DE是⊙O的切线。
2. 过圆心，作弦的垂线由垂径定理，想到：过圆心，作弦的垂线，构造直角三角形。
例3. 如图3，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB 与小圆交于点C 、D ，AC=CD ，且∠COD=60°。
图3（1）求大圆半径的长；（2）若大圆的弦AE 与小圆切于点F ，求AE 的长。
解：（1）过O 点作OM ⊥AB ，垂足为M 。
因为 CO=DO ，∠COD=60°， 所以 △COD 为等边三角形， 即 M 点为CD 的中点， 又CO=2， 所以OM=323121CO CM CO ===，。
连接AO 。
在Rt △AOM 中，AM=32CD=3CM=3， 所以AO=OM AM 223923+=+=。
即大圆半径长为23。
（2）AE=42，过程略。
3. 作弦由直径所对的圆周角是90°，想到：作弦，构造直角三角形。
例4.如图4，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F。
图4求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线。
证明（1）连结CD。
因为BC为⊙O的直径，所以CD⊥AB。