陕西省咸阳市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

陕西省咸阳市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}
2
2530B x x x =-++>，则A B =I （ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}1,0,1-
【答案】A 【解析】 【分析】
解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B I . 【详解】
因为{
}{
}
2
2
1
2530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-
<<⎨⎬⎩⎭
，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.
故选：A. 【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．5
2mx
⎫
+⎪⎭
的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )
A ．2
B ．1
C ．-1
D ．-2
【答案】C 【解析】 【分析】
利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可. 【详解】
二项式展开式的通项为1
5552222
1
5
5
()
()r r
r
r r
r r T
C x mx m C x
-
--+==，令
55
522
r -=，得3r =， 则3
35
54510T m C x x ==-，所以3
3
510m C =-，解得1m =-. 故选：C 【点睛】
本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
3．已知函数()()6
14,7,7
x a x x f x a
x -⎧-+≤=⎨
>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有
两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2
-
B ．1(2,)2
- C ．(1,1)- D ．1(,1)2
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得
112a ≤<，所以当a 最小时，1
2
a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【详解】
由于()f x 为R 上的减函数，则有()10
01714
a a a a ⎧-<⎪<<⎨
⎪≤-+⎩
，可得1
12a ≤<， 所以当a 最小时，12
a =
， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．
画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，
数形结合可得k 的取值范围为1
02
k -<<．
故选：A.
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.
4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则对于下列判断： ①直线2
x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；
②点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()3512
12y f x x π
π⎛⎫
=-
≤≤
⎪⎝⎭
的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①② B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】C 【解析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式
为()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，依次判断各选项的正确与否．
详解：因为5,012M π⎛⎫
⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
由222T ππωπ
=
== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
带入得 6
π
=ϕ ，
所以()3sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
由此可得①错误，②正确，③当3512
12x π
π-
≤≤
时，0266
x π
π≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题． 5．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种
【答案】C 【解析】 【分析】
先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】
把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1
个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有3
3A 种方法，由分步计数原理，共有23
4336
C A ⋅=种方案。

故选：C. 【点睛】
本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.
6．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；
②（2n ）★
2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）
（2020★2018）的值为( ) A ．10112 B ．10102
C ．10092
D ．10082
【答案】B 【解析】 【分析】
根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【详解】 由（2n ）★
2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=
(1
22
n ★)2018， 又2★2018=1，所以4★12018=2，6★2
12018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★3
12018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，L ，以此类推，2020★201821010=⨯★201810101
1009
11-⎛⎫⎛⎫，
又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=，
所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，L ，以此类推，2018◆202020192=，
所以（2018◆2020）（2020★2018）1009
2019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，
故选：B. 【点睛】
本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.
7．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C ，则
双曲线的渐近线方程为（）
A ．y =
B ．y =
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求
解双曲线的渐近线方程． 【详解】
双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为2
c ，
可得：
=
，可得2
b c =，b
a =C 的渐近线方程为y =．
故选A ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 8．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是
A ．1
3- B ．
13 C ．12
-
D ．12
【答案】B 【解析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=1
3
，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=1
3
．故选B．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
9．双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（）
A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0
【答案】A
【解析】
试题分析：渐近线方程是﹣y2=1，整理后就得到双曲线的渐近线．
解：双曲线
其渐近线方程是﹣y2=1
整理得x±2y=1．
故选A．
点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题．
10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3
cm）为（）
A．16
3
B．6 C．
20
3
D．
22
3
【答案】D 【解析】
根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解. 【详解】
如图,该几何体为正方体去掉三棱锥111B A C E -,
所以该几何体的体积为：11111111122
222221323
B A
C E ABC
D A B C D V V V --=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=, 故选：D 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.
11．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1 B ．2
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设直线l 的方程为x ＝12y 2
p
+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】 由已知得F （
2
p
，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，
又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 01
2
=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．
12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2
2
62x m y m -+--=与圆2C ：()()2
2
121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ）
【答案】D 【解析】 【分析】
由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求. 【详解】
因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O 在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，
()21,2C -三点共线，所以
6
2m m
+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】
本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________. 【答案】
35
【解析】 【分析】
先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果. 【详解】
一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，
其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件， 因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：63105
=. 故答案为：35
. 【点睛】
本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题. 14．某公园划船收费标准如表：
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用
【答案】360 10 【解析】 【分析】
列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果. 【详解】
当租两人船时，租金为：
16
907202
⨯=元， 当租四人船时，租金为：
16
1004004
⨯=元， 当租1条四人船6条两人船时，租金为：100690640+⨯=元， 当租2条四人船4条两人船时，租金为：2100490560⨯+⨯=元， 当租3条四人船2条两人船时，租金为：3100290480⨯+⨯=元， 当租1条六人船5条2人船时，租金为：130590580+⨯=元， 当租2条六人船2条2人船时，租金为：2130290440⨯+⨯=元，
当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：130100390500++⨯=元， 当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：130210090420+⨯+=元， 当租2条六人船1条四人船时，租金为：2130100360⨯+=元， 综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能. 故答案为：360，10. 【点睛】
本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题. 15．曲线f(x)=(x 2 +x)lnx 在点(1，f(1))处的切线方程为____. 【答案】220x y --= 【解析】 【分析】
求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程. 【详解】
解：∵()()
2
ln f x x x x =+，
∴()()()()'
21
ln 21211ln f
x x x x x x
x x x =+++++⋅
+=， 则()'
12f =，
又()10f =，即切点坐标为（1，0），
则函数在点(1，f(1))处的切线方程为()21y x =-， 即220x y --=， 故答案为：220x y --=. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.
16．已知向量()1,1m =u r
，()2,1n =-r ，()1,g λ=u r ，若()
2g m n ⊥+u r u r r ，则λ=______.
【答案】-1 【解析】 【分析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论． 【详解】
由已知2(4,1)m n +=u r r
，∵()2g m n ⊥+u r u r r ，∴()
240g m n λ⋅+=+=u r u r r ，4λ=-．
故答案为：－1． 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知a>0，b>0，a+b=2. （Ⅰ）求
111
a b ++的最小值； （Ⅱ）证明：2.a b b a ab
+≥ 【答案】（Ⅰ）最小值为4
3
；（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果； （2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明. 【详解】 （Ⅰ）
11111[(1)]131a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭
则1111421313
b a a b a b +⎡⎤+=++≥⎢⎥++⎣⎦。