2018届高三数学每天一练半小时：第13练 函数与方程 含答案

一、选择题
1．【2017·长沙调研)函数f 【x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点可能落在的区间为【 ) A ．【0,1) B ．【2,3) C ．【3,4)
D ．【4,5)
2．【2016·四川眉山仁寿一中段考)若定义在R 上的偶函数f 【x )满足f 【x ＋2)＝f 【x )且当
x ∈[0,1]时，f 【x )＝x ，则方程f 【x )＝log 3|x |的零点个数是【 )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
3．设函数f 【x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f 【x )＝2x
＋x －3，则f 【x )的零点个数为【 ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
4．已知函数f 【x )＝2mx 2
－x －1在区间【－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是【 )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，18
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－18，38 5．已知函数f 【x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log 3x ，0<x ≤3，
|x －4|，x >3，若函数h 【x )＝f 【x )－mx ＋2有三个不同的零点，
则实数m 的取值范围是【 )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12∪【1，＋∞)
C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1
6．已知函数f 【x )＝x ＋sin x ＋2x
－1
2x ＋1，且方程f 【|f 【x )|－a )＝0有两个不同的实数根，
则实数a 的取值范围是【 ) A ．[0，＋∞) B ．【0，＋∞) C ．[－1,2)
D ．【－1,2)
7．【2016·太原期中)设f 【x )是定义在R 上的偶函数，且f 【2＋x )＝f 【2－x )，当x ∈[－2,0)时，f 【x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫22x
－1，若关于x 的方程f 【x )－log a 【x ＋2)＝0【a >0且a ≠1)在区间【－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是【 )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1 B ．【1,4) C ．【1,8)
D ．【8，＋∞)
8．已知符号函数sgn 【x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，则函数f 【x )＝sgn 【ln x )－ln 2
x 的零点个数
为【 ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题
9．【2015·湖北)函数f 【x )＝2sin x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2
的零点个数为________．
10．【2016·南宁模拟)已知函数f 【x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *
，则a ＋b ＝________.
11．定义在[1，＋∞)上的函数f 【x )满足：①f 【2x )＝2f 【x )；②当2≤x ≤4时，f 【x )＝1－|x －3|.则函数g 【x )＝f 【x )－2在区间[1,28]上的零点个数为________． 12．已知函数y ＝f 【x )和y ＝g 【x )在[－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：
①方程f [g 【x )]＝0有且仅有6个根；②方程g [f 【x )]＝0有且仅有3个根； ③方程f [f 【x )]＝0有且仅有7个根；④方程g [g 【x )]＝0有且仅有4个根．
其中正确命题的序号为________.
答案精析
1．C [∵函数f【x)＝|x－2|－ln x，定义域为【0，＋∞)，
∴f【1)＝1>0，f【2)＝－ln 2<0，f【3)＝1－ln 3<0，
f【4)＝2－ln 4>0，f【5)＝3－ln 5>0，
∴f【1)·f【2)<0，f【3)·f【4)<0.
∴函数的零点在【1,2)，【3,4)上，故选C.]
2．C [方程f【x)＝log3|x|的零点个数，即函数y＝f【x)与函数y＝log3|x|图象的交点个数，作函数y＝f【x)与函数y＝log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C.]
3．C [因为函数f【x)是定义域为R的奇函数，所以f【0)＝0，所以0是函数f【x)的一个零点，
当x>0时，f【x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3，
分别画出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，
所以函数f【x)有一个零点，
又根据对称性知，当x<0时函数f【x)也有一个零点．
综上所述，f【x)的零点个数为3.故选C.]
4．D [当m＝0时，函数f【x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．
当m≠0时，函数f【x)＝2mx2－x－1在区间【－2,2)内恰有一个零点，需满足①f【－2)·f 【2)<0或
②⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－2)＝0，－2<1
4m <0或③⎩⎪⎨⎪
⎧
f (2)＝0，0<1
4m
<2.
解①得－18<m <0或0<m <3
8，
解②得m ∈∅，解③得m ＝3
8.
综上可知－18<m ≤3
8
，故选D.]
5．A [令f 【x )－mx ＋2＝0，则f 【x )＝mx －2，设g 【x )＝mx －2，可知函数f 【x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
log 3x ，0<x ≤3，
|x －4|，x >3
与函数g 【x )的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出
它们的大致图象，其中A 【0，－2)，B 【3,1)，C 【4,0)，可知直线g 【x )＝mx －2应介于直线AB 与直线AC 之间，其中k AB ＝1，k AC ＝12，故m ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.故选A.]
6．B [由于f 【－x )＝－f 【x )，所以函数f 【x )为奇函数，图象关于原点对称．由于【x ＋sin x )′＝1＋cos x ≥0，且2x
－12x ＋1＝1－2
2x ＋1为增函数．故f 【x )为R 上的增函数，且f 【0)
＝0.所以|f 【x )|－a ＝0，即|f 【x )|＝a 有两个不同的实数根，|f 【x )|的图象是由f 【x )图象的将x <0的部分关于x 轴对称翻折上来，x >0部分保持不变所得，所以a ∈【0，＋∞)．] 7．D [由f 【x )是定义在R 上的偶函数，且f 【2＋x )＝f 【2－x )，即为f 【x ＋4)＝f 【－
x )＝f 【x )，则f 【x )是周期为4的函数．当x ∈[－2,0)时，f 【x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫22x
－1，
可得x ∈【0,2]时，f 【x )＝f 【－x )＝【2)x
－1.在同一坐标系内作出f 【x )与g 【x )＝log a 【x ＋2)在区间【－2,6)内的图象，若要使它们有4个交点，则0<log a 【6＋2)<1，即a >8，故选D.]
8．B [令sgn 【ln x )－ln 2
x ＝0，得
当ln x >0，即x >1时，1－ln 2x ＝0，解得x ＝e ； 当ln x <0，即0<x <1时，－1－ln 2
x ＝0，无解；
当ln x ＝0，即x ＝1时，成立．
故方程sgn 【ln x )－ln 2
x ＝0有两个根，即函数f 【x )有2个零点．] 9．2
解析 函数f 【x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x
2
＝0的根的个数，即函数g 【x )＝2sin x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h 【x )＝x 2
的
图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g 【x )与h 【x )的图象有2个交点．故函数f 【x )有2个零点．
10．5
解析 ∵f 【2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f 【3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f 【x )＝ln x ＋3x －8在【0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 11．4
解析 ∵定义在[1，＋∞)上的函数f 【x )满足：①f 【2x )＝2f 【x )；②当2≤x ≤4时，f 【x )＝1－|x －3|，
∴函数f 【x )在区间[1,28]上的图象如图所示：
函数g 【x )＝f 【x )－2在区间[1,28]上的零点个数，即为函数f 【x )在区间[1,28]上的图象与直线y ＝2交点的个数，由图可得函数f 【x )在区间[1,28]上的图象与直线y ＝2有4个交点，故函数g 【x )＝f 【x )－2在区间[1,28]上有4个零点． 12．①④
解析 ①设t ＝g 【x )，则由f [g 【x )]＝0，得f 【t )＝0，则t 1＝0或－2<t 2<－1或1<t 3<2.当t 1＝0时，g 【x )＝0有2个不同根；当－2<t 2<－1时，g 【x )＝t 2有2个不同根；当1<t 3<2
时，g【x)＝t3有2个不同根，∴方程f[g【x)]＝0有且仅有6个根，故①正确．
②设t＝f【x)，若g[f【x)]＝0，则g【t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，f【x)＝t1有1个根；当0<t2<1时，f【x)＝t2有3个不同根，
∴方程g[f【x)]＝0有且仅有4个根，故②错误．
③设t＝f【x)，若f[f【x)]＝0，则f【t)＝0，则t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.当t1＝0时，f【x)＝t1有3个不同根；当－2<t2<－1时，f【x)＝t2有1个根；当1<t3<2时，f【x)＝t3有1个根，∴方程f[f【x)]＝0有且仅有5个根，故③错误．
④设t＝g【x)，若g[g【x)]＝0，则g【t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，g【x)＝t1有2个不同根；当0<t2<1时，g【x)＝t2有2个不同根，∴方程g[g【x)]＝0有且仅有4个根，故④正确．
综上，命题①④正确．。